| |||||
МЕНЮ
| Теория организации и системный анализp> Иными словами — в реальных системах вполне возможно логическое обоснование моделей элементов. Эти модели мы как раз и стремимся строить минимально достаточными, простыми настолько, насколько это возможно без потери сущности процессов. Но логически осмыслить взаимодействие десятков, сотен элементов человек уже не в состоянии. И именно здесь может “сработать” известное в математике следствие из знаменитой теоремы Гёделя — в сложной системе, полностью изолированной от внешнего мира, могут существовать истины, положения, выводы вполне “допустимые” с позиций самой системы, но не имеющие никакого смысла вне этой системы. То есть, можно построить логически безупречную модель реальной системы
с использованием моделей элементов и производить анализ такой модели. Отсюда следует вывод — без учета внешней среды выводы о поведении системы, полученные на основе моделирования, могут быть вполне обоснованными при взгляде изнутри системы. Но не исключена и ситуация, когда эти выводы не имеют никакого отношения к системе — при взгляде на нее со стороны внешнего мира. Для пояснения вернемся к рассмотренному ранее примеру. В нем почти все
элементы были построены на вполне оправданных логических постулатах Но как на основании системного анализа такой модели ответить на простейший вопрос; каков вклад (хотя бы по шкале “больше-меньше”) каждой из подсистем в полученные фактические результаты сессии? А если есть числовые описания этих вкладов, то каково доверие к ним? Ведь управляющие воздействия на систему обучения часто можно производить только через семестр или год. Здесь приходит на помощь особый способ моделирования — метод
статистических испытаний (Монте Карло). Суть этого метода проста —
имитируется достаточно долгая “жизнь” модели, несколько сотен семестров для
нашего примера. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся
внешние (входные) воздействия на систему. Для каждой из ситуации по
уравнениям модели просчитываются выходные (системные) показатели. Затем
производится обратный расчет — по заданным выходным показателям
производится расчет входных. Конечно, никаких совпадений мы не должны
ожидать — каждый элемент системы при входе “Да” вовсе не обязательно будет Но существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос — а можно ли и, с каким доверием, использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для ответа на поставленные выше вопросы. 7 Процессы принятия управляющих решений Пусть построена модель системы с соблюдением всех принципов системного подхода, разработаны и “обкатаны” алгоритмы необходимых расчетов, приготовлены варианты управляющих воздействий на систему. Надо понять, что эти воздействия не всегда заключаются в изменениях уровня некоторых входных параметров — это могут быть варианты структурных перестроек системы. Так вот — все это есть. И что же дальше? Пора и управлять, управлять с
единой целью — повышения эффективности функционирования системы Естественно, мы ставим вопрос: “А что будет, если …?” и ожидаем
ответа. Но здесь не следует ожидать чуда, нельзя надеяться на однозначный
ответ. Если к примеру, мы интересуемся вопросом — “к чему приведет
увеличение на 20% закупок цемента?”, то мы должны не удивляться, получив
ответ — “Это приведет к увеличению рентабельности производства кирпича на
величину, которая с вероятностью 95% не будет ниже 6% и не будет выше Здесь уместно в последний раз обратиться к примеру с анализом системы обучения и ответить на возможный вопрос — а как же были использованы выводы системного анализа обучения в КГРИ? Ответ одного из соавторов системного анализа, пишущего эти строки, очень краткий — никак. Можно теперь открыть еще одну (не последнюю) тайну ТССА. Дело в том,
что судьбу разработок по управлению большими системами должно решать только Поэтому те, кто ведет системный анализ, не должны претендовать на обязательное использование своих разработок; факты отказа от их использования не есть показатель непригодности этих разработок. С другой стороны, те, кто принимают решения, должны столь же четко понимать, что расплывчатость выводов ТССА есть неизбежность, она может быть обусловлена не промахами анализа, а самой природой или ошибкой постановки задачи, например, попытки управлять такой гигантской системой, как экономика бывшего СССР. 2 Основные понятия математической статистики
Как уже говорилось, при анализе больших систем наполнителем каналов связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть: ( продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее заданным способом их количественного и качественного описания; ( деньги, с единственным способом описания — суммой; ( информация, в виде сообщений о событиях в системе и значениях описывающих ее поведение величин. Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь
показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если
рассматривать некоторую физическую величину, скажем — количество проданных
за день образцов продукции, то сведения об этой величине после продажи
могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Но,
уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует
будущее — а сколько этой продукции будет продано за день? Этот вопрос
