Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

требуются практически никакие предварительные знания, но зато необходима

чрезвычайно высокая культура работы с даваемыми определениями, необходима,

если можно так сказать, потребность в определениях [11].

2.2. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ГРУПП

НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

2.2.1. РОЛЬ ФАКУЛЬТАТИВОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Факультативные занятия играют очень важную роль в процессе обучения.

Факультативы обеспечивают высокие результаты в обучении и развитии

школьников.

Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется

умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного

усвоения одинакового, обязательного для всех членов общества содержания

образования и всемерного удовлетворения и развития духовных запросов,

интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Без

факультативных занятий такой подход осуществить крайне трудно [26].

Факультативы являются одним из основных средств дифференциации

обучения в условиях всеобщего среднего обязательного образования, они

помогают решать задачи совершенствования содержания и методов обучения.

Наиболее перспективными являются факультативные занятия по математике.

Основная задача факультативных занятий по математике состоит в том, чтобы,

учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания

программного материала, ознакомить их с некоторыми общими идеями

современной математики, раскрыть приложения математики в практике.

Кроме того, основной задачей на факультативе является задача

воспитания. Важно, чтобы на факультативных занятиях была создана атмосфера,

выводящая учащихся из привычных и в определенной степени «приевшихся» рамок

типичного «школярства». Таким образом, ценность факультативных занятий не

только в обучении, но и в воспитательном воздействии [13].

Главной целью факультативов по математики является углубление и

расширение знаний, развитие математического мышления, формирование

активного познавательного интереса к предмету, привитие школьникам интереса

и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их

инициативы и творчества. Факультативные занятия содействуют

профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений,

облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней

[17].

В основе выбора учащимися факультативного курса по математике лежит в

определенной степени устойчивый интерес к математике или ее приложениям.

Наличие такого интереса у учащихся позволяет в рамках факультативных

занятий рассматривать разделы математики на достаточно высоком уровне.

Наличие у учащихся серьезного интереса к математике – необходимое условие

успешного проведения факультативных занятий.

У учащихся, приступивших к изучению математики на факультативных

занятиях, несомненно, будут расти возможности интенсификации учения и,

главное, трудоспособность в процессе занятий. Именно на факультативных

занятиях можно ставить вопрос об ускорении изучения материала за счет

значительной самостоятельности работы учащихся, большего внимания,

уделяемого индивидуальному подходу к обучению.

Факультативные занятия служат не только приобщению огромного числа

учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством

индивидуализации обучения.

Важнейшее назначение факультативных занятий по математике – пробуждать

и укреплять интерес учащихся к науке, потребность и желание лучше знать

материал [26].

Факультативы по математике должны строиться так, чтобы быть для

учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо

использовать естественную любознательность школьников для формирования

устойчивого интереса к своему предмету. Занимательность поможет учащимся

освоить факультативный курс, содержащиеся в нем идеи и методы

математической науки, логику и приемы творческой деятельности [18].

Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании

школьного, в том числе математического, образования. Они позволяют

производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых

методов обучения, в широких пределах варьировать объем и сложность

изучаемого материала.

2.2.2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ

ПО МАТЕМАТИКИ

Различают два вида факультативных занятий по математике:

1) изучение дополнительных глав и вопросов математики, цель которого

состоит в расширении и углублении знаний учащихся по обязательной

для всех программе, ознакомление с разделами, примыкающими к

программным или раскрывающими приложениями математики;

2) небольшие специальные курсы, знакомящие учащихся (в основном

старших классов) с некоторыми областями современной математике

[25].

Факультативные занятия, подобно занятиям по изучению обязательного

курса, должны проводиться на основе государственных программ. Этими

программами определяются тематика математических факультативов и

фиксируется время, отведенное на рассмотрение той или иной темы. Тем самым

определяется объем знаний и навыков, достигаемых учащимися при прохождении

каждой темы.

Вместе с тем, сообразуясь с собственными возможностями, возможностями

своих учеников, учитель может выбрать для факультативных занятий любой из

рекомендованных Министерством Просвещения курсов. Программы предусматривают

различные вариации содержания факультативных курсов. Поэтому каждый учитель

может в какой-то степени варьировать содержание курса, не выходя за рамки

программ факультатива. Сказанное выше в еще большей степени относится к

специальным курсам по математике, которые вообще предполагают

последовательное изучение определенной тематики в течении длительного

времени [26], [30].

Факультативные занятия не являются обязательными для учащихся. Их

посещают школьники, которые выбрали данный факультатив по своему желанию.

