Задача Лагранжа

(32). Получаем:

В соотношении (36) все величины, кроме (, заранее известны, т.е. оно

является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно

разрешить относительно множителя (. Найдя значения ( = (0, можно определить

оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам:

Теперь можно рассматривать конкретный пример.

Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех

видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед.

Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения

одной единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10

руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго

– 1600 руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара

занимает 3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти

оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:

R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000;

C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10;

Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000;

V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5;

V = 18000;

Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя (;

или

откуда (о = - 2,41.

Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):

Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных

поставок. Должно выполняться:

V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о ( V = 18000.

Имеем:

3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000.

Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы

оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем

примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе

товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С

течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же

не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.

Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные

данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36)

имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же

упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения

рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не

является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее,

возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на

практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться

будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной

математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и

потому значения множителя ( можно определить из уравнения (36) приближенно

с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую

нахождения значения (, тем не менее мы определили его приближение. С учетом

выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не

сужается общностью рассмотрения модели.

8. Рацион Робинзона

Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее

ставил Госсен.

Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n.

Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi).

Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом

состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по

отдельным благам, так что

[pic]

Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности

человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание

и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу

i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное

ограничение выражается равенством

[pic]

где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ.

Задача рационального потребления теперь сводится к определению такого

“рациона” - набора благ Х = (х1,…,хn), - который доставляет максимум TU(X)

при ограничении (38).

Лагранжиан этой задачи:

[pic].

Условия оптимума выражается системой

[pic]

или

[pic]

Итак, предельные полезности различных благ в точке оптимума

пропорциональны удельным затратам времени. Это значит, что для любой пары

благ (i, j) отношение их предельных полезностей равно отношению удельных

затрат времени:

[pic]

А отсюда следует, что дополнительная малая порция времени (скажем,

минута), затрачиваемая на любое из благ, дает один и тот же прирост

полезности.

Величина этого прироста, определяется коэффициентом (: если Робинзон

сможет выделить на потребление благ дополнительно (Т единиц времени, то

общая полезность возрастет при этом на величину

(TU ( ((T. (40)

Заметим, что убывание предельной полезности гарантирует единственность

оптимума. Если взять другие значения хi, (обозначим их хi'), также

удовлетворяющие условиям, пропорциональности предельных полезностей

удельным затратам времени:

MUi(xi') = (i' ti

то либо (’ ( (, тогда xi' ( xi. для всех продуктов (предельная полезность

убывает с ростом xi); либо (’ < ( - для всех i. В первом случаи потребное

количество времени меньше Т, во втором – больше, но ни в одном из них не

ограничений будет выполнено.

Попутно отметим следующее обстоятельство. Система уравнений (40)

определяет наилучший набор благ при любом фиксированном количестве Т

выделенного времени; с величиной Т связано лишь численное значение (.

Считая величину Т переменной, введем как в предыдущем пункте, функцию.

[pic]

которую можно трактовать как общую полезность времени. Это – “вторичная”

полезность: её величина определяется максимальной полезностью набора благ,

достижимой при данном количестве выделенного времени. Точный смысл

приближенного равенства (31) состоит в том что

[pic]

то есть ( - предельная полезность времени для Робинзона.

Как мы только что видели, сравнивая ( и (' для различных наборов благ,

чем больше Т, тем меньше (. Поскольку природа выделяемого ресурса

несущественна, мы можем сделать следующий общий вывод:

если предельная полезность каждого блага снижается с ростом объема его

потребления, а затраты ресурса пропорциональны объему, то предельная

полезность ресурса падает с увеличением количества используемого ресурса.

Проиллюстрируем эти результаты числовым примером. Допустим, что Робинзон

потребляет 3 вида благ, причем все частные функции полезности имеют один и

тот же вид

[pic]

с различными коэффициентами ai. Он может выделить на потребление 15 часов в

сутки; остальные данные приведены в таблице:

|t |ai |ti |

|1 |50 |1 |

|2 |100 |2 |

|3 |50 |2 |

Воспользуемся системой (30):

[pic]

Отсюда

[pic]

Подставим числовые значения известных параметров:

[pic]

Используем теперь ресурсное ограничение:

[pic]

откуда ( = 200 / (15 + 5) = 10. Теперь найдем количество каждого блага:

[pic]

Остальные результаты расчета приведены в таблице:

|i |xi |tixi |TUi |

|1 |4 |4 |80,5 |

|2 |4 |8 |160,9 |

|3 |1,5 |3 |45,8 |

|( | |15 |287,2 |

9. Взаимные экстремальные задачи

Задачу Лагранжа с одним ограничением можно было бы записать в следующей

форме:

f(X) – c ( max

при условии (41)

h(X) = r.

Вычитание константы с из целевой функции не изменяет положения оптимума.

Лагранжиан этой задачи:

L(X; () = f(X) - с - ([h(X) - r],

а условия оптимума имеют вид

[pic]

Рассмотрим теперь задачу, в которой целевая и ограничивающая функции

поменялись ролями:

h(X) – r ( min

при условии (43)

f(X) = с.