совсем не праздный — наша цель управлять, а по образному выражению Итак, без предварительной информации, знаний о количественных
показателях в системе нам не обойтись. Величины, которые могут
принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним
условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Так,
например: пол встреченного нами человека может быть женским или мужским Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые, статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ — дискретная или непрерывная это делается по разному. Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений. Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться к некоторому фиксированному значению — которое и есть вероятность этого значения. К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти и иным путем — через случайные события. Это наиболее простое понятие в теории вероятностей и математической статистике — событие с вероятностью 0.5 или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с вероятностью 1[pic]называют достоверными, а с вероятностью 0 — невозможными. Отсюда простое правило: для случайного события X вероятности P(X) Если мы наблюдаем за сложным событием — например, выпадением чисел Если же кость несимметрична, то вероятности отдельных чисел будут разными, но сумма их равна 1. Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины. Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные: Таблица 2.1 |Грани |1 |2 |3 |4 |5 |6 |Итого | Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) — гистограммой. Рис. 2.1 [pic] Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей гистограмма? Прежде всего, всю — так как иногда и таких данных о значениях случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного события равновероятными — по [pic] на любой из исходов. С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании Нетрудно сосчитать: 1(0.140+2(0.080+3(0.200+4(0.400+5(0.100+6(0.080= 3.48 То, что мы вычислили, называется средним значением случайной величины, если нас интересует прошлое. Если же мы поставим вопрос иначе — оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определяется как Mx = ( Xi ( P(Xi); {2 - 1} где P(Xi) — вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение. Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений. Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5. Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений? Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния — так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину [pic] {2 - принято называть дисперсией случайной величины X. Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением [pic] {2 - 3} т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения. Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис. Таблица 2.2 |Грани(X) |1 | | | | | |Итого | Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930. Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой [pic] {2 - 4} составляющее в нашем случае [pic] = 1.389. Много это или мало? Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее равновероятном или равномерном распределении. Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня квадратного из дисперсии к величине математического ожидания: Vx = SX/MX . {2 - 5} В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399. Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и нулевой коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации. В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ -
весами, расстояниями и т. п. Для них идея оценки среднего значения Для всех СВ — дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл вопрос о диапазоне значений. В самом деле, иногда знание вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто — надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне. 2 Взаимосвязи случайных событий Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не произойти). Вероятность события X будем обозначать P(X) и иметь ввиду, что вероятность того, что событие не произойдет, составляет P(X) = 1 - P(X). {2 - 6} Самое важное при рассмотрении нескольких случайных событий (тем более в сложных системах с развитыми связями между элементами и подсистемами) — это понимание способа определения вероятности одновременного наступления нескольких событий или, короче, — совмещения событий. Рассмотрим простейший пример двух событий X и Y, вероятности которых составляют P(X) и P(Y). Здесь важен лишь один вопрос — это события независимые или, наоборот взаимозависимые и тогда какова мера связи между ними? Попробуем разобраться в этом вопросе на основании здравого смысла. Оценим вначале вероятность одновременного наступления двух независимых
событий. Элементарные рассуждения приведут нас к выводу: если события
независимы, то при 80%-й вероятности X и 20%-й вероятности Y одновременное
их наступление имеет вероятность всего лишь 0.8 ( 0.2 = 0.16 или 16% Итак — вероятность наступления двух независимых событий определяется произведением их вероятностей: P(XY) = P(X) [pic]P(Y). {2 - 7} Перейдем теперь к событиям зависимым. Будем называть вероятность
