Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является

делителем порядка G.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач,

связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S3, порядок этой группы

равен 3!=6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S3

могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются делителями

числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли подгруппами группы S3

подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок.

Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть

применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не

верно. Например, знакомая вам знакопеременная группа А4 имеет порядок 12,

но в ней нет подгрупп порядка 6.

Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также

облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h - делитель числа g;

если h=pn, где р – простое число, а n – положительное целое число, то

группа G содержит подгруппу порядка h.

Рассмотрим, например, знакопеременную группу A4, порядок этой группы

равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А4

содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2=21, 3=31, 4=22.

Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп.

Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания всех

подгрупп симметрической группы Sn.

Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических

групп. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи: опишите все подгруппы симметрической группы S3.

Мы знаем, что порядок группы S3 равен 6. Из теоремы Лагранжа следует,

что подгруппы из S3 могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме

Силова такие подгруппы точно существуют.

Опишем сначала подгруппы, которые состоят из 2 перестановок. Если Н –

такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент

[pic], то есть [pic].

Так как элемент обратный к [pic] не может совпадать с Е, то [pic].

Последнее равенство можно записать так: [pic], то есть Е=[pic].

Следовательно, [pic] - перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения

группы S3 (Приложение 1) видно, что подгруппами группы S3 будут следующие

подмножества:

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Это следует из того, что [pic], [pic], [pic].

Опишем теперь подгруппы, состоящие из 3 перестановки. Если G – такая

подгруппа, то в нее входит элемент Е и два различных элемента [pic] и

[pic], то есть [pic].

Перестановки [pic] и [pic] должны иметь порядок 3, так как если одна

из них, например [pic], имеет порядок 2, то перестановка [pic] также будет

иметь порядок 2. но легко проверить, что произведением любых двух

перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Это

видно из таблицы умножения группы S3 (Приложение 1). Так как, например,

[pic]. Следовательно, перестановки [pic] и [pic] должны иметь порядок 3, то

есть [pic], [pic].

Из таблицы Кэли видно, что [pic], так как [pic] и [pic]. Кроме того из

таблицы следует, что произведение каждых элементов множества G является

элементом из G, то есть выполняется условие теоремы о подгруппах для

конечных групп. Значит, множество G группы S3 является подгруппой

симметрической группы S3.

Таким образом, мы получили, что группа S3 имеет 6 различных подгрупп:

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

4) [pic]

5) [pic]

6) [pic]

Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы

S3. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы

Sn.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения.

I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в

группе S4:

1) [pic];

2) [pic].

II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа

порядка 5.

III. Опишите все подгруппы группы S4, состоящие из трех перестановок.

Сколько их?

Представленные выше 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы

симметрических групп» являются частью большого факультативного курса

«Элементы современной алгебры». Чтобы более подробно изучить данную тему

можно провести небольшой факультативный курс «Элементы теории групп.

Симметрические группы» для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические

группы».

1) Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6

часов).

Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства

действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость,

существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей

Кэли.

2) Общие определения группы. Примеры групп (4 часа).

Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих

определений, разобрать примеры групп.

3) Перестановки и симметрические группы (группы перестановок) (8

часов).

Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок,

свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость,

единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами,

транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.

4) Подгруппа. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (6

часов).

Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры

подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп,

теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения

подгрупп симметрических групп.

5) Обобщающее занятие (2 часа).

6) Итоговая проверочная работа (Приложение 2), задается учащимся на

дом.

2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО

КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и

результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы

элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально

организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы

студентов по апробированию разработанного факультативного курса в условиях

педагогического процесса школы.

На организационном этапе были определены цель, задачи и методы

исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено

условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.

Экспериментальная работа в школе была определена следующим

методологическими характеристиками:

Тема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на

факультативных занятиях по математике.

Объект – элементы современной алгебры в программе факультативных

курсов по математике.

Предмет – элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на

факультативных занятиях по математике.

Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и

возможность введения элементов современной алгебры в программу

факультативных курсов.

Гипотеза эксперимента – введение элементов современной алгебры в

программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов

целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если

осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

Задачи эксперимента:

1) Экспериментально проверить возможность введения разработанного

факультативного курса в школьное обучение;

2) Разработать и апробировать факультативный курс «Элементы

современной алгебры»;

3) Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на

факультативе учебного материала;

4) Сделать выводы на основании экспериментальных данных.

Экспериментальная база – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г.

Абакан, Республика Хакасия).

Этапы эксперимента:

1) подготовительный – до октября 1999 года;

2) формирующий эксперимент – с октября 1999 года до февраля 2000

года;

3) подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов – до

апреля 2000 года.

Методика эксперимента: Изучение математической и методической

литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий,

письменный опрос школьников, математическая обработка результатов

эксперимента.

На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа

факультативного курса «Элементы современной алгебры», а также содержание

занятий этого факультатива по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы

симметрических групп».

Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного

нами факультативного курса, определении продолжительности и количества

занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия

факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем

продолжительность одного занятия равнялась академическому часу.

Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у

учащихся остаточных знаний программы факультатива.

После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была

предложена для выполнения итоговая проверочная работа (Приложение 3).

Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на 4

уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных

операций.

Первый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий,

требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: понятия,

правила, готовые выводы.

Второй уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование

знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям.

Задания третьего уровня (аналитико-синтетического) предусматривали

наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения

заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре

приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической

обработки учебного материала (выделения главного, умения сравнивать,

доказывать, обобщать и конкретизировать).

Для выполнения заданий четвертого уровня (творческого) было необходимо

умение применять знания в значительно измененных условиях. Задания на

четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого

характера.

В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий,

было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие задания:

1) Задание первого уровня.

Пусть - группа, - группа, является ли подгруппой

группы .

2) Задание второго уровня.

Доказать, что подмножество [pic] является подгруппой группы S3.

3) Задание третьего уровня.

Пусть Н – множество перестановок [pic], [pic], [pic], [pic].

Проверить, является ли Н подгруппой группы S4.

Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что

учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно

усвоили учебный материал по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы

симметрических групп».

Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся (85%),

хотя наивысший балл получили лишь несколько школьников. Это связано с тем,

что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только правильный

ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались работы, в которых

учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В основном, большинство

школьников без особых затруднений выполняют задания первого уровня.

С задание второго уровня справилось 69% учащихся. Самой

распространенной ошибкой при выполнении данного задания являлось то, что

учащиеся не до конца проверяли условия теоремы о подгруппах для конечных

групп. Они не учитывали то, что нужно проверять принадлежность данному

множеству элемента [pic]. Некоторые учащиеся вообще не применяли данную

теорему, а использовали критерий подгрупп, то есть проверяли принадлежность

множеству элемента [pic], что является излишним для конечных групп.

Отыскание подгрупп с помощью этого критерия является не рациональным для

конечных групп.

Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют

задания такого уровня. Снижение показателей по сравнению с первым уровнем

обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к применению знаний

необходима соответствующая натренированность учащихся в применении знаний,

чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не смогли уделить этому

внимание из-за отсутствия времени, необходимого для тренировки учащихся в

применении полученных знаний.

Задание третьего уровня выполнили 54% школьников, так как задания

такого типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они

представляют значительную трудность для многих школьников. Как правило,

только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные

задания.

На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной

работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех

заданий.

Таким образом, результаты проверочной работы показали, что

разработанный нами факультативный курс «Элементы современной алгебры»

доступен пониманию школьников. Следовательно, в ходе формирующего

эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследования о

возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.

[pic]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела

проблема внедрения в школьное математическое образование элементов

современной математики.

Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по

математике показало, что, например, элементы современной абстрактной

алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. Даже

программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов

теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс

«Элементы современной алгебры» для учащихся 9-10-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов

современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы

целесообразность и доступность данного учебного материала.

В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены

задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество

подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано

содержание занятий факультативного курса по теме: «Понятие подгруппы.

Подгруппы симметрических групп».

На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана

характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности

формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние

элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления

старшеклассников.

Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами

факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками, а

также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более

высокий уровень развития. Все это свидетельствует о том, что выдвинутая

нами гипотеза подтвердилась.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса

математики//Математика в школе. – 2000. - №1. – с.2-4.

2. Беляков Е. Математика – царица наук? Кажется, этот предмет немного

устарел//Учительская газета. – 1999. - №20.

3. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971. – 246 с.

4. Гнеденко Б.В. Статическое мышление и школьное математическое

образование//Математика в школе. – 1999. - №6. – с.5-8.

5. Историческое введение в теорию Галуа/Сост. Марков С.Н. – Иркутск: ИГУ,

1997. – 20 с.

6. Каргополов М.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 288 с.

7. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. – М.:

Наука, 1979. – 112 с.

8. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967. – 648 с.

9. Концепция математического образования в 12-летней школе//Математика

(приложение к «Учительской газете»). – 2000. - №7. – с.1-5.

10. Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие

для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. – М.:

Просвещение, 1993. – 288 с.

11. Карп А.П. Даю уроки математики…: Книга для учителя. – М.: Просвещение,

1992. – 191 с.

12. Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я. Упражнения по теории групп. – М.: Наука,

1967. – 304 с.

13. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по

математике//Математика в школе. – 1981. - №6. – с.8-10.

14. Метельский Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. –

Минск: Издательство БГУ, 1982. – 256 с.

15. Методическая разработка по современной алгебре к разделу «Элементы

теории групп и ее приложения»/Сост. Карижская Е.В., Толстова Г.С. – Л.,

1990. – 42 с.

16. Методика преподавания математики в средней школе: Частные

методики/Сост. Калягин Ю.М. и др. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

17. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост.

Черкасов Р.С., Столяр Е.С. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.

18. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/Сост.

Оганесян В.П., Калягин Ю.М. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

19. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Проблемы

современной методики математики. – Минск: Университетское, 1989. – 160

с.

20. На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и

материалов/Сост. Маркушевич А.И. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

21. Новое в школьной математике//Сост. Яглом И.М. – М.: Знание, 1972. – 199

с.

22. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. – М.:

Учпедгиз, 1963. – 1999 с.

23. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Фомирование мыслительных операций у

старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989. – 152 с.

24. Панамарчук В.Ф. Школа учит мыслить. – М.: Просвещение, 1979. – 144 с.

25. Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414

с.

26. Фирсов В.В., Шварцбург С.И. Состояние и перспективы факультативных

занятий по математике. – М.: Просвещение, 1977. – 48 с.

27. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. Пер. с венгерского

Данилова Ю.А. – М.: Ми, 1979. – 260 с.

28. Холл Ю.А. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы,

1962. – 468 с.

29. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в

школе. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.

30. Шварцбург С.И., Фирсов В.В. О характерных особенностях факультативных

занятий//Математика в школе. – 1972. - №1. – с.55-59.

Приложение 1

Таблица умножения симметрической группы S3

|* |Е |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|Е |Е |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |Е |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |Е |[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |Е |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |Е |

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |Е |[pic] |

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Приложение 2

Итоговая проверочная работа по материалу

факультативного курса

«Элементы теории групп. Симметрические группы».

Задания первого уровня

1. Является ли операция сложения алгебраической операцией во множестве

действительных чисел.

2. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

а) [pic] б) [pic] в) [pic].

3. Пусть - группа и - группа. Проверить, является ли

подгруппой группы .

Задания второго уровня

1. Выяснить, является ли действием в множествах R+ и N нахождение

среднего арифметического.

2. Представьте перестановку в виде произведения независимых циклов:

[pic].

