Математический анализ

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0 |f(x)-A|іE

Отрицание (Г): $ хN®х0, хN№х0: |f(xN)-A|іE

$ хN®х0, хN№х0 => $ n0: "n>n0 0 по отрицанию определения

Коши |f(xN)-А|іЕ

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+Ґ), определяется предел при

хN®Ґ следующим образом: limf(х) при хN®Ґ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN®-

Ґ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®Ґ = lim f(1/t) t®0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение

непрерывности.

Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-

ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0} принадлежит области определения ф-

ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует когда

cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d |f(х)-А| x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х)

попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен

А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d)

=> f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и

он равен А.

Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

"Е>0 $ d’ >0: 0 |f(х)-А|0 $ d” >0: -d” |f(х)-А|0 $ 0 |f(х)-А| в определении можно снять ограничение х№х0 => получим второе

равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если "Е>0

$d>0: -d |f(х)-f(а)|0(в частности Е/2) $d’>0: -d’ |f(х)-F|0: -d” |g(х)-G|0 $ 0-Е/2 - Е/2 |(f(х)+g(х))-(F+G)| по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть хN®х0 (хN№х0, xNОX), тогда в силу определения предела по

Гейне имеем: при n®Ґ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике

пределов посл-тей получаем: при n®Ґ Lim f(xN)/g(xN)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G

=> по определению предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G№0 и

g(x)№0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AЈB

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 00: |х-

х0| |f(x)-A|0: |х-х0| |g(х)-B| |f(x)-A|В и что (А-Е,А+Е)З(В-Е,В+Е)=Ж, получаем что для

хО(х0-d, х0+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хОX: f(x)Јg(x)Јh(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim

g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х0| A-E0: |х-х0| h(х) A-E A-E A-E

-|x-x0| -|x-x0|®0 & |x-x0|®0 => (по теореме

о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0)®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0

|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| =>

-|y-y0| (Sin y-Sin

y0)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]®0 =>

(Cos x-Cos x0)®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кОZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кОZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0 Cos x < (Sin x)/x <

1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xЈLim (Sin

x)/xЈ1 при x®0, 0

Lim (Sin x)/x =1, 0 f(х0)=с).

Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из

двух полученных промежутков тот, для которого g(а1)*g(b1) теорема

доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда

выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2)*g(b2)0, причем длина его равна bN-aN=(b-

a)/2n®0 при n®Ґ. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию

Леммы о вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для

которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x0-удовлетворяет требованию

теоремы: g(aN)0 => переходим к пределам: Lim g(aN)Ј0, Lim

g(bN)і0, используем условие непрерывности: g(x0)Ј0 g(x0)і0 => g(x0)=0 =>

f(х0)-c=0 => f(х0)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество

У=f(Х)={f(х):хОХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит

промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у1,у2ОУ; у1ЈуЈу2, тогда существуют х1,х2ОХ: у1=f(х1),

у2=f(х2). Применяя теорему к отрезку [х1,х2]НХ (если х1 У -

удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных

функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется

функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде

ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-

ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim

f(g(x))=f(b) (при x®a)

Доказательство:

Пусть xN: xN№a - произвольная посл-ть из области определения ф-ции

х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN: yN=g(xN) сходится к

b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ) в силу опр.

непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®Ґ).

Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться

равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yN№b

в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f непрерывна в

точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у

однозначно разрешимо относительно уОf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно

сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у0 - называется обратной к

функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и

непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго

убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по

следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения

непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для

каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое

значение х0ОХ, что f(х0)=у0. Из строгой монотонности следует что такое

заначение может найтись только одно: если х1> или или у’=f(х’) и у”=f(х”) Если

бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с

условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0) при

у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно Е>0. Имеем "уОУ: |f`(у)-

f`(у0)| х0-Е f(х0-Е) f(х0-Е)-у0 -d’у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-

у0>f(х0)-у0=0,

полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0| -d’ |f`(у)-

f`(у0)| ф-ция хM/N - непрерывна

при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nОN: она непрерывна так как равна произведению

непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая

что:

1) 1/х - непрерывная функция при х№0

2) хN (nОN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х№0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная

при х№0, т.о. получили что хMmОZ - непрерывная ф-ция при х№0. При х>0 ф-ция

хN nОN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная

данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой

функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках

обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции =>

обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция

вида аX, а>0, а№1 xОQ.

Свойства: для mОZ nОN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b аM*K=bN*K аM=bN (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если

обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M, a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yОQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM =

bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS =>

(aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b

4) x aX1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0,

то aX aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 aX®1 (xОR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Поэтому

"Е>0 $n0: "n>n0 1-E1. Если теперь |x| 1-E Lim aX=1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных

чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:

Функция вида аX, а>0, а№1 xОR.

Свойства: x,yОR.

1) aX * aY = aX+Y

xN®x, yN®y => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn *

lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y

4) x aX1) - монотонность.

x xN aXn < aX’n => (n®Ґ) aXЈaX’-

монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ і aQ>1 => aX-X’№1 => aX0 $n0: "n>n0 1-E1. Если теперь |x| 1-E Lim aX=1 (при x®0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo=

aXo(aX-Xo - 1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0 n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®Ґ

Лемма: Пусть nK®Ґ nKОN Тогда (1+1/nK)Nk®e

Доказательство:

"E>0 $k0: "n>n0 0 nK®Ґ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0 0ЈyK (1+1/zK+1)Zk(1+1/zK+1)Zk=(1+1/zK+1)Zk+1)/(1+1/zK+1)

=> (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ

учитывая, что: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:

eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+

Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:

yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e

при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0

2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) x®xa aОR - непрерывна

xa=(eLn x) a=ea*Ln x

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x

= 1*a*1= a

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в

каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на

этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень

шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xО[a,b]}. Если f не ограничена сверху на

[a,b], то m=Ґ, иначе mОR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN),

такую что Lim cN=m. Т.к. "nОN: cN $ xKn®a. Т.к. aЈxКnЈb => aО[a,b].

