Место аналогии в обучении математике в школе

алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными,

например:

5 ( 3 = 3 ( 5, но 53? 35; ?5а2 = ?5 ( ?а2, но ?5 + а2 ? ?5 + ?а2;

а ( с ./ в ( с = а / в, но а + с / в + с ? а / в (с ? 0).

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести,

подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия.

В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить

выделению соответствующих элементов из аналогичных задач и теорем.

Например, рассмотрим две пары задач из учебного пособия А. В. Погорелова

«Геометрия 6 –10» (М., 1985).

|Докажите, что у равнобедренного|Докажите, что у равнобедренного |

|треугольника биссектрисы, |треугольника медианы, проведенные из |

|проведенные из вершин при |вершин при основании, равны (§3, №20 |

|основании, равны (§3, №20 (1)).|(2)). |

| | |

| | |

|Докажите равенство треугольника|Докажите равенство треугольников по |

|по двум сторонам и медиане, |медиане и углам, на которые медиана |

|исходящим из одной вершины (§3,|разбивает угол треугольника (§3, |

|№38). |№40). |

Для биссектрисы в задаче №20(1) соответственным элементам в задаче

№20(2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами

оказались:

Две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые

медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить

непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т. е. с

левой стороны одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует

подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое,

применив его к соответственным элементам.

Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу,

пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при

основании равнобедренной трапеции следует вскрыть ее свойство с теоремой об

углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать

«параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.

Таблица 2

|Теорема 3 из §3 |Задача 53 из § 6 |

|В равнобедренном треугольнике |Доказать, что углы при каждом |

|углы при основании равны. |основании равнобедренной трапеции |

| |равны. |

|Доказательство: |Доказательство: |

|Пусть АВС – равнобедренный |Пусть АВСД – равнобокая трапеция |

|треугольник (АС=СВ). Из вершины |(АД=СВ). Из вершин Д и С проведем |

|С проведем высоту СД. |высоты ДЕ и СF. |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|?АСД=?ВСД по катету и гипотенузе|?АДЕ=?ВСF по катету и гипотенузе |

|(СД – общая, АС=СВ по условию). |(ДЕ=СF, так как АВ|СД; АД=СВ по |

|Отсюда |условию). |

|(А=(В. |Отсюда |

| |(А=(В и |

| |(АДЕ=(ВСF; |

| |(АДС=(АДЕ + 90, отсюда следует,|

| |что |

| |(0ДСВ=(ВСF + 90 (АДС=(ДСВ |

Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и

решать их.

Приведем краткий список аналогичных задач на построение из учебного

пособия А. В. Погорелова «Геометрия 6 – 10» (1985)

|Постройте треугольник по двум | Постройте треугольник по двум |

|сторонам и медиане, проведенной |сторонам и высоте, опущенной на |

|к третьей стороне (§5,№ 27). |третью сторону (§5, №31). |

|Постройте параллелограмм по |Постройте трапецию по основаниям и |

|стороне и двум диагоналям (§6, |диагоналям (§6,№ 66). |

|№19(2)). |Постройте треугольник, если заданы |

|Постройте треугольник, если |сторона, прилежащий к ней угол и |

|заданы сторона, прилежащий к ней|разность двух других сторон (§5, № |

|угол и сумма двух других сторон |42). |

|(§5, № 41). | |

В табл. 3 даны решения двух задач на построение, на которых удобно

демонстрировать аналогию.

Таблица 3

Постройте трапецию по диагона- Постройте

параллелограмм по диа-

лям , углу между ними и одному из гоналям и углу между ними

(§6, № 20(2)).

оснований.

А н а л и з

Предположим, что трапеция АВСД Предположим, что

параллелограмм

построена (см. рисунок). АВСД построен (см.

рисунок).

Р Д С Д

С

А В В1

А В В1

Попробуем построить сначала треугольник,

используя данные нашей задачи.

Через одну из вершин (С)

Трапеции

Параллелограмма

проведем прямую, параллельную диагонали ВД, до пересечения с продолжением

основания АВ. Получим треугольник АВ1С, который можно построить по двум

сторонам и углу между ними (АС – дано, С В1 = ВД, так как В В1СД

параллелограмм, ( АСВ1 = ( АОВ как соответственные углы при параллельных

прямых ВД и СВ1).

П о с т р о е н и е

Строим треугольник АС В1 по двум сторонам и углу между ними.

От точки А на стороне А В1 отло- Из вершины С проведем

медиану СВ.

жим отрезок, равный АВ. Через точ- через точки В и С проведем

прямые,

ку С проведем прямую СР, парал- параллельные соответственно

В1С и

лельную основанию АВ; затем через АВ. Точка Д пересечения этих

прямых

точку В проведем прямую, параллель- будет четвертой вершиной

искомого

ную В1С, до пересечения с прямой СР. параллелограмма АВСД.

Точка Д пересечения этих прямых

будет четвертой вершиной искомой

трапеции АВСД.

Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-

13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться

возможности для применения аналогии. Она может использоваться при

формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и

решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после

специального обучения.

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ РОЛЬ АНАЛОГИИ В ПЛАНИМЕТРИИ И СТЕРЕОМЕТРИИ

В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство

стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных

связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может

служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства»

и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и его свойства» и «Сфера,

шар и их свойства» и т. д. Все это есть следствие линейного построения

курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической

организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы.

Развернем отмеченное положение несколько шире вначале в теоретическом, а

затем и в практическом аспекте.

Различные формы уровневой и профильной дифференциации могут быть

реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут

подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти

учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения,

но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас

школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и

силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении

дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для

математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в

обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и

индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза.

Целесообразна трансформация линейного построения содержания школьного

курса геометрии в линейно – концентрическое, что даст возможность проводить

глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предположения,

переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с

новых, более общих позиций уже изученный ранее изученный материал. Большую

роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие

приобщить учащихся к исследовательской деятельности.

Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего

побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы

условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной

дифференциации предполагает одновременное существование как учебников

геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории,

так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной

дедукции. Здесь налицо создание таких учебников геометрии, в котором бы

разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс

геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики».

Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный

процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в

обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс

создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный,

обеспечивает взаимодействие наглядно – образного и словесно – логического

мышления.

На примерах покажем, что многие пространственные факты являются

обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить

хорошим подспорьем в организации исследовательской работы учащихся.

П р и м е р 1. Плоскостная изопериметрическая теорема –

пространственная изопериметрическая теорема.

Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные

фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения,

приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос.

В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических

плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему

можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра

наибольшую площадь имеет круг».

Пусть S – площадь фигуры, L – длина периметра данной фигуры.

Допустим, что данная фигура и круг с радиусом r являются

изопериметрическими: L = 2(r, тогда S ? (r2 . Подставляя вместо r

его выражение через L (r = L/2(), преобразуем неравенство: 4(S/L2 ? 1.

Частное 4(S/L2 зависит только от формы фигуры и не зависит от его

размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные

размеры фигуры в отношении Ѕ, то периметр станет равен 2L, а площадь - 4S,

но частное S/L2 , как и частное 4(S/L2 , остается неизменным. Эта

закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом

отношении.

Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в

таком виде: «Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет

круг».

Аналогом, в стереометрии этой последней формулировке теоремы будет

такая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет

шар».

Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в

следующем виде: 36(V2 / S3 ? 1, где V – объем тела, S – площадь полной

поверхности тела.

Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема

позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы

остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?»

Читателю будет небезынтересно узнать своеобразную трактовку

изопериметрической теоремы, которую приводит Д. Пойа в своей книге

«Математика и правдоподобные рассуждения» (М.: Наука, 1975. С. 187): «К

изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные

рассмотрения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю, вы видели, что делает

кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы,

свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно

шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать

минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий

ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою

поверхность, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он

имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой».

Изложенная выше стереометрическая изопериметрическая теорема

позволяет по новому, совсем с других позиций изучать тему «Тела вращения».

Известная формула для вычисления комфортности жилища: K = 36(V2 / S3

, где K – изопериметрический коэффициент комфортности, V – объем жилища, S

– полная поверхность жилища, включая и пол. Учащимся можно предложить

подсчитать коэффициент комфортности восточносибирского чума (рис. 1),

яранги континентальных эскимосов Аляски (рис. 2), жилища береговых чукчей

(рис. 3), жилища аборигенов Северной Австралии (рис. 4), жилища народов

кирди в Камеруне (рис. 5), нашего обычного жилища в форме прямоугольного

параллелепипеда (рис. 6).

Изопериметрический коэффициент K всегда меньше единице или равен ей.

Единственное тело, имеющее коэффициент, равный единице, - это шар. Не

потому ли неопознанные летающие объекты шарообразны (как утверждают те, кто

их видел)?

П р и м е р 2. Принцип Кавальери для плоских фигур – принцип

Кавальери для пространственных фигур.

Итальянский математик Бонавертура Кавальери (1598 – 1647) в своем

основном труде «Геометрия» (1635) развил новый метод определения площадей и

объемов – так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл

параллельные между собой хорды плоской фигуры или параллельные плоскости

тела. Б. Кавальери доказал теорему, согласно которой площади двух подобных

фигур относятся, как квадраты, а объемы – как кубы соответствующих

неделимых. Эта теорема вошла в математику под названием принципа Кавальери.

Приведем его формулировку.

Д л я п л о с к о с т и. Если две фигуры могут быть перемещены в

такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой

и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие

фигуры равновелики.

Примером могут служить два параллелограмма (рис. 7) с равными

основаниями и равными высотами.

Д л я п р о с т р а н с т в а. Если две объемные фигуры могут быть

помещены в такое положение, что всякая плоскость, параллельная какой-нибудь

заданной плоскости и пересекающая обе фигуры, дает в сечении с ними плоские

фигуры равной площади, то такие фигуры равновелики.

