Атомические разложения функций в пространстве Харди

Пусть [pic] , где [pic] - конечная или бесконечная последовательность

дополнительных интервалов множества F, и для [pic]

[pic].

Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic].

Рассмотрим для данных [pic] функцию [pic], построенную в лемме 1 для

числа ( и множества [pic]. Тогда нетрудно проверить[3], что если

[pic], а [pic] , то разность

[pic]. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье

бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

[pic] ,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

[pic] [pic], где [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле,

[pic], [pic]- ядро Фейера.

Отметим, что при [pic] ядро Фейера обладает следующими свойствами:

а) [pic], [pic]; б) [pic],

Мз которых вытекает, что для [pic] и [pic]

[pic], [pic]

Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic].

Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой

[pic][pic] и [pic]

Так как средние Фейера [pic]равномерно сходятся к [pic] и

[pic] , то существует тригонометрический полином

[pic] (24)

такой, что

[pic] (25)

Пусть [pic]. Рассмотрим для каждого ((( такую функцию [pic], что

[pic], [pic]

[pic]

(функцию [pic] можно построить следующим образом: взять замкнутое

множество [pic] с мерой [pic] , достаточно близкой к 2(, и положить

[pic] ).

Так как [pic] (здесь число m то же, что в (24)), то для

достаточно малых ((( функция [pic] удовлетворяет соотношениям

[pic] (26)

При этом [pic], если [pic]. Тогда средние Фейера [pic] функции h(t)

имеют вид

[pic]

и при достаточно большом N

[pic] (27)

Положим

[pic] , [pic] (28)

Так как h(t) - действительная функция, то [pic] , n=(((((((((. Поэтому

[pic] и [pic]. (29)

Определим искомую функцию g(t) :

[pic]

Ясно, что [pic], а из (24) и (28) следует, что [pic] при n0;

б) если [pic], [pic], то [pic] и [pic].

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны [pic]:

а) [pic] ;

б) [pic], [pic], [pic], [pic] ;

в) [pic] ;

г) [pic] , где [pic]- такая действительная функция, что ее

сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]:

[pic]. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а

эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в

случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :[pic], имеют место

равенства

[pic], [pic] (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

[pic], [pic], [pic], [pic]

[pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если [pic]- произвольный

тригонометрический полином.

Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим

[pic] , [pic],

где [pic], [pic], [pic].

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из

следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) [pic], [pic], [pic];

2) при [pic] функции [pic] , [pic], сходятся по мере к

[pic];

3) [pic] , [pic] , [pic],

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что [pic], где [pic], поэтому из 2) вытекает сходимость

по мере последовательности функций [pic],[pic]:

[pic] по мере [pic]. (38)

Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что

[pic], [pic] . (39)

Тогда согласно 3)

[pic] (40)

и при [pic]

[pic]. (41)

Так как [pic] - полином, то [pic] и

[pic] . (42)

Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим [pic] ,

[pic],

что вместе с (38) доказывает равенство (37).

Докажем теперь, что для произвольной функции [pic] справедливы соотношения

1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic].

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию [pic]в

виде

[pic], [pic], [pic] . (43)

Из непрерывности функции [pic] легко следует, что

[pic]

равномерно по [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic] с учетом (43)

мы будем иметь

[pic], [pic] (44)

Кроме того, в силу 1) и (43)

[pic] ;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при [pic]

[pic].

Для доказательства оценки 3) заметим, что

[pic],

где [pic]. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции [pic]и

учитывая, что [pic], получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме

5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать,

что из в) вытекает г).

Пусть [pic] ([pic],[pic],[pic]) и

[pic]. Тогда по теореме 4 [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic]

для п.в. [pic].

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что

при [pic] и [pic]

[pic], [pic].

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic],

[pic], [pic].

(45)

Согласно теореме 1

[pic]. (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости [pic]([pic]) следует

сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом,

[pic] по мере ([pic]),

а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic].

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если [pic], то [pic];

б) если [pic] и [pic], то [pic];

в) если [pic], [pic], [pic], [pic], то

[pic]. (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в

теореме 5.

Чтобы получить в), положим

[pic],

[pic].

Согласно теореме 5 [pic], [pic], а следовательно, [pic]. Но тогда (для

п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что

[pic]. (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство [pic]

совпадает с [pic]. Для р=1 это не так. Пространство [pic] уже, чем [pic],

и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых и [pic].

[pic] - банахово пространство с нормой

[pic]. (49)

Полнота [pic] с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты

пространства [pic]: если [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], и так

как [pic]по мере при [pic], то [pic]и [pic] при [pic].