3. Является ли подгруппой группы множество [pic].

4. Существует ли в конечной группе порядка 8 подгруппа порядка 4.

Задние третьего уровня

1. Проверить, является ли множество рациональных чисел группой по

сложению.

2. Пусть Н – множество перестановок [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].

Проверить, является ли Н подгруппой группы S5.

3. Дана перестановка [pic]. Найдите [pic], [pic], [pic] и покажите,

что множество [pic] является группой перестановок.

Задания четвертого уровня

1. Приведите пример четырехэлементной группы.

Приложение 3

Итоговая проверочная работа по материалу факультативного

курса «Элементы современной алгебры».

Задания первого уровня

1. Заданы преобразования [pic]: [pic], [pic],[pic]. Среди

преобразований [pic] укажите а) [pic], б) [pic].

2. Является ли операция умножения алгебраической операцией на

множестве действительных чисел.

3. Дана подгруппа , в ней нашелся элемент –5 такой, что

выполняется соотношение: 5+(-5)+5=5. Является ли элемент 5 регулярным в

подгруппе .

4. [pic]. Из предложенных ниже последовательностей выберите те,

которые являются словами над алфавитом X.

а) [pic] б) [pic]

в) [pic] г) [pic]

д) [pic] е) [pic]

ж) [pic]

5. В подгруппе выполнено равенство [pic]. Является ли элемент b

правым делителем элемента [pic].

6. Пусть - группа, - группа. Является ли

подгруппой группы . Обоснуйте ответ.

7. Какие из следующих преобразований являются перестановками:

а) [pic] б) [pic]

в) [pic] г) [pic].

Задания второго уровня

1. Множество [pic], где [pic]. Образует ли множество М относительно

операции «*» полугруппу.

2. Из операций (+, -, *, /) укажите только те, которые являются

алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).

3. Дана полугруппа . Проверить, будет ли данная полугруппа

регулярной.

4. u, v, w – слова над алфавитом [pic], [pic], [pic], [pic]. Из

предложенных ниже последовательностей выберите те, которые являются

словами, равными u*(w*v), (u*w)*v:

а) [pic] б) [pic]

в) [pic] г) [pic].

5. На множестве [pic] заданы произведения u*v=E и w*u=E, u=x2x1[pic].

Найдите слова v и w, удовлетворяющие произведениям.

6. Дано множество [pic]. Являются ли группами , где «+» операция

сложения и , где «*» операция умножения.

7. Доказать, что подмножество [pic], где [pic] является подгруппой

группы S3.

8. Действия в полугруппе [pic] задано таблицей Кэли:

| |a |b |c |

|a |a |b |c |

|b |a |b |c |

|c |a |b |c |

Верно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делится на каждый

элемент из этой же полугруппы слева.

9. Определите, является ли полугруппой множество , если

[pic].

10. Решите уравнение: [pic].

Задания третьего уровня

1. Всякая ли регулярная полугруппа является инверсной. Ответ

обосновать.

2. Приведите пример полугруппы преобразований, состоящей из трех

элементов.

3. Как вы думаете, будет ли свободная полугруппа свободной группой.

Обоснуйте ответ.

4. Пусть Н –множество перестановок [pic], [pic], [pic], [pic].

Проверьте, является ли Н подгруппой группы S4.

5. Действие в полугруппе [pic] задано таблицей Кэли:

|* |0 |1 |

|0 |0 |1 |

|1 |0 |1 |

Что можно сказать о делимости элементов в полугруппе.

7. Дана перестановка u1=[pic]. Найдите [pic], [pic]. Покажите, что

множество [pic] является группой перестановок (по таблице Кэли).

8. Задайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно

поставить в соответствие число m и проверить, является ли

полугруппой:

а) m=2 б) m=1 в) m=[pic].

Задание четвертого уровня

1. Придумайте фигуру для которой можно составить группу симметрий,

имеющей 4 элемента.

Страницы: 1, 2, 3, 4