Для mОR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен

пределу посл-ти получаем cKn®m.

Для m=+Ґ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-

тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn

f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xО[a,b]} доказывается

аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”| |f(x’)-f(x”)| функция

называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то

здесь d не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0: $ х’,х”:

|х’-х”| |f(x’)-f(x”)|іЕ>0

Рассмотрим множество x’-x”, IНDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется

колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf(d) = +Ґ; Sin x - Wf(d) = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому:

"Е>0 $ d>0: Wf(d)ЈЕ Lim Wf(d)=0 d®0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на

отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”: |х’-

х”||f(x’)-f(x”)|іЕ. Возьмем d =1/к, кОN $хK, х’KО[a,b]: |хK-х’K| из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно

выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks| 0іE - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х соединим

x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение

секущей при х®x0, если это предельное положение существует. Т.к.

касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0) => уравнение этой касательной

(если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0)+f(x0). Необходимо только

опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число Dх№0 так, чтобы

x0+DхОХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение

секущей имеет вид: у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0))/Dх - наклон

секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве искомого наклона

k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=Ґ при Dх®0, то перепишем уравнение

секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0 перейдя к пределам при Dх®0,

получим x=x0 (Lim x=Lim x0 Dх®0 => x = Lim x0)

Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число

f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/ Dх x®x0, если этот предел существует.

Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке

(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-

f(x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишут f`(x0)=Ґ касательная в этом случае вертикальна и

задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0+Dх)-

f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0. f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх

учитывая, что x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим

f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0)

уменьшается быстрее чем (x-x0) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если $сОR: в

некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 $ f’(x0)

Доказательство:

f`(x0)=C

=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-

x0)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.

Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева

записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)

Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0, то линейная

функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f в точке x0 и

обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о.

df(x0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх:

Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0) при Dх№0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх

- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной

переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.

Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)®f(x0) при x®x0 => f

непрерывна в точке x0.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная

касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали

равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем

уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g

и f/g (при g(x0)№0) дифференцируемы в точке x0 и:

1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)

3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Доказательство:

1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)

Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)

D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-

f(x0))/Dx+(g(x0+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0

2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x0))-

f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)

D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx

®f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0

=> "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g(x0+Dx)-g(x0)| (2) =

f’(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(-

g’(x0)/g(x0)2)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0) = Cos (x0)

2) Cos’(x0) = -Sin (x0)

Доказательство:

1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) * Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0

при Dx®0

2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x0+Dx/2) ® -Sin x0

при Dx®0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и

Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и

логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке

y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)

Доказательство:

Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx),

y=g(x0+Dx)

Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-

g(x0))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)=

f’(y0)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(

x)*Dy/Dx®f’(y0)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

Производная:

1) xa=a*xa-1

Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1* ((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя

замечательный предел x®0 Lim ((1+x)a-1)/x=a, получим Dx®0

Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1

2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’

x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе непрерывны на R =>

(x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=LimeX*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при

x®0 Lim(eX-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX

3) (LogA(x))’=1/x*Ln a

Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*LogA(1+Dx/x)/Dx/x,

используя замечательный предел при x®0 Lim LogA(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических

функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0О(a,b) и f’(x0)№0, то g

диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN№y0 => $

посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO ® 1/f’(xo) при

n®Ґ, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии,

что Sin’y

dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой

независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это

свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить

сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то

существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал

по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй

диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь

инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x,

в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид

д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x) [pic]

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по

х - получим:

[pic]

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые

произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком

произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1

входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0

входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные

произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое

произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.

Сумма соотв. коэффициентов будет [pic]=>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic]

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее

экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xЈb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:

f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0 т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то

f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хО(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в

открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b)

f’(x)і0(f’(x)Ј0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x) f’(c)і0(f’(c)Ј 0) => f(x”)іf(x’)( f(x”)Јf(x’)) => f(x)

возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие

получим (2).

Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в

достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная

точка.

Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®xO®(+) =>

локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство

Йенсена.

Определение: Множество М выпукло если " А,ВОМ [А,В]ММ

[А,В]ММ => [А,В]={А+t(В-А):tО[0,1]} => А(1-t)+tВОМ

[А,В]ММ => А,ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2і0 => l1А+l2ВОМ

Рассмотрим точки: А1,А2,...АNОМ l1,l2і0 S(i=1,n): lI = 1

Докажем что S(i=1,n): lI*АI ОМ

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно

б) lN(1-l N)*B + l N*А N

ОМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АIОМ lIі0 S(i=1,n): lI =1 => S(i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0,

f(xI)ЈyI => S(i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f(SlI*xI)ЈSlI*yI

Неравенство Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f(SlI*xI)ЈSlI*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия

эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO,x”О(a;b) x’

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO). Геометрический смысл: при

сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)і(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yіf(xO); AB: k=(f(x”)-

y)/(x”-xO)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yЈf(xO)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)Ј(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)

“<=”

Страницы: 1, 2