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае,

когда [pic], [pic], [pic], [pic].

Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic] функцию [pic] и учитывая б),

мы получим

[pic], если [pic]. (50)

§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно

различных) - [pic] удовлетворяет условию

[pic] , [pic], [pic]. (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

[pic]. (52)

Для фиксированного [pic], [pic], при [pic] имеет место оценка

[pic]. (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52)

сходится абсолютно и равномерно в круге [pic], т.е. функция [pic]

аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic], [pic], и только

в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic] , [pic]), мы

находим

[pic] , [pic]. (54)

Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с [pic],

причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51)

сходится. Положим

[pic] , [pic]

Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге радиуса больше единицы, и [pic],

если [pic] . Следовательно, [pic] и согласно п.3 теоремы 4 [pic]. Но

тогда

[pic]

и

[pic], [pic] (55)

Так как [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic], а

значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic]) -

ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic] - кратность

нуля функции [pic] при [pic]. Произведение

[pic] (56)

называется произведением Бляшке функции [pic].

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция [pic] представима в виде

[pic],

где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и

[pic], [pic],

а [pic] - произведение Бляшке функции [pic].

Доказательство.

Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] ( или, что то же самое,

нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось выше, [pic] - аналитическая в

круге [pic] функция и

[pic] , [pic]. (57)

При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не имеет в нем

нулей и [pic] .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения

(56):

[pic], [pic], [pic].

Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4

[pic]

и

[pic] , если [pic].

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что

[pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим

[pic], [pic],

т.е. [pic], [pic].

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic],

область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к

окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками

касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для

[pic]положим

[pic] , [pic],

где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется

нетангенциальной максимальной функцией для [pic].

В силу теоремы 2

[pic] для п.в. [pic]. (58)

Установим, что для произвольной функции [pic] величина [pic] не

превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*) в точке х,

т.е.

[pic], [pic]. (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция [pic], то для любого [pic]

[pic];

б) если функция [pic],[pic] то [pic],

где [pic] - постоянная, зависящая только от числа р.

Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона

[pic]

Положим [pic]. Тогда будем иметь

[pic]

и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic],

[pic]. (60)

Так как обе функции [pic] и [pic] положительны при [pic] и

отрицательны при [pic] ( из (5)), то, предполагая без ограничения

общности, что [pic], мы получим

[pic]. (61)

Для [pic] имеют место оценки

[pic],

[pic].

Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить,

что

[pic] при [pic], (62)

если [pic]. Пусть [pic], тогда

[pic].

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения

3 вытекает, что для любой функции [pic], [pic],

[pic], (63)

где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] .

Теорема 7.

Пусть [pic] ([pic]), [pic] и

[pic] , [pic].

[pic]Тогда [pic] и

[pic]. (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть прямое следствие оценки

(63) и теоремы 4. Пусть теперь [pic]. По теореме 6 [pic], где [pic],

[pic], если [pic] и [pic]. Из функции [pic] можно извлечь корень:

существует функция [pic] такая, что [pic], и, следовательно из (64) при

р=2, получим

[pic].

Оценка снизу для [pic] вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.

Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве [pic], пространство ВМО.

§II.1.Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic]

пространству [pic].

Рассмотрим [pic] ([pic]) - пространство функций [pic], являющихся

граничными значениями действительных частей функций из пространства [pic]:

[pic] для п.в. [pic], [pic]. (65)

Ранее мы доказали, что

[pic], [pic], (66)

и что [pic]- банахово пространство с нормой

[pic]; (67)

при этом, если в (65) [pic], то

[pic] ([pic]) . (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при [pic] пространство [pic]

совпадает с пространством [pic] и из утверждения 2 следует, что

[pic] ([pic]).

Последнее соотношение теряет силу при [pic] - нетрудно проверить, что при

[pic]

[pic],

где

[pic]

и, следовательно, существует функция [pic], для которой [pic]. Таким

образом, [pic] - собственное подпространство в [pic]. Ниже мы дадим

критерий принадлежности функций к пространству [pic].

ОпределениеII. 8.

Множество [pic] мы будем называть обобщенным интервалом, если [pic] - дуга

на единичной окружности, т.е. [pic] - либо интервал из [pic], либо

множество вида

[pic] ([pic]). (69)

Точку [pic] назовем центром обобщенного интервала [pic], если [pic] - центр

дуги [pic]. Длиной обобщенного интервала [pic] естественно назвать величину

[pic]

Определение II.9.

