Математический анализ

Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по

отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых

предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A\ B = {c: cОA Щ сПB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UіA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A;

AЪU=U

2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’

" cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b

при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В,

значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в

разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества

равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно -

взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=[pic]

Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа

счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22

- 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из

таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа

счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через

полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ

а1,а2,а3,... О{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2

а3...а’к (9), где а’к=ак-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0

9 і ук+1

Определение: 1) х > у $ к: х’к > у”к

2) х = у х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо ху, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х у х’к > у”к х і х’к у”к і у

х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]№[х1] => с№х1

с1 П {9;х21} => с№х2

с2 П {9;х32} => с№х3

...

ск П {9;хк+1к} => с№хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B

ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn

Докажем, что m = n:

Пусть m

cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’№с,с’>с (с’по опр-нию. "с’>с (с’c’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim

yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-

Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое

m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’ m’ не

верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя

грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA

aіn

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aОA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя

грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аm”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит

ограниченности => aЈm

Точная верхняя грань:

Пусть ll”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $

аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную

нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $

-SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее

предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|n’: |aN|n”: |bN|max{n’,n”} выполнены оба неравен

ства |aN| при любом n> max{n’,n”} имеем:

|cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0

|aN|n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN

- бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|=max{n’,n”}

|bN|Ј|aN|0 $ n0: n>n0 |аN|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже

верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е)

находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|1/|aN|>Е.

" "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е =>

|aN|n’ последовательность bNі|aN| => bN -

бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность

aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a| |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a| $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-

бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм

посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN

доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся

не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по

определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|у/2.|уN|>у/2=>1/|уN| "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1,

1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0

последовательность хNЈуN, то хЈу

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности

Еn’ |xN-x|n” |yN-y|max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а

все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}:

хN>уN - противоречие с условием => хЈу.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хОХ

сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что

на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со

значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности

начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани

обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу,

позволющкю определить любой член последовательности через предидущие.

Пример: а1=а; аN+1=аN + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый

десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $

n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a| в ок

рестности точки с содержится конечное число членов последовательности -

противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон,

вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо

вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все

члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь

ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при

отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN,

тогда xЈy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|max{n0’, n0”} хNО(х-Е,х+Е) & уNО(у-Е,у+Е) учитывая,

что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то

$ Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cNn” => (a-E)max{n0,n’,n”} (a-E)max{n0,n’,n”}=>bNО(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей

(убывающей) если " n1>n2 (n10 $xE: (х-Е) $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности

имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х] $ Lim aN=a

a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b

aNЈa bЈbN aNЈbN => aЈb

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN

Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’№с

aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном

переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>

0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в

друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки

промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так

что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих

промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN

и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению

наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0,

называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется

f(x0)f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта

производная f‘(x0)>0(f‘(x0)f(x0) (f(x)f(x0)).

Доказательство: По определению производной,[pic].

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в

которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x00 =>

из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если

же x-d0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к

x0, либо f‘(x0)f(x0), если x получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на

[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где

производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения:

f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(x)=0 во всем

промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией

достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в

некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть

функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней

точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если

функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует,

что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)№g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере

в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(c) -[pic]*g’(c) или f’(c) =[pic]*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)№0) получаем требуемое

равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a0, [x0+h;x0] hподпосл-сть - это либо сама

посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов

последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0 |аN-а|n’ kN>n0 тогда при тех

же значениях n будет верно |аKn-а| "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b]

пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество

членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится

конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та

половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично

выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий

бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на

к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч

ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b-

a)/2K, кроме того она стремится к 0 при ꮥ и аKіаK+1 & bKЈbK+1. Отсюда по

лемме о вложенных промежутках $! с: "n аNЈcЈbN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 О[а1,b1]

хN2 О[а2,b2] n2>n1

. . .

хNKО[аK,bK] nK>nK-1

аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аNЈхNЈbN

хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupM№Sup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел

которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ОМ: х-1/к $

подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0: "s>s0 =>

х’-1/кs0 это неравенство выполняется берем

член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/10 $ n0: "n>n0 и любого рОN выполнено неравенство |аN+р-аN|0 $ n0, такой что расстояние между любыми

двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась

необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 |хN-х|n0,

n’>n0 |хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|n0, n’>n0

"n>n0 |хN-хN0| хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|n0. Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|

|хNK-х| х-Е/2 |хN-хNK| хNK-Е/2 х-

Е |хN-х|[pic](1+х)0 =[pic]

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

[pic]= [pic] Ч.т.д

[pic]

16.Последовательности [pic] (во всех пределах n®Ґ)

1) Lim[pic]= 0 (p>0)

[pic] - это означает что, мы нашли такое n0=[pic]: "n>n0 |[pic]| xN®0 (Лемма о зажатой

последовательности)=>Lim[pic]=Lim (1+xN)=1+0=1

16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=[pic]; yN=[pic]; zN=yN +[pic]

xN монотонно возрастает: докажем:

[pic]

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! =

yN => yN-1) (доказывается по

индукции):

x=1/n => (1+1/n)nі1+n/n=2

Получили: 2 Ј xN xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно

возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.

17. Последовательности [pic](во всех пределах n®Ґ)

1) Lim[pic]=1, a>0

a) aі1:

xN=[pic]xN+1=[pic][pic]=> $ Lim xN=x

xN+1=xN *[pic]

xN=xN+1 *[pic]

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0[pic]= 1/[pic]=> Lim[pic]= 1/1 = 1

2) Lim [pic]= 0, a>1

xN=[pic]xN+1=[pic]

[pic]т.к. Lim[pic]= Lim[pic]=Lim[pic]=1

[pic]=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn СТ x=limxn

xN+1=xN*[pic]

Lim xN+1 = Lim xN*[pic] => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:

a) "n: xNі1 и aі0

(xN) [a]Ј(xN)a по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim

(xN)[a]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)a

=1

б) "n: 0 yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim

1/(xN)a =1 => Lim (xN)a =1

Объединим (а) и (б):

xN®1 a>0

xN1,xN2,...>1 (1)

xM1,xM2,... конечное число точек xN.

в) a -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim

1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1

15. Доказательство формулы e=...

yN=[pic]; zN=yN +[pic]

1) yN монотонно растет

2) yN противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0 |f(x)-А|(Г)

"Е>0 $d>0: 0 |f(x)-А| $ n0: "n>n0 0 0

по определению Коши |f(xN)-А|(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует

отрицание А, то из А следует В:

Страницы: 1, 2