реферат, рефераты скачать
 

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов


и х2 (х2 – х1 = [pic]х). Количество тепла, прошедшего через сечение с

абсциссой х1 за время [pic]t, будет равно

[pic] (2)

то же самое с абсциссой х2:

[pic] (3)

Приток [pic]Q1 - [pic]Q2 в элемент стержня за время [pic]t будет

равняться:

[pic] (4)

Этот приток тепла за время [pic]t затратился на повышение температуры

элемента стержня на величину [pic]u:

[pic]

или

[pic] (5)

где с – теплоемкость вещества стержня, [pic] – плотность вещества стержня

([pic][pic]xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла

[pic], получим:

[pic]

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности)

в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t)

должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям

задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные.

Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для

[pic], следующие:

u (x, 0) = ?(x),

(7)

u (0, t) = ?1(t),

(8)

u ([pic], t) = ?2(t).

(9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при

[pic] в разных сечениях стержня задана температура, равная ?(x). Условия

(8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при

х = 0 и при х = [pic] поддерживается температура, равная ?1(t) и ?2(t)

соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области

[pic], удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве.

Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y, z) с

момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла

через площадку [pic]s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу

времени, определяется формулой (аналогично формуле (1))

[pic] (10)

где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы

считаем однородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по

нормали к площадке [pic]s в направлении движения тепла. Таким образом,

можем записать:

[pic]

где [pic] – направляющие косинусы вектора n, или

[pic]

Подставляя выражение [pic] в формулу (10), получаем:

[pic]Q = -k n grad u [pic]s.

Количество тепла, протекающего за время ?t через площадку ?s, будет

равно:

[pic]Q[pic]t = -k n grad u [pic]t [pic]s.

Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый

объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через

поверхность S, будет равно:

[pic] (11)

где n – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S.

Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V

(или уходящего из объема V) за время [pic]t. Количество тепла, поступившего

в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.

Рассмотрим элементарный объем [pic]v. Пусть за время [pic]t его

температура поднялась на [pic]u. Очевидно, что количество тепла,

затраченное на это повышение температуры элемента [pic]v, будет равно

[pic]

где с – теплоемкость вещества, ? – плотность. Общее количество тепла,

затраченное на повышение температуры в объеме V за время [pic]t, будет

[pic]

Но это есть тепло, поступающее в объем V за время [pic]t; оно

определено формулой (11) . Таким образом, имеет место равенство

[pic]

Сокращая на [pic]t, получаем:

[pic] (12)

Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства,

преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F –

дивергенция векторного поля, [pic] – замкнутая поверхность)

[pic]

полагая F = k grad u:

[pic]

Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным

интегралом, получим:

[pic]

Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева,

получим :

[pic] (14)

где P (x, y, z) – некоторая точка объема V.

Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном

пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы

предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то

равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,

[pic] (15)

Но

[pic]

Подставляя в уравнение (15), получаем:

[pic] (16)

Если k – постоянное, то

[pic]

и уравнение (15) в этом случае дает:

[pic]

или, положив [pic]

[pic] (17)

Коротко уравнение (17) записывается так:

[pic]

где [pic]u – оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение

теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение,

отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.

Пусть имеем тело [pic], поверхность которого [pic]. В этом теле

рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент

температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение

решения при t = 0 – начальное условие:

u (x, y, z, 0) = ? (x, y, z). (18)

Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М

поверхности [pic] тела в любой момент времени t – граничное условие:

u (М, t) = ? (М, t). (19)

(Возможны и другие граничные условия.)

Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует

тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:

[pic] (20)

- уравнение распространения тепла на плоскости. Если

рассматривается распространения тепла в плоской области D с

границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19),

формулируются так:

u (x, y, 0) = ? (x, y),

u (М, t) = ? (М, t),

где ? и ? – заданные функции, М – точка границы С.

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

[pic]

- уравнение распространения тепла в стержне.

§2.2. Температурные волны.

Задача о распространении температурных волн в почве является одним из

первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой

Фурье, к изучению явлений природы.

Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную

суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении

периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать

как однородное полупространство [pic]. Эта задача является характерной

задачей без начальных условий, так как при многократном повторении

температурного хода на поверхности влияние начальной температуры будет

меньше влияния других факторов, которыми мы пренебрегаем (например,

неоднородность почвы). Таким образом, приходим к следующей задаче:

найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

[pic] (1)

удовлетворяющее условию

u (0, t) = A cos [pic]t. (2)

Предполагается, что функции u (x, t) и ( (t) ограничены всюду, т.е.

[pic]

Запишем граничное условие в виде

[pic] (2’)

Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и

мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности

каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.

Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее

условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а

мнимая – условию

[pic]

Итак, рассмотрим задачу:

[pic] (3)

Ее решение будем искать в виде

[pic] (4)

где [pic] и [pic] - неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

[pic],

откуда

[pic]

Для u (x, t) имеем:

[pic] (5)

Действительная часть этого решения

[pic] (6)

удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула

(6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако

только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию

ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

[pic] (7)

На основании полученного решения можно дать следующую характеристику

процесса распространения температурной волны в почве. Если температура

поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также

устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем:

1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

[pic],

т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают

в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).

2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время

[pic] запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от

соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине

[pic]

(второй закон Фурье).

3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний

температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитуды

равно

[pic]

Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина

проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т1 и Т2

глубины x1 и x2, на которых происходит одинаковое относительное изменение

температуры, связаны соотношением

[pic]

(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых

колебаний, для которых Т2 = 365 Т1, показывает, что

[pic]

т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде

на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных

колебаний.

Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к

распространению тепла в сухой почве или горных породах. Наличие влаги

усложняет температурные явления в почве, при замерзании происходит

выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.

Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для

изучения его физических свойств, а также для различных технических

расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан

один из лабораторных методов определения температуропроводности.

Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая

температура [pic] (t). Представив эту функцию в виде ряда Фурье

[pic]

[pic]

[pic]

где Т – период, и взяв температурные волны, соответствующие каждому

слагаемому, получим, что температура u (x, t) для любого x будет

периодической функцией времени и ее n-я гармоника равна

[pic]

[pic]

или

[pic]

Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в

каких-нибудь двух точках, x1 и x2, за полный период, то, находя

коэффициенты an (x1), bn (x1), an (x2), bn (x2) при помощи гармонического

анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а2.

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн

на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения

частоты [pic] система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для

напряженностей электрического [pic] и магнитного [pic] полей:

[pic] (1)

где [pic] - волновое число для пустоты; с0 – скорость света в вакууме.

Обозначим через k = k0 m – волновое число в среде с комплексным показателем

преломления m = n – ix. Показатели преломления и поглощения (n и x)

называются оптическими постоянными, их зависимость от ( обычно известна из

эксперимента.

Задача о разыскании шести неизвестных функций ([pic]) может быть

сведена к задаче о разыскании двух функций – электрического и магнитного

потенциалов (U1 и U2), которые являются решениями колебательного уравнения.

Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с

неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений

внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко

вычисляются дифференцированием.

Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с

началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно

поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением

электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и магнитное

поля в падающей волне описываются формулами:

[pic] (2)

где ka = mak0 – величина волнового вектора падающего излучения во внешней

среде с вещественным показателем преломления ma.

Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения

дифракции света на шаре.

В дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е0,

который будет внесен в окончательные выражения для полей.

В сферической системе координат, в которой естественно решать данную

задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:

[pic]

[pic] (5)

[pic] (6)

[pic] (7)

[pic] (8)

Падающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем

пространстве – дифрагированное поле, причем все эти поля должны иметь оду и

ту же временную зависимость, т.е. частоту. Произвольное электромагнитное

поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний. Первый тип

назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний

радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю:

[pic] (9)

Второй тип – магнитные колебания:

[pic] (10)

В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим

[pic]

Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что

[pic] есть производные от некоторой третьей функции [pic]: первая – по

[pic], а вторая – по [pic]:

[pic]

Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим

[pic]

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить [pic] где [pic] -

некоторая новая функция. Тогда найдем [pic]. Если теперь вместо функции

[pic] ввести [pic], то формула (3) получит вид

[pic] (11)

тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для

функции [pic]

[pic]

(12)

Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для [pic]

производные по [pic] через производные по r из уравнения (12), получим

следующие соотношения:

[pic] (13)

которые выражают все составляющие полей для случая [pic] через одну функцию

[pic] - потенциал электрических колебаний. Подставив эти выражения в

уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют

решение уравнений Максвелла, если U1 является решением волнового уравнения.

Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть

выражены через некоторую функцию [pic] - потенциал магнитных колебаний.

В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для

составляющих полей получим при этом следующие выражения:

[pic] (14)

Функции U1 и U2 являются решением волнового уравнения.

[pic] (15)

которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он

появится при рассмотрении граничных условий, которые для U1 и U2 различны).

В качестве частного решения положим

[pic] (16)

Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие

уравнения:

[pic] (17)

[pic] (18)

Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере

только для [pic], где n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются

сферические функции:

[pic] (19)

где [pic] а [pic] - полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку

[pic], тогда для Rn (x) получим следующее уравнение (x = kr):

[pic] (20)

Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с

полуцелым индексом [pic]. Таким образом, n-е частное решение уравнения (15)

будет

[pic] (21)

Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода [pic]

конечны в нуле. Поэтому только они могут быть использованы для решения

внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно

иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в

виде [pic], то только ханкелевская функция второго рода [pic] дает волну,

расходящуюся из источника дифракции [pic]. Обозначим

[pic] (22)

тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции

частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисляются из

граничных условий. Граничные условия для потенциалов U1 и U2 на шаре

получаются из требования непрерывности тангенциальных ([pic]) составляющих

полей. Из (14) видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара

были непрерывны следующие величины: [pic], т.е.

