| |||||
МЕНЮ
| Математическое моделирование при активном экспериментеМатематическое моделирование при активном экспериментеМинистерство образования РФ Волгоградский государственный технический университет Кафедра «САПР и ПК» Курсовая работа по моделированию на тему: «Математическое моделирование при активном эксперименте» Выполнил: студент II-го курса группы ИВТ-263 Б******** Ю.В. Проверил: Фоменков С.А. Волгоград 2001 Основные положения теории планирования эксперимента. Оптимизация технологического процесса производства любой продукции содержит важный этап - определение (отыскание) математической модели - уравнения связи выходного показателя качества изделия (целевой функции, параметра оптимизации) с параметрами этого изделия или технологического процесса (входными факторами). Модель - это упрощенная система, отражающая отдельные стороны явлений изучаемого объекта. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого объекта, позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения. Различают физическое и математическое моделирование. При физическом моделировании исследование объекта происходит при его воспроизведении в ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал. Однако для анализа сложных объектов и процессов, каковыми являются большинство электронных схем, конструкций и технологических процессов производства радиоэлектронной техники, приборостроения, машиностроения и других промышленных отраслей, применение физического моделирования затруднительно, поскольку приходится использовать большое число критериев и ограничений, которые могут быть несовместимы, а зачастую и невыполнимы. Математическое моделирование является методом качественного или количественного описания объектов или процессов, при этом реальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и описывается определенным уравнением. В большинстве случаев математическая модель представляет собой уравнение регрессии, то есть геометрическое место точек математических ожиданий условных распределений целевой функции. Простейшим примером такой модели является уравнение парной корреляции, где на целевую функцию воздействует один фактор. На практике в реальном производстве на целевую функцию воздействуют много факторов и искомое уравнение регрессии становится многомерным. Существует много методов отыскания уравнения регрессии, которые можно условно разделить на два класса: методы активного и методы пассивного эксперимента. Под активным экспериментом будем понимать эксперимент, предварительный план которого составлен так, чтобы получить максимальную информацию о целевой функции при минимальной ее дисперсии и проведении минимального числа опытов (эффективный план). Такой план (например, полный факторный эксперимент) требует искусственного одновременного варьирования всеми факторами в довольно широких пределах. Методы активного эксперимента довольно хорошо разработаны в специальном разделе математической статистики, который называется "Теория планирования эксперимента". Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных, о способах использования полученных результатов для оптимизации исследуемых объектов (например, технологических процессов производства массовой продукции). Математический аппарат теории планирования эксперимента построен на сочетании методов математической статистики и методов решения экстремальных задач. В настоящее время выделяют два основных направления теории планирования эксперимента: 1. планирование экстремальных экспериментов; 2. планирование экспериментов по выявлению механизма явлений. 1. этап постановки задачи; 2. этап планирования и проведения эксперимента; 3. анализ и интерпретация результатов. Главной трудностью на этапе постановки задачи является переход с языка специальности на язык планирования эксперимента, на язык математики. Построение математической модели технологического процесса в зависимости от поставленной задачи может преследовать следующие цели: минимизировать расход материала на единицу выпускаемой продукции при сохранении качества, произвести замену дорогостоящих материалов на более дешевые или дефицитных на распространение; сократить время обработки в целом или на отдельных операциях, перевести отдельные режимы в некритические зоны, снизить трудовые затраты на единицу продукции и т.п.; улучшить частные показатели и общее количество готовой продукции, повысить однородность продукции, улучшить показатели надежности и т.п.; увеличить надежность и быстродействие управления, увеличить эффективность контроля качества, создать условия для автоматизации процесса управления и т.