Действительную функцию [pic] назовем атомом, если существует обобщенный

интервал [pic] такой, что

а) [pic];

б) [pic];

в) [pic].

Атомом назовем также функцию [pic], [pic].

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: [pic], необходимо и достаточно,

чтобы функция [pic] допускала представление в виде*)

[pic], [pic], (70)

где [pic], [pic], - атомы. При этом

[pic], (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции [pic], а с и С

[pic] - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции [pic] нашлось разложение вида (70). Покажем, что [pic] и

[pic] . Для этого достаточно проверить, что для любого атома [pic] имеет

место неравенство

[pic]. (72)

Пусть [pic]- такой обобщенный интервал, что

[pic], [pic] , [pic] (73)

(случай [pic] тривиален). Так как [pic] , то нам остается доказать, что

[pic]. (74)

Для любого измеримого множества [pic], применяя неравенство Коши и

пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим

[pic], (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда [pic].

Допустим теперь, что [pic], и обозначим через [pic] обобщенный интервал

длины [pic] с тем же центром, что и [pic]. Из (75) следует, что

[pic].

Нам остается оценить интеграл [pic]. Мы воспользуемся очевидным

неравенством

[pic], [pic],

где [pic]- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих

точки [pic] и [pic], а [pic] - абсолютная постоянная. В силу (73) при

[pic] мы имеем

[pic]где [pic]- центр обобщенного интервала [pic]. Из последнего

соотношения, учитывая, что [pic] и [pic], мы находим

[pic], [pic], где [pic] .

Следовательно,

[pic].

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции [pic] разложение (70), для которого

[pic].

Пусть функция [pic] с [pic] такова, что выполнено соотношение (65), и

пусть [pic] ([pic]) - нетангенциальная максимальная функция для [pic], т.е.

[pic] , [pic], (75')

где [pic]- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки

[pic] к окружности [pic], и наибольшей дугой окружности [pic], заключенной

между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что [pic], поэтому нам достаточно найти такое

разложение функции [pic] на атомы (70), что

[pic], (76)

где постоянные С и [pic]([pic]) не зависят от [pic]. Для построения

разложения (70) с условием (76) фиксируем число [pic]: пусть, например,

[pic]. Не ограничивая общности, мы можем считать, что

[pic]. (77)

Рассмотрим на отрезке [pic] множества

[pic] , [pic] , [pic] (78)

Так как при любом [pic] множество точек единичной окружности [pic] открыто,

то ясно, что при [pic] множество [pic] (если оно непустое) представимо

(единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

[pic], [pic] при [pic], [pic] , [pic]. (79)

Положим [pic] и при [pic]

[pic] (80)

Так как [pic] конечна для п.в. [pic], то из определения функций [pic],

[pic], следует, что для п.в. [pic] [pic] при [pic], а значит, для

п.в. [pic]

[pic] .

Отсюда, учитывая, что [pic], а следовательно из (80), [pic] при [pic], мы

находим, что

[pic], (81)

где [pic]- характеристическая функция множества [pic]. Из (81), учитывая,

что [pic], мы для функции [pic] получаем следующее разложение:

[pic] для п.в. [pic], (82)

где

[pic], [pic], [pic] (83)

С помощью функций [pic] мы и построим нужное нам разложение вида (70).

Прежде всего отметим, что при [pic], [pic]

[pic] , [pic] . (84)

Докажем теперь, что для п.в. [pic]

[pic] , [pic] , (85)

где постоянная [pic] зависит только от числа [pic], зафиксированного нами

ранее.

Так как из (65) и (75') [pic] для п.в.[pic] , то из (77) следует, что

[pic].

Пусть теперь [pic], [pic] - один из обобщенных интервалов в представлении

(79), тогда из (77) и (78) [pic] , и если [pic], [pic] - концевые точки

дуги [pic] ([pic]) , то [pic], а значит,

[pic], [pic]. (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

[pic] при [pic]. (87)

Легко видеть (учитывая, что [pic] и [pic]) , что множества [pic] и

[pic] пересекаются в одной точке:

[pic] с [pic] , [pic]. (88)

Пусть [pic], [pic], - отрезок, соединяющий точки [pic] и [pic]. Так как

[pic] , [pic], то из непрерывности функции [pic] при [pic]и неравенства

(87) вытекает, что [pic], если [pic], [pic], и [pic]. Поэтому , учитывая

(88)

[pic] , [pic],[pic], [pic]. (89)

|Рассмотрим область [pic], |[pic] |

|ограниченную | |

|отрезками [pic] и [pic] и дугой| |

|[pic]; | |

|пусть, далее, для [pic] | |

|[pic] , | |

|[pic], [pic]. | |

По теореме Коши [5] [pic].