Для новой задачи лагранжиан равен

L1(Х; () = h(Х) - r - ([f(X) - с],

а условие оптимальности –

[pic]

Задачи (41) и (43) называют взаимными по отношению друг к другу. Если,

например, исходная задача состояла в максимизации полезности некоторого

набора продуктов при заданном ресурсном ограничении, то взаимная задача

состоит в минимизации расхода ресурса при обеспечении заданного уровня

полезности.

Сравнение равенств (42) и (43) показывает, что условия оптимальности у

обеих задач одни и те же: достаточно положить ( = 1/(, чтобы в этом

убедиться. Если ( - предельная полезность ресурса, то ( можно было бы

назвать “предельной ресурсоемкостью полезности”.

10. Модель потребительского выбора

Перейдем к рассмотрению рационального потребительского выбора в

пространстве благ с теми же отношениями предпочтения. Введем в рассмотрение

функцию полезности u(Х), согласованную с предпочтениями данного

потребителя: u(Х) > u(у) тогда и только тогда, когда Х ( У. Функцию u(Х)

будем считать непрерывно дифференцируемой.

При этих допущениях моделью потребительского оптимума служит задача

Лагранжа

u(Х) ( max

при условии

( рiхi = m,

где рi - цена i - го блага, а m - денежный доход потребителя. Условия

оптимальности имеют вид

[pic]

Введем для удобства обозначение [pic] и представим условия оптимальности в

форме

[pic]

Формально эта система похожа на систему (39), описывающую оптимальность в

задаче о рационе Робинзона. Но здесь имеются и существенные отличия. Во-

первых, теперь мы отказались от предположения о суммируемости полезностей

различных благ, и ui, - не производные полезностей отдельных благ, а лишь

частные производные общей функции полезности. Во-вторых, u(Х) - это не

полезность в некоторой абсолютной количественной шкале, а лишь функция,

согласованная с предпочтениями и отражающая только порядковые отношения.

Тем не менее, перечень аналогичных свойств можно продолжить. Для любой пары

благ (i, j) в точке оптимума должны выполняться соотношения

[pic]

Отметим, что выражение в левой части — это норма замещения i-го блага j-м

при постоянстве объемов всех остальных благ: в пределах поверхности

безразличия должно выполняться равенство

[pic]

то есть

[pic]

Как мы уже выяснили, значение множителя Лагранжа должно выражать

предельную полезность лимитирующего ресурса, в данном случае - денежного

дохода (или, проще, - предельную полезность денег). Но поскольку значения

функции u(Х) не являются абсолютными значениями полезности, постольку и

полная полезность денег

[pic]

имеет смысл лишь по отношению к выбранной шкале полезностей. То же

относится и к предельной полезности денег.

Что произойдет, если функцию полезности u(Х) заменить равносильной ей

функцией u*(Х)? Отношение предпочтения сохранится, если u*(Х) = ((u(Х)),

где ((u) - монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования

сложной функции позволяет утверждать, что

[pic]

где ('(u) - значение производной d( (u)/du. Заметим, что множитель ((u)

является одним и тем же для всех благ. Поэтому условия оптимальности

ui(Х) = (pi

ui(Х) = ( рi

определяют одно и то же положение потребительского оптимума в пространстве

благ. Различаются лишь значения множителей Лагранжа:

( = ('(u) ( (47)

К этому результату можно подойти с другой стороны. Задавшись некоторым

значением m дохода, при использовании функций u(Х) и u*(Х) мы получим один

и тот же оптимальный набор благ Х0 . Общая полезность денег в одной шкале

примет значение U(m) = u(Х0), в другой [pic]. Таким образом, при любом

уровне дохода

U'(m) = ((U(m)), (48)

то есть общие полезности дохода в разных шкалах связаны между собой точно

так же, как и полезности наборов благ. А так как множитель Лагранжа в

рассматриваемой задаче - это предельная полезность денежного дохода, то,

применяя к равенству (48) правило дифференцирования сложной функции, мы

снова придем к равенству (47).

Заметим, что оптимум потребителя не всегда может быть определен в рамках

задачи Лагранжа. Множество допустимых решений ограничено не только бюджетом

потребителя, но и условиями неотрицательности объемов благ:

[pic]

Если на бюджетной поверхности норма замещения каких-либо двух благ всюду

больше или всюду меньше отношения цен, то равенство (46) не может

выполняться ни в одной точке. Задача не имеет внутреннего решения, а имеет

угловое решение. В рамках задачи Лагранжа не могут быть описаны решения,

которые лежат на границах области, определяемой неравенствами.

11. Лабораторные задачи

Задача 1: Некоторое торговое предприятие в течении промежутка времени Т

собирается завести и реализовать некоторый товар R общим объёмом. Стоимость

завоза одной партии равна Сs, а хранение обходится С1. Необходимо

определить оптимальный размер поставки, чтобы суммарный, а так же

количество поставок, интервал времени между поставками и минимальные

суммарные издержки. Т.е. надо найти: qo, no, tso, Qo.

