реферат, рефераты скачать
 

Атомические разложения функций в пространстве Харди


Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение....................................................................

................ 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах [pic], [pic]и

[pic]................................. 8

§I.1. Интеграл

Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства

[pic]....................................................... 12

§I.3. Пространства [pic]и

[pic]......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная

функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

[pic], пространство

ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство [pic], критерий принадлежности

функции из [pic] пространству

[pic]....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic],

двойственность [pic] и

ВМО.................................. 32

Литература..................................................................

................ 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и

результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась

в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между

следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic], [pic]

и [pic], раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных

понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение

каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее

в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В

первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во второй

мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic] и

двойственность пространств [pic] и [pic].

В работе мы рассматриваем случай [pic]периодических функций.

Используемые обозначения имеют следующий смысл:

[pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;

[pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых на

[pic]функций;

[pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых в степени р на

[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];

[pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;

[pic]- носитель функции [pic].

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона

суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic]

называется функция

(r ( x ) = [pic] ,

где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы

неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) для любого (>0

[pic]

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении

интеграла Пуассона [pic]при [pic]:

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,

имеет место равенство[pic]

[pic] ;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Теорема 2 (Фату).

Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если

она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят,

что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в

каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных

[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет

уравнению Лапласа:

[pic].

Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные

условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически

сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается

[pic] , [pic].

Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается

[pic] , [pic].

Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности (

соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic]

определяется равенством

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на

множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к

функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех

точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность

аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна

норма

[pic] .

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую

функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде

[pic], [pic] , [pic],

где [pic] для п.в. [pic] , при этом

[pic] [pic] ;

[pic] [pic].

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих

определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на

отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая

постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками

[pic] выполнено неравенство [pic].

Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке

[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic]

найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно

непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]:

[pic], выполняется неравенство [pic].

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению

пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой

совокупность тех функций [pic], [pic], которые являются граничными

значениями функций (действительных частей функций) из[pic], т.е.

представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы получаем следующие результаты:

при [pic] пространство [pic] совпадает с [pic], а при р=1 [pic] уже, чем

[pic], и состоит из функций [pic], для которых и [pic].

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции [pic],

аналитической в круге [pic] с нулями [pic], [pic] ([pic]) с учетом их

кратности:

[pic],

где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic].

Здесь доказывается, что каждая функция [pic] представима в виде

[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic],а [pic] -

произведение Бляшке функции [pic].

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции .

Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic],

область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к

окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками

касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для

[pic]положим

[pic] , [pic],

где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется

нетангенциальной максимальной функцией для [pic].

Тут же мы доказываем теорему об оценке [pic]: если [pic] ([pic]),

[pic], то [pic] и [pic].

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году

Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось, оно уже,

чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема

- критерий принадлежности функции пространству [pic]. Здесь вводится

понятие атома: действительная функция [pic] называется атомом, если

существует обобщенный интервал [pic] такой, что

а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].

Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Под обобщенным интервалом

понимается либо интервал из [pic], либо множество вида[pic] [pic]([pic]).

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году

Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда и только тогда, когда функция

[pic] допускает представление в виде

[pic], [pic], где [pic], [pic], - атомы. (*)

При этом [pic], где inf берется по всем разложениям вида (*) функции

[pic], а с и С [pic] - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев

позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с

атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству

[pic], легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о

двойственности пространств [pic] и [pic]. Доказательству этого факта и

посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение [pic]:

пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих

условию

[pic] , (91)

где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . А затем

доказываем теорему о том, что [pic].

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах [pic], [pic]и [pic]

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические,

комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также

суммируема на (-(,(( и

cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) ,

n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn (f)= [pic]-i n tdt ,

n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x ,

x ((((((((((( . ( 2 )

Так как [pic] для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic]

сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой

суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности

функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку Вейерштрасса ряд

в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого

фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х(

равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит,

что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 )

где

[pic] , t (

((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( ,

называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

[pic][pic][pic][pic][pic]

Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )

Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = [pic]

=[pic] ,

( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z =

reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося

по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной

функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая

в единичном круге функция

u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (

[ -(, ( ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0

задается формулой

v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((

( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда

u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 )

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10)

достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (

(+ ( .

Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic] связаны с коэффициентами Фурье

функции [pic] следующим образом :

[pic]

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим

некоторые свойства ядра Пуассона:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

(11)

в) для любого (>0

[pic]

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б)

достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,

имеет место равенство[pic]

[pic] ;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] . ( 12 )

Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и

положительностью ядра Пуассона , находим[pic]

[pic][pic]

[pic].

Следовательно,

[pic][pic].

Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r ,

достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

[pic][pic][pic].

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа",

которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция [pic], суммируема на любом интервале (a,b), a 0

[pic] , [pic].

Теорема 2 (Фату).

Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

Доказательство.

Покажем, что для [pic] и [pic]

[pic] ,

( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f

(x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

[pic]

(К - абсолютная константа).

Пусть [pic]- такое число, что

[pic].

Тогда для [pic]

[pic]

[pic][pic][pic]

[pic][pic]

[pic].

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора [pic].

Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-((()

[pic]

[pic]

Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14)

из последней оценки получим

[pic] при r(1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем

позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit

стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

§I.2.Пространства Hp.[pic]

Определение I.3.

Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге функций F

(z) , для которых конечна норма

[pic] .

(15)

Пусть комплекснозначная функция [pic] удовлетворяет условиям

[pic] [pic]

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

[pic] (17)

принадлежит пространству [pic], причем

[pic] .

(18)

[pic]

[pic]Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и

равенства (2). Кроме того, в силу неравенства [pic] мы имеем

[pic] (()

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2)

[pic] . Отсюда [pic] ((()

Учитывая (() и ((() , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию [pic] [pic] можно представить в

виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на

[ -(((] и

[pic] (19)

Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по

комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что

( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна),

если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную

вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

[pic]

определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если

[pic] - характеристическая функция замкнутого множества [pic].

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества [pic],

[pic] ,

[pic] (20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем [pic] и

[pic]. Тогда для всякого [pic] , существует функция [pic] вида

[pic] , (21)

обладающая свойствами:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

(22)

в) [pic] .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Страницы: 1, 2


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.