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги [pic] справедливо равенство

[pic],

мы получим

[pic].

Но в силу теорем 4 и 5

[pic], [pic],

и так как [pic], [pic], то мы находим, что

[pic] . (89')

Легко видеть, что отношение [pic] ограничено сверху числом, зависящим

только от (, поэтому

[pic] , [pic]. (90)

Так как [pic], то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для [pic],

[pic], справедливо неравенство (85). Для п.в. [pic] неравенство (85) сразу

следует из определения функций [pic] и множеств [pic].

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что [pic], а это значит, что

функции

[pic] , [pic] , [pic],

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем

разложение функции [pic] на атомы:

[pic] для п.в. [pic] ,

где [pic] , [pic].

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая

равенство (77), имеем

[pic][pic].

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и

ВМО.

Дадим описание пространства [pic], сопряженного к банахову пространству

[pic]. Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих

условию

[pic] , (91)

где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

[pic] . (92)

Ясно, что [pic] . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции.

Нетрудно проверить, например, что функция [pic].

Теорема 9.

[pic], т.е.

а) если [pic], и для произвольной функции [pic] рассмотреть ее разложение

на атомы (по теореме 8):

[pic], [pic] , [pic], [pic] - атомы*) (93)

и положить

[pic] , (94)

то сумма [pic] ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и

задает ограниченный линейный функционал на [pic];

б) произвольный ограниченный линейный функционал [pic] на [pic] представим

в виде (94), где [pic]. При этом

[pic]

(С, С1 - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция [pic] такова, что для любого обобщенного интервала [pic]

найдется постоянная [pic], для которой

[pic],

где М не зависит от [pic]. Тогда [pic] и [pic].

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала [pic] мы имеем

[pic],

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если [pic], то [pic] и

[pic]. (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

[pic]

для произвольного обобщенного интервала [pic].

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть [pic]. Положим

[pic]

Так как всегда [pic] , то, учитывая равенства

[pic], [pic] , [pic]

[pic],

мы с помощью следствия 2 находим

[pic], [pic] (96)

Допустим, что [pic] ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует

разложение

[pic], [pic] , (97)

где функции [pic] являются атомами и [pic], и при [pic]

[pic], [pic] , [pic]. (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при [pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Отсюда, учитывая, что функции [pic], [pic], по модулю не превосходят

суммируемой функции [pic] и для п.в. [pic] [pic], мы получим, что

[pic][pic] .

Таким образом, равенством

[pic] , [pic], (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в [pic]

линейном многообразии (плотность функций из [pic] в [pic] вытекает из

теоремы 8, так как для всякой функции [pic] частные суммы разложения (70)

сходятся к [pic] по норме [pic], и, очевидно, принадлежат пространству

[pic]). Поэтому функционал [pic] можно единственным образом продолжить на

все пространство [pic]:

[pic], [pic]. (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции [pic] ряд

(94) сходится и его сумма равна [pic]. Последнее сразу следует из (99) и

сходимости ряда (93), по норме [pic] к [pic]:

[pic].

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на [pic]. Тогда

из теоремы 4.1 и (67) для любой функции [pic]

[pic]

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный

функционал на [pic], а следовательно, найдется функция [pic] с

[pic] , (101)

для которой

[pic] , [pic]. (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если [pic]- произвольный атом.

Докажем, что

[pic]. (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, [pic] - произвольная функция с

[pic]. Тогда функция

[pic] , [pic] ,

является атомом и в силу теоремы 8 [pic]. Поэтому

[pic]

[pic] .

Подбирая в последнем неравенстве функцию [pic] оптимальным образом, мы

получим, что для любого обобщенного интервала I

[pic],

что с учетом соотношения [pic][pic] доказывает оценку (103).

Таким образом, для [pic] значение функционала [pic] совпадает со значением

ограниченного линейного функционала [pic] на элементе [pic] (см. (99) и уже

доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство [pic] плотно в

[pic], то, следовательно,

[pic][pic] для любой функции [pic].

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального

анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.:

Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-

математической литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука,

1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука,

1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых

функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если (x( ( ( .

*) Так как функция [pic] определялась для функций [pic], заданных на [pic],

то мы дополнительно полагаем [pic], если [pic]; [pic]при [pic] и [pic] при

[pic].

*) В силу условий а) и в) в определении 9 [pic], [pic], поэтому ряд (70)

сходится по норме пространства [pic] и п.в.

*) Возможен случай, когда [pic] при [pic].

Страницы: 1, 2