Условие необязательного выбора накладывает определенные требования на

систему факультативных занятий диктуя свои ограничения, относящиеся как к

содержанию, так и к методике этих занятий.

Во-первых, факультативные программы различных классов должны быть по

возможности независимы друг от друга. Только в старших классах, учащиеся

которых обладают уже сравнительно устойчивым сформировавшимся интересом к

математике, возможна постановка специальных курсов, рассчитанных более чем

на год. При этом желательно, чтобы такие курсы носили прикладной характер,

давая учащимся возможность профориентации в области математики и ее

приложений.

Во-вторых, содержание и методика проведения факультативных занятий

должны привлекать учащихся.

Это обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих

большое общеобразовательное и прикладное значение. Изучение таких позволяет

существенно повысить уровень математического развития учащихся, что и

является главной задачей математических факультативов [30].

Для того, чтобы факультативные занятия по математике были

эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные

вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью, то группы учащихся

для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из

учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных

началах в соответствии с их интересами. Требования к учащимся, участвующим

в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного

предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий,

собранность, дисциплинированность в учебе [17], [18].

Учитель математики несет полную ответственность за качество

факультативных занятий; факультативные занятия вносят в расписание и

оплачиваются учителю.

Основными формами проведения факультативных занятий по математике

являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного

факультативного курса лекционным методом, семинары, дискуссии, решение

задач, рефераты учащихся как по теоретическим вопросам, так и по решению

цикла задач и так далее [18].

Факультативные занятия представляют собой одно из проявлений новой

формы обучения математике – дифференцированного обучения. По существу

факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью

дифференциации обучения.

2.2.3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

2.2.3.1. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ

ГРУПП В ПРОГРАММУ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ

В настоящее время очень часто приходится обсуждать вопрос: нужно ли

вообще изучать элементы современной математики в курсе средней школы. Мы

считаем, что не только нужно, но и совершенно необходимо в силу огромной

практической и познавательной значимости элементов современной математики.

Знакомство школьников с современной математикой целесообразно начать с

изучения элементов теории групп, так как структура группы является не

только структурой, представляющей большой научный интерес, но и структурой,

имеющей простые интерпретации на конечных множествах. К тому же структура

группы часто встречается в школьном курсе математики.

Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп

целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера

математической структуры. Например, существует большое число простых и

конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам

материале, причем многие из них являются весьма наглядными. Кроме того,

аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно,

посредством изучения одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. Многие

дедуктивные выводы из аксиом группы просты и изящны. К тому же учащимся,

испытывающим определенные затруднения при чисто абстрактном исследовании,

часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном

и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой. Весьма

небольшое число аксиом оказывается достаточным для рассмотрения разных

теорем, сразу приводящих к интересным результатам [16].

При этом имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми

любопытными вопросами теории групп, а систематическая и планомерная работа

по изучению структуры группы.

Исходя из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что

теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам

образец современной математической теории.

2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ

СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов

современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.

Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы

современной алгебры» и проведена апробация этого курса среди учащихся 9-10-

х классов абаканской национальной гимназии им. Н.Ф. Катанова. Мы ставили

перед собой следующую задачу: познакомить школьников с элементами теории

групп.

Факультативный курс «Элементы современной алгебры» можно провести по

следующему тематическому плану.

1) Алгебраические действия. Свойства алгебраических действий (4 часа).

2) Понятие полугруппы. Примеры полугрупп (2 часа).

3) Подполугруппы. Идеалы полугрупп (2 часа).

4) Делимость элементов в полугруппе (2 часа).

5) Регулярные элементы полугрупп. Понятие инверсной полугруппы (2

часа).

6) Гомоморфизм и изоморфизм полугрупп (2 часа).

7) Свободная полугруппа слов. Полугруппа преобразований (2 часа).

8) Понятие группы. Примеры групп. Группы симметрий. Свободная группа

(6 часов).

9) Простейшие свойства групп. Группа перестановок (симметрическая

группа) (4 часа).

10) Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп

(4 часа).

11) Определяющие соотношения в группах (2 часа).

12) Порождающие множества групп. Циклическая группа (2 часа).

13) Гомоморфизм и изоморфизм (2 часа).

14) Симметрические многочлены (4 часа).

В рамках данного факультативного курса мною проведены 2 занятия по

теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».

Занятие 1.

Тема: «Понятие подгруппы. Примеры подгрупп».

