Задача Лагранжа

(g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X)

при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение

h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение (r, то

мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на ((r.

В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный

результат мы получили бы в пределе при (r ( 0:

[pic]

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения

максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в

ограничении вида (6).

В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным

ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) =

A2/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при

решении значению (.

[pic]рис. 4

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения

f(X) и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах

(рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х),

то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке

жирной линией.

Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X)

помечен точкой М*; обозначим ( наклон кривой в этой точке. Если в качестве

ординаты брать не f(X), а L(X; () =f(X) - ( [h(X) — r], то новая верхняя

граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в

исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М — стационарная точка

функции L (X; () с данным значением параметра (. Таким образом, ( -

множитель Лагранжа.

Но жирная черная кривая — это график функции F(r), а ( - его угловой

коэффициент, откуда и следует равенство (7).

5. Простейшие модели управления запасами.

Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов.

Эти задачи можно сформулировать следующим образом:

1. Моменты времени, в которые принимаются заказы на пополнение запасов,

фиксированы. Остается определить объем и время заказов.

2. Необходимо определить и объем и время заказов.

Задача исследования состоит в отыскании оптимального решения этих задач.

Под оптимальным здесь понимается решение, минимизирующее сумму всех

расходов, связанных с созданием запасов. Эти расходы бывают трех типов:

1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или

производстве. Это величина, не зависящая от размера партии, и,

следовательно, переменная для единицы продукции.

2. Стоимость хранения единицы продукции на складе. Сюда включается

затраты, связанные с организацией хранения, устареванием и порчей,

расходы на страхование и налог.

3. Расходы (штрафы), возникает при истощении запасов, когда происходит

задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить.

Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции

времени (например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за

зависимость хранения единицы товара на складе).

В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и

возможности пополнения запасов.

Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от

времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной

(например, количество автомобилей), так и непрерывной.

Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени

(спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на

мороженное в большом аэропорту).

Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно

(например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях

выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в

любые или только в определенные моменты времени.

Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или

непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление

может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или

неравномерно.

Примем следующие обозначения:

q - объем заказа (при пополнении запасов);

q0 - оптимальный размер заказа;

t - интервал времени;

ts - интервал времени между двумя заказами;

tso - оптимальный интервал времени между заказами;

T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;

R - полный спрос за время Т;

C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;

C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный

момент времени).

Cs - стоимость заказа ( при покупке или производстве),

Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы;

Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;

So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

Модель I.

Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий

равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и

известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном

спросе бесконечно велик (C2 =(). Переменные затраты производства

складываются из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия

(в единицу времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии

изделий.

Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать

выпуск партии и каким должен быть размер каждой партии.

Уравнение цен и его аналитическое решение. Только что описанная ситуация

представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts -

интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос

за всё времени планирования T.

Тогда R/q – число партий за время Т и

Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и

заканчивается при.

[pic]

отсутствии заказов, тогда q/2 – средний запас в течение ts (равенство

q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем

больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts.

Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости

запуска в производство

Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту

величину умножить на общее число партий за это время:

Подставляя сюда выражение для ts, получаем

или

Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и

полную стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера

партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления

запасами и состоит в определении такого размера партии qo, при котором

суммарная стоимость была бы наименьшей (рис. 6)

Найденное оптимальное значение qo размер партии

[pic]

Для оптимальных tsо и Qo имеем

Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000

единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется

непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных

складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи

нарушения поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка

продукции недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение

единицы продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство

одной партии продукции составляет 350 долл.

Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и

tsо вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т

= 12 месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350

дол/партия. Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает

нам.

[pic]

Модель II.

Рассмотрим теперь случай, который отличается от предыдущего только тем,

что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку

конечный.

Уравнение цен и его аналитическое решение. Рассматриваемая ситуация

изображена на рис. 7. В начале каждого интервала имеется уровень запасов.

Из подобия треугольников находим.

[pic]

Средний запас в течении t1, равен S/2. Поэтому затраты на хранение за всё

время t1

[pic]

составляют S/2 * t1 С1. Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем

запасов) за врем t2 равна (q-S)/2, и штраф за время t2 равна (q – S)/2, и

штраф за время t2 составляет ((q – S)/2)* Q2 t2 .

Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за всё время Т определяется

следующим выражением:

[pic]

Подставляя сюда найденные выше выражения для t1 и t2 учитывая полученное

раннее выражение для ts, имеем

[pic]

Из уравнения (12) можно найти оптимальные значения для q и S, при которых

полные ожидаемый расходы будут минимальными.