Примером могут служить две пирамиды с равными основаниями и равными

высотами (рис. 8).

П р и м е р 3. Докажем для тетраэдра теорему, аналогичную теореме

Пифагора для прямоугольного треугольника:

«Если три грани тетраэдра – прямоугольные треугольники (рис. 9), то

S12 +S22 + S32= S42 , где S1, S2, S3 – площади граней, составляющих прямой

угол, S4 – площадь четвертой грани, лежащей против прямого трехгранного

угла”.

Доказательство. Пусть длины катетов прямоугольных треугольников

соответственно равны: у ?АВД – а и b; у ?АДС – а и d; у ?АСВ – b и d, тогда

S1 = SАДВ = Ѕ аb; S2 = SАДС = Ѕ ad;

S3 = SАСВ = Ѕ bd. (1)

Для того чтобы найти S4 , найдем гипотенузу ?АСВ: ВС = (b2 + d2.

Высота основания, проведенная к гипотенузе ВС, равна

АМ = bd + d/(b2 +d2 .

Высоту четвертой грани (?ДВС) будем искать по теореме Пифагора:

ДМ = (а2 + bd/b2 + d2 .

Тогда

S4 = Ѕ/(b2 +d2 * (а2 + bd/b2 + d2 = Ѕ/(b2 +d2 * ( а2 d2 + а2 b2 +

b2d2 /(b2 +d2 = Ѕ ( а2 d2 +а2 b2 + b2d2;

S42 = ј(а2 d2 + а2 b2 + b2d2) (2)

Согласно равенствам (1), имеем:

S12 +S22 + S32 =ј а2 d2 +ја2 b2 +ј b2d2 = ј(а2 d2 + а2 b2 +

b2d2).

Так как равые части последнего равенства и равенства (2) равны, то

равны и левые части:

S12 +S22 + S32 = S42.

На случай пространства можно сформулировать и доказать и такую

обобщенную теорему Пифагора для проекций: «Квадрат длины любого отрезка

равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно

перпендикулярные прямые».

П р и м е р 4. Сформулируем для тетраэдра теорему, которая является

аналогом такой плоскостной теоремы:

«Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то

площади этих треугольников относятся, как произведения сторон, заключающих

равные углы».

Формулировка аналогичной теоремы для пространства:

«Если трехгранных угол одного тетраэдра равен трехгранному углу

другого тетраэдра, то объемы этих тетраэдров относятся, как произведения

длин ребер этих тетраэдров, выходящих из вершин этих трехгранных углов».

П р и м е р 5. В планиметрии рассматривается такая задача:

«Как изменится площадь треугольника, если его высоту увеличить на m

единиц?”

Решим ее. S = Ѕ ah, где a – основание треугольника, а h – высота

треугольника.

S1 = Ѕ a(h + m) = Ѕ ah + Ѕ am; S - S1 = Ѕ am.

С геометрической точки зрения увеличение площади данного треугольника

равно площади треугольника с тем же основанием a и высотой m (рис. 10).

Следовательно, площади заштрихованных частей равны между собой.

Аналог этой задачи в стереометрии:

«Дана пирамида. Как изменится ее объем, если высоту увеличить на m

единиц?»

Р е ш е н и е. 1

V = 1/3 Sосн ( H; V1 = 1/3 Sосн ( (H + m) = 1/3 Sосн ( H + = 1/3 Sосн (

m.

Имеем:

V1 – V= 1/3 Sосн ( m,

Т. е. увеличение объема равно объему пирамиды с таким же основанием и

высотой, равной m единиц.

Заметим, что аналогичную задачу можно рассмотреть и для конуса.

П р и м е р 6. Рассмотрим планиметрическую задачу:

“Имеются два треугольника с равными основаниями. Постройте

треугольник, равновеликий объединению данных треугольников”.

Р е ш е н и е.

S = Ѕ ah1 + Ѕ ah2 = Ѕ a(h1 + h2),

т. е. искомый треугольник должен иметь такое же основание, что и у исходных

треугольников, и его высота должна быть равна сумме высот исходных

треугольников.

Этой задаче в стереометрии есть аналог:

«Две пирамиды (конуса) с равными основаниями замените одной пирамидой

(конусом), равновеликой их объединению».

Р е ш е н и е.

V = 1/3 Sосн ( H1 + 1/3 Sосн ( H2 = 1/3 Sосн ( (H1 + H2).

Таким образом, искомая пирамида (конус) должна иметь такое же

основание, а ее высота должна быть равна сумме высот исходных пирамид

(конусов).

П р и м е р 7. В планиметрии на случай прямоугольного треугольника

решается задача:

«Пусть дан прямоугольный треугольник АВС: (С = 90(; СА = b, СВ = а, h

- высота треугольника, проведенная из вершины С. Доказать равенство

1/h2=1/a2+1/b2».

Это равенство может быть обобщено на случай тетраэдра:

Страницы: 1, 2, 3