Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для

моделирования реальных процессов.

Выполнила: студентка 5-го курса

дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Прокофьевой Я. К.

Студенческий билет № 95035

Научный руководитель: доцент,

канд.

техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава 1. Уравнения гиперболического типа.

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.1. Уравнение колебаний струны..…………………………………………5

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19

§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных

производных.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29

Заключение………………………………………………………………………….40

Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается

математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в

знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными.

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения,

то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является решением. Это

обстоятельство позволяет построить общее решение линейного

дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных

решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным

образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.

Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных

производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных

физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике,

теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом

математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет

математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с

изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так,

например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный

характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.

В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к

уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение

каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих

к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа

наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами

колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

[pic]

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит

рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний

стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,

колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по

касательной к ее профилю. Пусть струна длины [pic] в начальный момент

направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим, что концы струны

закреплены в точках [pic]. Если струну отклонить от ее первоначального

положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать

в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и

придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать

движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в

определении формы струны в любой момент времени и определении закона

движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального

положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны

происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом

предположении процесс колебания струны описывается одной функцией [pic],

которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic], то

будем предполагать, что длина элемента струны [pic] равняется ее проекции

на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем предполагать, что натяжение во всех

точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны [pic].

Рис. 1.2.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть

касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция на ось Ou сил,

действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал, то

можно положить [pic], и мы будем иметь:

[pic]

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных

скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к

элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность струны.

Тогда масса элемента струны будет [pic]. Ускорение элемента равно [pic].

Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

[pic].

Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения

[pic]. (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного

определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая

функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что

делается на концах струны [pic], и начальным условиям, описывающим

состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и

начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при [pic]

неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

[pic] (2’)

[pic] (2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей

придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно

быть

[pic] (3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке

струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть

[pic] (3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic]. Если же [pic] и

[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об

электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе

характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят

от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода

[pic], можем написать, что падение напряжения на элементе [pic] равно

[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного [pic], и

индуктивного, равного [pic]. Итак,

[pic] (4)

где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на

единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении,

обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение

[pic] (5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за

время [pic], будет

[pic]

Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic], и на утечку через

боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную

[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая

на [pic], получим уравнение

[pic] (6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее

только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую

функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены

уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя

вычитание, получим:

[pic]

Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:

[pic]

или

[pic] (7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

[pic] (8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то

уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

[pic]

где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий, формулируют граничные

и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее

распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,

закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

[pic]

удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (9)

и начальным условиям

[pic] (10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также

является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных

решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми

коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

[pic]

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (11)

и представимое в виде произведения

[pic] (12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только

переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

[pic]

или, после деления на XT,

[pic] (13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно

удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ [pic], t › 0. Правая часть

равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х.

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим,

что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов

сохраняют постоянное значение

[pic] (14)

где [pic] – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со

знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения

для определения функций X (x) и T (t)

[pic] (15)

[pic] (16)

Граничные условия (11) дают:

[pic]

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным

условиям:

X(0) = X([pic]) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

[pic]

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для

функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных

условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к

простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра [pic], при которых существуют нетривиальные

решения задачи:

[pic] (18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра [pic] называются

собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения –

собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу

часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр [pic] отрицателен, равен

нулю или положителен.

1. При [pic] ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений.

Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

[pic]

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

[pic][pic]

т. е.

[pic]

Но в рассматриваемом случае [pic] – действительно и положительно, так что

[pic]. Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

2. При [pic] = 0 также не существует нетривиальных решений.

Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет

вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

[pic]

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

3. При [pic] › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

[pic]

Граничные условия дают:

[pic]

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2[pic]0, поэтому

[pic] (19)

или

[pic]

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18)

возможны лишь при значениях

[pic]

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

[pic]

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях [pic], равных

[pic] (20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

[pic] (21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили

равным единице. Этим же значениям [pic]n соответствуют решения уравнения

(9)

[pic] (22)

где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

[pic] (23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным

условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна

из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут

удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для

частных случаев начальных функций ((x) и ((x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу

линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

[pic] (24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные

условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24)

удовлетворяла условиям (10)

[pic] (25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и

кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке [pic],

разлагается в ряд Фурье

[pic] (26)

где

[pic] (27)

Если функции ((x) и ((x) удовлетворяют условиям разложения в ряд

Фурье, то

[pic] (28)

[pic] (29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения

начальных условий надо положить

[pic] (30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по

формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование,

представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и

удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим

методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае,

когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция [pic]

должна быть дважды дифференцируемой, а [pic] - один раз дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

1. Уравнение распространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородный стержень длины [pic]. Будем предполагать, что

боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках

поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс

распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой

х = 0, а другой – с точкой х = [pic].

Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент

t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е.

количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу

времени, определяется формулой

[pic] (1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент

теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1

Страницы: 1, 2