После дифференцирования уравнения (12) имеем:

[pic]

[pic].

Приравнивая эти частные производные нулю и упрощая, получаем выражения,

[pic]

Решая эту систему уравнений относительно S и q, находим

[pic]

и, следовательно,

[pic]

Что бы получить Qо, заменим, что

[pic]

Поставляем (14) и (51) в (12), после упрощения получаем

[pic]

При сравнении результатов, полученных для моделей I и II, можно заметить,

что во первых уравнения (9), (10) и (11) можно получить из уравнения (13),

(15), и (16), если в них устремиться С2 к бесконечности. Этот результат

нельзя считать неожиданным, так как модель I есть частный случай модели II.

Во – вторых, если С2 ( (, то

[pic]

Следовательно, ожидаемые суммарные расходы в модели II меньше, чем в

модели I.

Пример II: Пусть сохраняются все условия примера I, но только штраф С2 за

нехватку теперь равен 0,2 долл. за одно изделие в месяц. И уравнения (13) –

(16) получаем:

[pic]

При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода

составлял бы 4578 – 3058 = 1522 изделия.

6. Модель I. Модель Уилсона без ограничений

В качестве простейшей модели управления запасами рассмотрим модель

оптимизации текущих товарных запасов, позволяющих повысить эффективность

работы торгового предприятия. Такая модель строится в следующей ситуации:

некоторое торговое предприятие в течении фиксированного периода времени

собирается завести и реализовать товар конкретного (заранее известного)

объема и при этом необходимо смоделировать работу предприятия так, чтобы

суммарные издержки были минимальны. При построении этой модели используется

следующие исходные предложения:

1. планируется запасы только одного товара или одной товарной группы;

2. уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно

производимой продажи;

3. спрос и планируемом периоде заранее полностью определен;

4. поступление товаров производится строго в соответствии с планом,

отклонения не допускаются, штраф при неудовлетворенном спросе

бесконечно велик;

5. издержки управления запасами складывается только из издержек по завозу

и хранению запасов.

Суммарные издержки будем считать зависящими от величины одной поставки q.

Таким образом, задача оптимального регулирования запасов сводится к

нахождению оптимального размера q0 одной постановки. Найдя оптимальное

значение управляемой переменной q, можно вычислить и другие параметры

модели, а именно: количество поставок n0, оптимальный интервал времени tso

между двумя последовательными поставками, минимальные (теоретические)

суммарные издержки Q0.

Введем следующие обозначения для заранее известных параметров модели:

T - полный период времени, для которого строится модель;

R - весь объем (полный спрос) повара за время T;

C1 - стоимость хранения одной единицы товара в единицы времени;

Cs - расходы по завозу одной партии товара.

Обозначим через Q неизвестную пока суммарную стоимость создания запасов

или, что то же самое, целевую функцию. Задача моделирования состоит в

построении целевой функции Q = Q(q). Суммарные издержки, будут состоять из

издержек по завозу и хранению товара.

Полные издержки по хранению текущего запаса будет равны

т.е. произведению стоимости хранению одной единицы товара на “средний”

текущий запас. По предложению 2 уровень запасов снижается равномерно в

результате равномерно производимой продажи, т.е. если в начальный момент

создания запаса он равен q, то в конце периода времени ts он стал равен 0 и

тогда “средний” запас равен

Полные издержки по завозу товара будут равны

[pic]

т.е. произведению стоимости завоза одной партии товара на количество

поставок n, которые очевидно равны [pic].

Тогда суммарные издержки управления текущими запасами составят

т.е. целевая функция Q является нелинейной функцией величины q,

изменяющейся в пределах от 0 до R.

Таким образом, для задачи оптимального управления текущими запасами

построена следующая математическая модель:

при ограничениях 0 < q ( Q (17)

определить значения q, обращающее в минимум нелинейную целевую функцию

Формализованная задача строго математически записывается в виде:

Решение задачи проведем по известной схеме. Вычисляем производную:

И приравниваем её к нулю:

Чтобы убедиться, что в точке q = q0 функция Q(q) действительно достигает

своего минимума, вычислим вторую производную:

Итак, оптимальный размер одной поставки равен:

оптимальный средний текущий запас:

оптимальное число поставок:

оптимальный интервал между двумя последовательными поставками:

оптимальные (теоретические) издержки составят:

ПРИМЕР 1. Торговое предприятие в течение года планирует завести и

реализовать сахар общим объёмом 10 тысяч тон. Стоимость завоза одной партии

товара равна 1000 рублей, а хранение одной тонны сахара обходится в 50

рублей. Определить оптимальный размер одной поставки, чтобы суммарные

расходы по завозу и хранению товара были минимальны, а также количество

поставок, интервал времени между двумя последовательными поставками и

минимальные (теоретические) суммарные издержки.