[pic] (23)

[pic] (24)

где Ua – потенциал дифрагированного поля, а Ui – внутреннего.

Представим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны

также в виде рядов по [pic], используя известное разложение плоской волны

по полиномам Лежандра:

[pic] (25)

Тогда после преобразований получим:

[pic] (26)

Потенциалы [pic] и [pic] должны иметь такую же угловую зависимость, как и

потенциалы падающего поля. Поэтому можно записать:

[pic] (27)

[pic] (28)

Коэффициенты [pic] должны быть определены из условий (23), (24), которые

образуют относительно пар коэффициентов [pic] и [pic] с данным значком

[pic] две независимые системы по два линейных уравнения. Запишем их, введя

следующие обозначения: [pic]; [pic] - относительный (комплексный)

показатель преломления, [pic] - длина волны излучения. Для [pic] и [pic]

имеем:

[pic] (29)

Аналогичная система получается для [pic] и [pic]:

[pic] (30)

Решая эти системы относительно [pic] и [pic], получим:

[pic] (31)

Аналогичные выражения получаются и для [pic] и [pic]. Подставляя эти

выражения в (27) и (28), получаем однозначное решение уравнений для

потенциалов, удовлетворяющее всем граничным условиям. Из потенциалов, в

соответствии с (14), можно получить выражения для составляющих внутреннего

и дифрагированного полей. Так как в дальнейшем нас будет интересовать

дифрагированное поле, то выпишем только его составляющие, восстановив

опущенный ранее множитель Е0:

[pic] (32)

Штрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком

функции ([pic] и [pic]). На достаточно большом расстоянии от

рассматриваемой частицы, в так называемой волновой зоне, можно пренебречь

составляющими Er и Hr по сравнению с составляющими по [pic] и [pic].

Дифрагированное поле будет являться поперечной волной, распространяющейся

из источника дифракции. Введя обозначения

[pic] (33)

[pic] (34)

и применяя асимптоматические выражения для функций [pic] при [pic],

получим:

[pic] (35)

Согласно этим формулам, дифрагированное поле представляется в виде сумм

отдельных парциальных волн. Интенсивность возбуждения [pic]-й парциальной

волны определяется числами [pic], которые существенно зависят от [pic].

Поле вне частицы [pic] есть суперпозиция падающего [pic] и

дифрагированного [pic] полей:

[pic] (36)

Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется

[pic] (37)

где [pic] - вектор, комплексно сопряженный к [pic]. В силу (36) поток может

быть представлен в виде [pic], где [pic] - поток падающего поля, [pic] -

дифрагированного поля и [pic] - поток, обязанный интерференции падающего и

рассеянного излучений. Определим величины сечений поглощения сп и рассеяния

ср излучения частицей

[pic] (38)

где J0 – интенсивность падающего излучения, [pic] - радиальные составляющие

потоков, [pic] - элемент телесного угла, а [pic] - элемент площади на

сфере. Все интегралы распространены по сфере. Полное ослабление потока в

результате прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и

поглощения, т.е. для сечения ослабления излучения частицей имеем с = сп +

ср. Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то [pic]

и для искомых сечений получим

[pic] (39)

[pic] (40)

Рассмотрим интеграл в (39). Имеем [pic] Подставляя сюда выражение (32) для

полей, выполняя интегрирование по [pic] и группируя соответствующим образом

члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений:

[pic]

Сумма будет иметь общий множитель [pic]. Оба интеграла легко вычисляются.

Интеграл а) равен нулю, так как его подынтегральное выражение есть [pic], а

функция [pic] равна нулю при [pic]. В интеграле б) преобразуем вначале

первое слагаемое, проинтегрировав его по частям

Заключение

В дипломной работе приведены некоторые примеры применения

дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как

колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла

в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве,

дифракция излучения на сферической частице.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к

дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны,

электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов

решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются

дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых

волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны. В третьей

главе рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической

частице.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных

уравнений для моделирования реальных процессов в данной дипломной работе не

мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных

уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как

часто не всегда удается установить функциональную зависимость между

искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести

дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание

определенного процесса при определенных условиях.

Литература.

1. Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», М.,

«Наука», 1972, том. 2.

2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математического анализа», М.,

«Просвещение», 1976.

3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М.,

«Наука», 1972.

4. Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

1 Это предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной [pic]

по сравнению с 1. Действительно, [pic].

-----------------------

подпись

подпись

u

M2

M1

M

[pic]

x2

x1

x

0

x

[pic]

M

[pic]

????????????"???–??/?????†??????????????"????????????????????????????????"??

?–??/?????†????–??/?????†?????[pic]

0

[pic]

[pic]

x

x

[pic]

x2

x1

0

(6)

(13)

(3)

(4)

y

x

z

[pic]

[pic]

0

[pic]

r

Страницы: 1, 2


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.