п. Прежде всего, необходимо выбрать зависимую переменную Y, которую впредь будем называть целевой функцией или параметром оптимизации, за который принимают один из показателей качества продукции либо по каждой технологической операции отдельно, либо по всему технологическому процессу сразу. Параметр оптимизации должен соответствовать следующим требованиям: . параметр должен измеряться при любом изменении (комбинации) режимов технологического процесса; . параметр должен быть статистически эффективным, то есть измеряться с наибольшей точностью; . параметр должен быть информационным, то есть всесторонне характеризовать технологический процесс (операцию); . параметр должен иметь физический смысл, то есть должна быть возможность достижения полезных результатов при соответствующих условиях процесса; . параметр должен быть однозначным, то есть должно минимизироваться или максимизироваться только одно свойство изделия. За фактор принимают контролируемую величину объекта (изделия, процесса, операции), то есть величину, характеризующую то или иное свойство объекта или режим технологического оборудования. Эта величина, числовое значение которой измеряется в пределах (границах) изменения, должна влиять на параметр оптимизации. При определении величин количественных оценок во внимание должны
приниматься только те факторы, которые имеют четкий метрологический смысл Описание исследуемого объекта нельзя получить в виде точной
формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов. |[pic] |(1| где: [pic] 1. Результаты наблюдений Y1, Y2,...,Yn выходной величины в N точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины. 2. Выборочные дисперсии опытов [pic]однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от местоположения точки факторного пространства, в которой проводится конкретный опыт (ротатабельность). 3. Независимые переменные X1, X2,...,Xn измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y под влиянием неучтенных факторов. где Yg- экспериментальные значения выходного параметра, полученные в g-й точке факторного пространства; [pic]- значение выходного параметра, найденные по уравнению регрессии в тех же точках; d - количество членов в уравнении регрессии. 1. Полный факторный эксперимент Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент,
реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых
переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях
Для гарантированного получения единственного решения системы
нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования,
что невозможно обеспечить в абсолютной системе единиц факторов Xi, то есть
тогда, когда факторы именованные (например, трудно представить 17
километров ортогональными к 12 килограммам). Поэтому необходимо провести
предварительное преобразование каждого фактора - его перевод в систему
относительных координат. Такое преобразование легко сделать с помощью
переноса начала координат в базовую точку X* и выбора единицы отсчета ?Xi
по каждой координате Xi.
Шаг варьирования по каждой переменной выбирается таким, чтобы
приращение величины выходного параметра Y к базовому значению Y* при
реализации шага можно было выделить на фоне "шума" при небольшом числе
параллельных опытов. Если нет никаких указаний на величину шага ?Xi, то в
первом приближении можно выбрать ?Xi= 0,15X*i, т.е. принять за шаг 15%-ное
отклонение от базового уровня X*i. Такой шаг дает достаточную гарантию
того, что фактор Xi вызовет заметную реакцию Y, если связь между ними
существует. 1. Ортогональность [pic] 2. Условие нормированости [pic] 3. Симметричность относительно центра экстремума [pic] 4. Ротатабельность, т.е. координаты точек факторного пространства в матрице планирования подстраиваются так, что точность предсказания значения параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (базовой точки) и не зависит от направления. 1. Каждая g-я строка матрицы представляет собой набор координат точки [pic]g, в которой производится эксперимент; 2. Поскольку переменные xgi принимают лишь значения +1 и -1, то все остальные переменные могут принимать те же значения, что позволяет в целях упрощения записывать в таблицу вместо +1 и -1 их знаки + и -; 3. Первая строка [pic]1 выбирается так, чтобы управляемые переменные находились на нижнем уровне, т.е. xi1 = -1. Последующие строки при составлении матрицы планирования набираются по правилу: при построчном переборе всех вариантов частота смены знака управляемых переменных для каждой последующей переменной вдвое меньше, чем для предыдущей (см. табл. 1)
|Таблица 2 | |номе|Порядок |Матрица планирования |Результаты |Первичная|Проверка | Легко заметить, что матрица планирования [pic]является ортогональной с линейно независимыми вектор-столбцами; отсюда следует диагональность матрицы нормальной системы уравнений, а следовательно, и взаимная независимость оценок коэффициентов уравнения регрессии. Необходимо отметить, что получаемая модель не дает членов типа
x2ii и, таким образом, является неполной. В большинстве случаев это не
отражается на качестве модели, так как чаще всего bii=0. Однако в случаях,
