Дифференцированные уравнения

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=................

((()=............... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=...................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим

их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2[pic]+a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

ao:

[pic][pic]+[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

[pic][pic]+T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic],T22=[pic]-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального

уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно

является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, [pic].

Тогда уравнение (2):

[pic]

Здесь T - постоянная времени, ( - декремент затухания (0<(<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

([pic]p2+2(Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) [pic]

[pic]=sY(s)

[pic]=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

[pic] s2Y(s)+2(T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=[pic]=

=[pic]

Заменим в этом выражении [pic],[pic].Тогда

H(s)=[pic]=

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k[pic] =

=k (1(t)[pic] (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=[pic]

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1=[pic]=[pic]=

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= [pic] (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()= [pic] (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j()=[pic]

U(()=[pic]

V(()[pic]

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции, т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=argk - arg(2(Tj( - T2(2+1)= - arctg[pic]

((()= - arctg[pic] (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим

их численные значения.

4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2[pic]- a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,588

a1=0,504

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

ao:

[pic][pic]- [pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

[pic][pic]-T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic],T22=[pic]-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального

уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно

является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0,042

2T2=0,14

0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.

Представим данное уравнение в следующем виде:

пусть T2=T, [pic].

Тогда уравнение (2):

[pic]

Здесь T - постоянная времени, ( - декремент затухания (0<(<1).

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

([pic]p2 - 2(Tp+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) [pic]

[pic]=sY(s)

[pic]=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

[pic] s2Y(s) - 2(T sY(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=[pic]=

=[pic]

Заменим в этом выражении [pic],[pic].Тогда

H(s)=[pic]=

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k[pic] =

=k (1(t)[pic] (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=[pic]

или из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1=[pic]=[pic]=

=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= [pic] (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()= [pic] (7)

Выделим вещественную и мнимую части :

W(j()=[pic]

U(()=[pic]

V(()[pic]

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции, т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=argk - arg(1 - 2(Tj( - T2(2)= - arctg[pic]

((()= - arctg[pic] (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим

их численные значения.

4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a2[pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

ao=12

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

ao:

[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)

[pic][pic]+ y(t)=kg(t) (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи,

T2=[pic]-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при

(=0.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

(T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t) = Y(s) [pic]

[pic]=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=[pic]

Заменим [pic].Тогда

H(s)=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k(1(t)[pic] (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1=[pic]=[pic]=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k(0sin(0t(1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()=[pic] (7)

U(()=[pic]

V(()=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции, т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=argk - arg(1-T2(2)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic] (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим

их численные значения.

4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ

4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 [pic]=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

a1:

[pic]=[pic]g(t)

[pic]=kg(t) (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся

преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

[pic]=sY(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=kt(1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции

w(t)=[pic]

w(t)=[pic]=k(1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)= [pic]

W(j()=[pic] (7)

W(j()=[pic]

U(()=0

V(()=[pic]

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции,т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=argk - argj(

((()= - arctg( (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим

их численные значения.

4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

[pic]+ a1 [pic]=bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a2=0,0588

a1=0,504

bo=31,20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

a1:

[pic][pic]+ [pic]=[pic]g(t)

T[pic]+[pic]=kg(t) (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи,

T=[pic]-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

(Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

[pic]=sY(s)

[pic]=s2Y(s)

g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

H(s)=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= - kT(1(t)+kt(1(t)+kT[pic](1(t)=

=[pic] (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1=[pic]

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим

w(s)=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k(1(t)[pic] (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)=[pic]

W(j()=[pic] (7)

W(j()[pic]

U(()=[pic]

V(()=[pic]

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции,т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=[pic]=[pic] (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=argk - argj( - arg[pic]

((()= - arctg( - arctgT( (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg[pic]

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим

их численные значения.

4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 [pic]=b1[pic]+bog(t) (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

bo=4

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

a1:

[pic]=[pic][pic]+[pic]g(t)

[pic]=k1[pic]+kg(t) (2),

где k1=[pic], k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

py(t)=(k1p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

[pic]=sY(s)

g(t)=G(s)

[pic]=sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic] =[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)= [pic]( 1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1

W(s)=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)= k1(((t)+k(1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)=[pic]

W(j()=[pic] (7)

U(()=k1

V(()=[pic]

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции,т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=............(8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=............

((()=............ (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lg........

7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим

их численные значения.

4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

aoy(t)=b1[pic] (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

ao:

y(t)=[pic]

y(t)=k[pic] (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся

преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

[pic]=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=ksG(s)

W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из

преобразлваний Лапласа,т.е.

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=k

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k(((t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной

функции:

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1=ks

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=k[pic] (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)=ks

W(j()=jk( (7)

W(j()=U(()+jV(()

U(()=0

V(()=k(

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По

определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль

частотной передаточной функции, т.е.

A(()=(W(j()(

A(()=k((( (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной

передаточной функции, т.е.

((()=argW(j()

((()=arctgk( (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим

L(()=20lg A(()

L(()=20lgk(((

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим

их численные выражения.

4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО

1. Данное звено описывается следующим уравнением:

a1 [pic]+ aoy(t) =b1[pic] (1)

Коэффициенты имеют следующие значения:

a1=1,24

ao=2

b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на

a1:

[pic][pic]+y(t)=[pic][pic]

T[pic]+y(t)=k[pic] (2),

где k=[pic]-коэффициент передачи,

T1=[pic]-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку

p=[pic] .Получим:

(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)

[pic]=sY(s)

g(t)=G(s)

[pic]=sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного

сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)

W(s)=[pic] (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По

определению аналитическим выражением переходной функции является решение

уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по

преобразованиями Лапласа

h(t)=H(s)

H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

h(t)=[pic](1(t) (5)

Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа

w(t)=w(s)

w(s)=W(s)(1

W(s)= [pic]=[pic]

Переходя к оригиналу, получим

w(t)=[pic](((t)[pic] e[pic] (1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя

исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и

временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной

функции (4) s на j(:

W(s)=[pic]

W(j()=[pic]

W(j()=[pic]=[pic]

6.Найдем АЧХ:

A()=W(j)

A()=[pic]=[pic]

Найдем ФЧХ:

()=argW(j)

()=arctgk-arctgT

L()=20lgA()

L()=20lg[pic]

4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА

Данное звено описывается следующим уравнением:

a0y(t)=b1[pic]+b0g(t)

y(t)=[pic][pic]+[pic]g(t)

k1=[pic]

k=[pic]

p=[pic]

y(t)=k1pg(t)+kg(t)

y(t)=Y(s)

g(t)=G(s)

Y(s)=k1sG(s)+kG(s)

W(s)=k1s+k

H(s)=[pic]=k1+[pic]

h(t)=k1(t)+k1(t)

W(j)=k1j+k

U()=k

V()=k1

A()=W(j)

A()=[pic]

()=argW(j)

()=arctg[pic]

L()=20lgA()

L()=20lg[pic]

4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА

a0y(t)=b2[pic]+b1[pic]+b0g(t)

y(t)=[pic][pic]+[pic][pic]+[pic]g(t)

y(t)=k2[pic]+k1[pic]+kg(t)

y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)

Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)

W(s)=k2s2+k1s+k

H(s)=k2s+k1+[pic]

h(t)=k2[pic]+k1(t)+k11(t)

w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k

w(t)=k2[pic]+k1[pic]+k(t)

W(j)=k1j+k - k22

U()=k - k22

V()=k1j

A()=[pic]

()=arctg[pic]

L()=20lg[pic]

Страницы: 1, 2