Цели:

- познакомить учащихся с понятием подгруппы, рассмотреть критерий

подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, разобрать

примеры различных подгрупп;

- продолжить развитие абстрактного мышления учащихся;

- формировать у учащихся внимание, наблюдательность.

Ход занятия.

На предыдущих занятиях вы познакомились с понятием группы, а понятие

группы тесно связано с таким понятием, как «подгруппа». Подгруппы играют

особую роль в развитии и применении теории групп. Поэтому сегодня на

занятии вы познакомитесь с понятием «подгруппа».

Для начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. Из

предыдущих занятий вам известно, что множество целых чисел образует группу

по сложению. Выделим во множестве целых чисел два подмножества:

подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. Теперь

попробуем выяснить, являются ли выбранные нами подмножества группами по

сложению. Для этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы

(ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного

элементов, наличие бинарной операции).

Сначала рассмотрим подмножество четных целых чисел. Сложение является

бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два

четных числа, то в результате снова получится четное число. Сложение

ассоциативно, нейтральным элементом является нуль, у каждого элемента есть

обратный (так как число, обратное четному числу, также четно). Значит,

подмножество четных целых чисел является группой по сложению.

Теперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. Сложение не

является бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если

сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получится нечетное

число. Например, числа 3 и 5 являются нечетными, а их сумма является четным

числом. Следовательно, данное подмножество не является группой.

Таким образом, в том случае, когда для подмножества данного множества,

являющегося группой, выполняются все аксиомы группы, то говорят, что это

подмножество называется подгруппой данной группы.

Запишем определение: подмножество группы называется подгруппой этой

группы, если оно само является группой относительно операции, переделенной

в группе.

Следовательно, из рассмотренного нами примера следует, что

подмножество четных чисел является подгруппой группы целых чисел

относительно сложения. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой

группы целых чисел относительно сложения.

Но для того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не проверять

все аксиомы группы, принято пользоваться следующим критерием подгруппы.

Теорема: для того, чтобы непустое подмножество Н группы было

подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то

есть для любых элементов h1, h2[pic] и [pic];

2) множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к

нему элемент, то есть для любого элемента [pic] и [pic].

Данная теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных

групп проверка 2) условия является излишней, то есть для конечных групп

справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема: пусть - группа, Н – конечное пустое подмножество G,

замкнутое относительно операции «*», тогда Н является подгруппой группы G.

Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы:

1) все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее

только из одного нейтрального элемента;

2) любая группа содержит себя в качестве подгруппы.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых

подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы –

несобственными.

Давайте выполним следующее задание:

I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно

умножения, то есть . Требуется проверить, являются ли подгруппами

этой группы следующие множества:

1) множество положительных действительных чисел;

2) множество рациональных чисел, отличных от нуля.

Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт

вы попробуете решить самостоятельно.

Так как группа действительных чисел, отличных от нуля относительно

умножения является бесконечной группой, то для отыскания подгрупп этой

группы будем пользоваться критерием подгрупп. Нам надо проверить

выполнимость двух условий критерия. Первое условие выполняется, так как

произведение двух положительных действительных чисел положительно и

действительно (например, [pic]). Второе условие критерия также выполняется,

так как число, обратное положительному, также положительно. Следовательно,

является подгруппой группы .

Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиеся приводят

различные примеры подгрупп).

Далее выполним следующие задания:

II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу

группы целых чисел по сложению.

III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и –1 подгруппой

группы .

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения:

I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы .

II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы .

Занятие 2.

Тема: «Подгруппы симметрических групп».

Цели:

- познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с

методом нахождения подгрупп симметрических групп;

- продолжить развитие абстрактного мышления школьников;

- способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.

Ход занятия.

Вы уже знакомы с симметрической группой Sn. Внутреннюю структуру

симметрической группы Sn можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение

внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее многие

свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем рассматривать

подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с методом отыскания

подгрупп.

Для начала следует отметить то, что симметрическая группа Sn имеет

много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с

увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы Sn удается лишь

для небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.

Нам известно, что симметрическая группа Sn конечна. Поэтому для того,

чтобы подмножество Н группы Sn являлось подгруппой группы Sn, достаточно

чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н.

Рассмотрим следующий пример: пусть Н – множество перестановок [pic].

Проверим, является ли Н подгруппой группы S4.

Проверим, выполняется ли для данного множества условие теоремы о

подгруппах для конечных групп (замкнутость множества относительно операции

умножения). Оказывается, что данное условие не выполняется, так как [pic].

Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S4.

Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой

Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Страницы: 1, 2, 3, 4