реферат, рефераты скачать
 

Bilet


Bilet

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число

Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области

определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т

называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа

вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом

является число T=2P. Для построения графика периодической функции

достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т,

а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси

абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-

целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.

a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных

показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным

показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a

и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с

одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и

показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же

основанием и показателем, равным разности показателей делимого и

делителя: a^r : a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а

показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна

произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна

частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число

и число a больше нуля, но меньше числа b, 0 b^r, если r-отрицательное число.7)

Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r1 ; a^r > a^s при 00. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение

степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =

a^mq/nq-pn/nq = a^m/n-p/q = a^r-s.

Билет №2

1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)

Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий

эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.

Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)

Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для

любого х.

2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,

следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень

x=arcsin a.

Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о

корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.

В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)

решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n

x=пи- arcsin a +2пи n

решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы

x=(-1)^n arcsin a + пи n

при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а

при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3

1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены

следующие два условия: 1)-p/2 1, a arcsin a определён при –1 1; arccos a

определён при |a|Б=1

2) Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а-

заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной

функции 1) Областью определения показательной функции являются

все действительные числа. Это следует из того, что для любого x

принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)

Множеством значений показательной функции являются все

положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)

Показательная функция y+a^x возрастает на всей области

определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает

на всей области определения, если 01,

то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее

значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно,

если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2

>a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1

при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что

если 0 < ax1)

соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств

степени известно, если r>s и 0x1 и

00, a не рано 1. Свойства логарифмической

функции 1) Областью определения логарифмической функции являются

все положительные действительные числа. Это следует из

определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет

смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции

являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное

действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное

значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По

определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы

показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение

логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное

действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в

нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма

получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция

y=loga x возрастает на всей области определения, если

a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)

соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1),

если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное

логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два

значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная

функция возрастает, большее значение функции может быть только

при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.

б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области

определения, если 01 принимает положительные значения, если x>1;

отрицательные значения, если 01. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей

области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует,

что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 01 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0 loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция

непрерывна на всей области определения.

Билет №6

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого

промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит

этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он

существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении

приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону

x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.

Механический смысл производной состоит в том, что производная от

координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).

2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos

x|f(a) при х >а.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на

промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.

Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x >3^2,

при х>2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел ,

а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное

число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных

чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ?0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется

неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0?a0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются

следующие св-ва:

1) loga1=0

2) logaа=1

3) loga(ху)= logaХ+ logaУ

Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством

a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции

а^ х+у =а^x * а^y имеем

а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay

4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ

5) logaХ^Р= рlogaХ

6) Формула перехода:

logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.

1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех

значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция

F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех

действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).

2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс

, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.

Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме

чисел вида

X=пи/2 +пи k, k(Z.

Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа,

при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.

2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().

3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во

tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x

4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме

0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.

5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg

x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z

6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k ?)). Это число

называют интегралом, т.е. Sn > integral (a;b) f(x) dx при n> ?

2) Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,

то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства

функции синус 1) Область определения функции синус является множество

всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу

х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая

поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет

ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение

функции синус. 2) Множеством значений функции синус является

промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения

синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет

условию –1 x1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 *

sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит,

большему значению аргумента соответствует большее значение функции,

т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу

периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на

промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8)

Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где

где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные –1, в

точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2

является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-

Пи/2; Пи/2], т.е. sinx1 1)D(f)=[0;+(], если а не является натуральным

числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если

а натуральное число, то D(f)=(-(;+() по определению степени с натуральным

показателем. 2)E(f)=[0;+() для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где R(N. Это

следует из определения степени с рациональным показателем. E(f)=(-(;+() для

нечётных а,т.е. а=2R+1, где R(N. 3)Если а-чётное натуральное число, то

данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R =

x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является

нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+

-x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При

x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным

показателем. При нечётных а(а=2R+1, R(N), если х0, но x1. Из свойства степени с

рациональным показателем (r-рациональное число и 00) следует, что x1^a0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому

интегралу, причём х10 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность

значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия

y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-

ии.


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.