события X при условии, что событие Y уже произошло условной вероятностью P(X/Y)[pic]P(Y) = P(Y/X)[pic]P(X) {2 - 8} где слева и справа записано одно и то же — вероятности одновременного наступления двух "зависимых" или коррелированных событий. Дополним эту формулу общим выражением безусловной вероятности события P(X) = P(X/Y)[pic]P(Y) + P(X/Y)[pic]P(Y), {2 - 9} означающей, что данное событие X может произойти либо после того как событие Y произошло, либо после того, как оно не произошло (Y) — третьего не дано! Формулы Байеса или т. н. байесовский подход к оценке вероятностных связей для простых событий и дискретно распределенных СВ играют решающую роль в теории принятия решений в условиях неопределенности последствий этих решений или в условиях противо-действия со стороны природы, или других больших систем (конкуренции). В этих условиях ключевой является стратегия управления, основанная на прогнозе т. н. апостериорной (послеопытной) вероятности события P(X/Y) [pic][pic]. Прежде всего, еще раз отметим взаимную связь событий X и Y — если одно не зависит от другого, то данная формула обращается в тривиальное тождество. Кстати, это обстоятельство используется при решении задач оценки тесноты связей — корреляционном анализе. Если же взаимосвязь событий имеет место, то формула Байеса позволяет вести управление путем оценки вероятности достижения некоторой цели на основе наблюдений над процессом функционирования системы — путем перерасчета вариантов стратегий с учетом изменившихся представлений, т. е. новых значений вероятностей. Дело в том, что любая стратегия управления будет строиться на базе определенных представлений о вероятности событий в системе — и на первых шагах эти вероятности будут взяты "из головы" или в лучшем случае из опыта управления другими системами. Но по мере "жизни" системы нельзя упускать из виду возможность "коррекции" управления - использования всего накапливаемого опыта. 3 Схемы случайных событий и законы распределений случайных величин Большую роль в теории и практике системного анализа играют некоторые стандартные распределения непрерывных и дискретных СВ. Эти распределения иногда называют "теоретическими", поскольку для них разработаны методы расчета всех показателей распределения, зафиксированы связи между ними, построены алгоритмы расчета и т. п. Таких, классических законов распределений достаточно много, хотя Как уже отмечалось, наличие больших массивов взаимосвязанных событий и обилие случайных величин в системах экономики приводит к трудностям априорной оценки законов распределений этих событий или величин. Пусть, к примеру, мы каким-то образом установили математическое ожидание спроса некоторого товара. Но этого мало - надо хотя бы оценить степень колебания этого спроса, ответить на вопрос — а какова вероятность того, что он будет лежать в таких-то пределах? Вот если бы установить факт принадлежности данной случайной величины к такому классическому распределению как т. н. нормальное, то тогда задача оценки диапазона, доверия к нему (доверительных интервалов) была бы решена безо всяких проблем. Доказано, например, что с вероятностью более 95% случайная величина Так вот — все дело в том к какой из схем случайных событий
классического образца ближе всего схема функционирования элементов
вашей большой системы. Простой пример - надо оценить показатели оплаты за
услуги предоставления времени на междугородние переговоры - например, найти вероятность того, что за 1 минуту осуществляется ровно N переговоров,
если заранее известно среднее число поступающих в минуту заказов. Далеко не всегда математическая оболочка классического закона распределения достаточно проста. Напротив — чаще всего это сложный математический аппарат со своими, специфическими приемами. Но дело не в этом, тем более при "повальной" компьютеризации всех областей деятельности человека. Разумеется, нет необходимости знать в деталях свойства всех или хоть какой-то части классических распределений - достаточно иметь в виду саму возможность воспользоваться ими. Из личного опыта - очень давно, в до_компьютерную эру автору этих строк удалось предложить метод оценки степени надежности энергоснабжения, найти по сути дела игровой метод принятия решения о необходимости затрат на резервирование линий электропередач в условиях неопределенности — игры с природой. Таким образом, при системном подходе к решению той или иной задачи
управления (в том числе и экономического) надо очень взвешено отнестись
к выбору элементов системы или отдельных системных операций. Не всегда Завершая вопрос о распределении случайных величин обратим внимание на еще одно важное обстоятельство: даже если нам достаточно одного единственного показателя — математического ожидания данной случайной величины, то и в этом случае возникает вопрос о надежности данных об этом показателя. В самом деле, пусть нам дано т. н. выборочное распределение случайной
величины X (например — ежедневной выручки в $) в виде 100 наблюдений за
этой величиной. Пусть мы рассчитали среднее Mx и оно составило $125 при
колебаниях от $50 до $200. Попутно мы нашли SX, равное $5. Теперь уместен
вопрос: а насколько правдоподобным будет утверждение о том, что в
последующие дни выручка составит точно $125? Или будет лежать в
интервале $120..$130? Или окажется более некоторой суммы — например, |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|