По условию задачи: R = 10000, Cs = 1000, C1 = 50, T = 12 мес.

По формулам (19), (21), (22) и (23) имеем:

Итак, оптимальный размер одной поставки равен 632 тонны, количество

поставок nо равно 16, время tso между двумя последовательными поставками

равно 23 дня, а минимальные суммарные расходы составят 31600 рублей.

Заметим, что условия рассмотренной задачи во многом являются

идеализированными. На практике не всегда является возможным придерживаться

полученных теоретических параметров модели управления запасами. Например, в

рассмотренной задаче мы получили, что оптимальный размер одной поставки

равен 632 тонны, но может так оказаться, что завод-изготовитель отпускает

сахар только вагонами по 60 тонн. Значит, торговое предприятие вынуждено

отклоняться от оптимального размера одной поставки. Поэтому важно

определить такие пределы отклонения, которые не приводят к существенному

возрастанию суммарных издержек.

Целевая функция Q(q) управления запасами является суммой двух функций –

линейной и гиперболической. Изобразим её график схематически.

В области минимума она изменяется медленно, но с удалением от точки qo,

особенно в сторону малых q, величина Q быстро возрастает. Определим

доступные изменения размера одной поставки по доступному уровню возрастания

издержек. Пусть торговое предприятие “согласно” на возрастание минимальных

издержек в не более, чем ( раз (( > 1), т.е. предприятие допускает издержки

Q = (Qo (24)

Отклонение размера одной поставки q от оптимального зададим с помощью

дополнительного параметра ( в виде:

q = (qo.

Тогда суммарные издержки при таком размере одной поставки будет равны:

из (24) и (25) следует:

Разрешая (26) относительно ( получаем:

Пусть в примере 1 предприятие допускает увеличение суммарных издержек на

20% по сравнению с оптимальными, т.е. ( = 1,2. Тогда по формулам (27)

получаем: (1 = 1,2 - (1,44 - 1 = 0,54; (2 = 1,2 + (1,44 - 1 = 1,86. И

интервал допустимых величин ( есть 0,54 ( ( ( 1,86. Тогда: (1qo =

0,54 * 632 ( 341; (2qo = 1,86 * 632 ( 1176 и объём одной постановки q может

изменяться в интервале ((1qo; (2q0) = (341; 1176). При этом суммарные

издержки не превысят оптимальные более чем в 1, 2 раза.

Заметим здесь, что полученный допустимый интервал значений q не

симметричен относительно qо, поскольку в сторону уменьшения значений q

можно отклониться от qo на 632 – 341 = 291 единиц, а в сторону увеличения

значений q можно отклоняться от q0 на 1176 – 632 = 544 единиц.

Такая асимметричность допустимых значений q относительно q0 легко

объясняется из графика функции Q на рис.1: при отклонении влево от q0

график функции возрастает “быстрее”, чем при отклонении на такую же

величину вправо от q0.

Рассмотренная выше модель конечно же достаточно проста и может

применяться только на предприятиях реализующих один тип товара, что

встречается крайне редко. Обычно у любого торгового предприятия имеются

запасы самых различных товаров. Если при этом товар не является

взаимозаменяемыми, то определение оптимальных размеров запасов производится

отдельно по каждому товару, как это было показано выше. Взаимозаменяемые

товары целесообразно объединить в группы и для них производить оптимизацию

товарных запасов как для отдельных товаров. На практике, однако, не всегда

можно воспользоваться такими рекомендациями, поскольку могут возникнуть

другие ограничительные условия, в частности ограниченность размеров

складских помещений. Такие ограничительные условия приводят к тому, что

оптимальная по величине партия товара не может быть размещена в имеющийся

складской емкости. Рассматриваемая далее модель учитывает такие

ограничения.

7. Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения

Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и

реализовать n видов товара. Соответственно обозначим:

Ri - полный спрос i – го товара за время Т;

C1i – стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде

времени;

CSi - расходы по завозу одной партии i – го товара;

Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i –го товара.

V - вся ёмкость складского помещения.

Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер

одной поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в

дальнейшем обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара.

Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го

товара будут равны:

а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид:

Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид

товара, (Vi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара

и должно выполняться очевидные соотношения,

[pic]

qi ( Ri, qi ( 0 (30).

Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:

Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и

(30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид:

Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в

(31)

или

Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные

функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю:

Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение

где в правой части все значения параметров известны за исключением

множителя (. Для определения значения подставим выражения qi в условие

Страницы: 1, 2, 3