Вариант 1.

T = 24

R = 240000

Cs = 1000

C1 = 30

Вариант 2.

T = 12

R = 15000

Cs = 800

C1 = 60

Вариант 3.

T = 6

R = 9000

Cs = 450

C1 = 20

Вариант 4.

T = 12

R = 9000

Cs = 1200

C1 = 40

Вариант 5.

T = 8

R = 13000

Cs = 900

C1 = 46

Вариант 6.

T = 3

R = 5000

Cs = 300

C1 = 15

Вариант 7.

T = 12

R = 17000

Cs = 1400

C1 = 60

Вариант 8.

T = 6

R = 9000

Cs = 1300

C1 = 30

Вариант 9.

T = 24

R = 250000

Cs = 12000

C1 = 65

Вариант 10.

T = 12

R = 10000

Cs = 3000

C1 = 35

Задача 2: Торговое предприятие намерено завести и реализовать товар n

видов объемами соответственно Rn. Весь объем складских помещений

составляет V. Стоимость хранения одной единицы товара равна C1n. Расходы по

завозу Csn. При этом каждая из n единиц занимает Vn метров. Найти

оптимальные размеры поставок каждого из видов товара.

Вариант 1.

n = 2

R1 = 32000, R2 = 30000;

C11 = 9, C12 = 10;

Cs1 = 1100, Cs2 = 1350;

V1 = 2, V2 = 4;

V = 20000;

Вариант 2.

n = 4

R1 = 4000, R2 = 2000,

R3 = 5000, R4 = 5000;

C11 = 6, C12 = 7, C13 = 9,

C14= 12;

Cs1 = 1100, Cs2 = 1000,

Cs3 = 2000,

Cs4 = 3000;

V1 = 3, V2 = 5, V3 = 5, V3 = 8;

V = 24000;

Вариант 3.

n = 2

R1 = 3500, R2 = 19000;

C11 = 6, C12 = 5;

Cs1 = 1900, Cs2 = 1200;

V1 = 4, V2 = 5;

V = 25000;

Вариант 4.

n = 3

R1 = 4000, R2 = 2000,

R3 = 1000;

C11 = 8, C12 = 8, C13 = 9;

Cs1 = 200, Cs2 = 600, Cs3 = 200;

V1 = 2, V2 = 5, V3 = 3;

V = 9000;

Вариант 5.

n = 2

R1 = 4200, R2 = 2000;

C11 = 6, C12 = 8;

Cs1 = 1500, Cs2 = 1900;

V1 = 3, V2 = 6;

V = 15000;

Вариант 6.

n = 3

R1 = 24000, R2 = 19000,

R3 = 20000;

C11 = 6, C12 = 10, C13 = 10;

Cs1 = 1900, Cs2 = 2000,

Cs3 = 2000;

V1 = 7, V2 = 5, V3 = 5;

V = 30000;

Вариант 7.

n = 3

R1 = 32000, R2 = 5000,

R3 = 21000;

C11 = 8, C12 = 5, C13 = 10;

Cs1 = 1800, Cs2 = 990,

Cs3 = 1000;

V1 = 4, V2 = 2, V3 = 3;

V = 26000;

Вариант 8.

n = 2

R1 = 12500, R2 = 8200;

C11 = 3, C12 = 8;

Cs1 = 900, Cs2 = 1900;

V1 = 3, V2 = 5;

V = 15000;

Вариант 9.

n = 3

R1 = 32000, R2 = 44000,

R3 = 20000;

C11 = 8, C12 = 10, C13 = 15;

Cs1 = 1500, Cs2 = 1900,

Cs3 = 2500;

V1 = 4, V2 = 6, V3 = 8;

V = 20000;

Вариант 10.

n = 2

R1 = 26000, R2 = 17000;

C11 = 6, C12 = 3;

Cs1 = 2100, Cs2 = 1400;

V1 = 6, V2 = 4;

V = 23000.

Список использованной литературы

1. В.И. Варфоломеев “Моделирование элементов экономических систем”.

Москва 2000г.

2. Бусленко Н.П. “Моделирование сложных систем” Москва, 1999г.

3. У. Черчмен, Р. Акоф, Л. Артоф. “Введение в исследование операций”.

Наука: Москва, 1968г.

4. А. Будылин “Элементарные задачи”. Москва, 2002г.

5. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариацинное “Исчисление и

оптимальное управление”. Москва, 1999г.

6. Ашманов С.А., Тимохов А.В. “Теория оптимизации в задачах и

упражнениях”. Москва, 1991г.

7. “Лабораторный практикум по методам оптимизации”. А.Г.Коваленко,

И.А.Власова, А.Ф.Федечев.- Самара, 1998г.

-----------------------

[pic]

–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–

??/???†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†?????????????–??/??

???†???????????"???–??/?????[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Задача Лагранжа

ИНТЕРЕСНОЕ