когда bii?0, модель становится неточной (неадекватной), тогда следует от После определения оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезу о значимости коэффициентов bi. Лучше всего это сделать в виде нуль-гипотезы, т.е. гипотезы о равенстве bi = 0. Если она подтвердилась, то коэффициент bi следует признать статистически незначимым и отбросить из искомой модели; если гипотеза не подтвердилась, то соответствующий коэффициент bi следует признать значимым и включить в модель. Проверка гипотезы проводится с помощью t - критерия Стъюдента,
который при проверка нуль-гипотезы формируется в виде
где S2{bi}- дисперсия ошибки определения коэффициента bi. При полном и
дробном факторном планировании для всех i
1. уровень базового режима [pic]* близок к точке частного экстремума по переменной Xi или по произведению переменных; 2. шаг варьирования ?Xi выбран малым; 3. данная переменная (или произведение переменных) не имеет функциональной связи с выходным параметром Y; 4. велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных. Поскольку ортогональное планирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, то, если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математическая модель объекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра Y и переменных xi, включающего только значимые коэффициенты. Чтобы проверить гипотезу об адекватности представления результатов
эксперимента найденному уравнению связи (иными словами, чтобы проверить,
насколько найденное уравнение соответствует экспериментальным результатам),
достаточно оценить отклонение выходной величины Yg, предсказанное
уравнением регрессии, от результатов экспериментов [pic]g в точках Рассеяние результатов эксперимента вблизи уравнения связи,
аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно
охарактеризовать с помощью дисперсии неадекватности ?2ад, оценка которой
с числом степеней свободы vад = N-d, где d - число членов аппроксимирующего
полинома.
В ходе работы может возникнуть ситуация, когда выборочная
дисперсия неадекватности S2ад не превосходит оценки дисперсии
воспроизводимости S2{Y} (т.е. когда S2ад?S2{Y}). Тогда соотношение (15)
будет равно F?1 и неравенство F 0. Число вариантов
варьирования плана ПФЭ равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии
уравнения связи (N = d). Следовательно, не остается степеней свободы (vад = Пример 1. Методом ПФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов. 1. Состояние испарителя - "чистое", т.е. порошок для напыления сыпется в стакан испарителя впервые после промывки его сторон, или "грязное", т.е. порошок сыпется в испаритель, в котором осталось некоторое его количество от предыдущего цикла напыления; обозначим этот фактор как x1, причем величина x1 = +1соответствует "чистому", а величина x1 = -1 соответствует "грязному" состоянию испарителя; 2. Температура подогрева подложки x2, причем x2 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а x2 = -1 - нижней; 3. Температура испарителя x3, причем x3 = +1 соответствует верхней допустимой по техпроцессу температуре, а х3 = -1 - нижней.
[pic]
[pic] [pic] [pic] и т.д. Аналогично находим b3 = -0,55; b12 = +0,61; b13 = -2,30; b23 = +0,26; b123 = -0,81 (12), предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13) |далее аналогично|t12 = |;|t13 = 9,812|;|t23 = 1,109|;|t123 = 3,455 |
[pic] [pic] что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов 2. Дробный факторный эксперимент Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2n становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику). Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного
факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ).
аналогично b2 = -1,44; b3 = 0,05. [pic]
откуда
[pic]= 14,09 + 1,88x1 - 1,44x2. т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным. Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов: 1. по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии; 2. из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности); 3. при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п. Заключение. Применение описанных выше методов математического моделирования
полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов. Но при
очень большом числе факторов и привлечение их к составлению математического
описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать
увеличения объема экспериментальной работы, что редко может выполняться из-
за экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом,
возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и
выделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное
влияние на целевую функцию. Другим существенным затруднением для применения На практике в производственных условиях требования симметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/xk) эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследователь пытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайной системы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор: либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять часть информации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правилами ведения ПФЭ (ДФЭ).
|
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|