Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

Продифференцировав правую часть формулы, имеем

d f [((t)] (’(t)dt = f [ ((t) ] (’(t)dt

Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная

замена переменной, то есть, подстановка t = ((t), dt = (’(t)dх.

Примеры.

1) (2х + 3)4dх.

Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка

выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного

интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и

тоже выражение и.

Следовательно, в данном случае нужно применить подстановку и = 2х + 3,

отсюда имеем dи = 2dх и dх = dи/2, а потому

(2х + 3)4dх = и4(dи/2) = 1/2 и4dи =

= 1/2 * и5/5 + С = + С.

2.6 Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие

производные в интервале (а,в). имеем тогда

(uv)’ = uv’ + vu’

так что uv’ = (uv)’ – vu’

Беря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что

uv’dх = uv – vu’dх, (1)

Если оба интеграла существуют.

Пользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в

следующем виде:

udv = uv – vdu. (2)

Формула (2) даёт возможность вычисления интеграла udv свести к

вычислению интеграла vdu , который, быть может, берётся легче. Этот

метод называется интегрированием по частям.

Примеры.

1) J = хехdх.

Положим и = х, dи = dх, dv = ехdх,

v = ехdх = ех

Следовательно,

J = хех – ехdх = хех – ех + С.

2) ln хdх .

Положим, u = ln х, dи = dх/х

dv = dх v = dх = х.

Следовательно,

J = х ln х – dх = х ln х – х + С..

2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть интервал [а,в], на котором задана функция у = f(х), разбит

точками деления х1( х2 ( … ( хп – 1 на п частичных интервалов (1 = [х0,х1],

(2 = [х1,х2], …, (n = [хп–1,хп], где а =х0 , в = хп, причём в каждом

частичном интервале (i выбрана какая–либо точка (i:

хi–1 ( (i ( хi (i = 1, 2, …, п). Пусть, далее, (хi – длина интервала

(i, то есть,

хi – хi–1 = (хi (i = 1, 2, …, п),

а max (хi – наибольшее из чисел (хi.

Требуется найти предел суммы

1) f((1) (х1 + f((2) (х2 + … + f((п) (хп = ( f((i) (хi,

когда длины (хi всех частичных интервалов (i стремятся к нулю (при

этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к

бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max

(хi( 0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов (i

стремится к нулю, равносильно условию, что все (хi( 0.

Итак, требуется найти

lim ( f(хi) (хi.

Определение. Сумму (1) называют интегральной суммой.

Определение. Функция f(х) называется интегрируемой на интервале

[а,в], если существует конечный предел

lim ( f((i) (хi, (2)

не зависящий от того, каким образом интервал [а,в] делится на

частичные интервалы и каким образом выбираются точки

(i на этих частичных интервалах, лишь бы длина

максимального из них стремилась к нулю. Этот предел

называется определённым интегралом от функции f(х) на

интервале [а,в] и обозначается символом

f(х)dх = lim ( f((i) (хi.

Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как

следует понимать предел (2).

Определение. Число J называется пределом интегральной суммы ( f((i)(хi

при max (хi( 0, если для любого заданного ( ( 0

найдётся такое ( ( 0, что выполняется неравенство:

|( f((i)(хi – J |( (

при любом выборе частных интервалов, (1, (2, …, (п и точек (1, (2, …,

(п на этих интервалах, лишь бы только выполнялось

требование max (хi( 0, то есть лишь бы длина

наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов

была меньше (.

Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая

функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для

которых определённый интеграл не существует, то есть для которых

интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование

определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а,в],

обеспечивает непрерывность этой функции на [а,в], поэтому непрерывность

функции на [а,в] является достаточным условием её интегрируемости на этом

интервале, то есть

Теорема 1. Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а,в],

то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет

определённый интеграл

f(х)dх.

Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции.

Приведём несколько более широкое достаточное условие существования

интеграла.

Теорема 2. Если на интервале [а,в] функция ограничена и имеет лишь

конечное число точек разрыва, то она интегрируема на

[а,в].

2.8. Основные свойства определённого интеграла.

Теорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а,в] (а ( с ( в).

Тогда имеет место равенство

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

если все эти три интеграла существуют.

Доказательство: Разобьём [а,в] на п частичных интервалов [а,х1],

[х1,х2], …, [хп–1, в] длиной соответственно (х1, (х2, …, (хп так, чтобы

точка с была точкой деления. Пусть, например, хт = с (т ( п). Тогда

интегральная сумма

( f((i)(хi

соответствующая интервалу [а,в], разобьётся на две суммы:

( f((i)(хi = ( f((i)(хi = ( f((i)(хi

соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального

частного интервала (хi, то есть, при max (хi( 0, будем иметь

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого

интеграла, то есть

k f(х)dх = k f(х)dх.

Доказательство: По определению:

k f(х)dх = lim [k f((1)(х1 + k f((2)(х2 + … + k f((п)(хп] =

= lim ( k f((i)(хi.

Но так как, согласно одному из свойств предела,

lim ( k f((i)(хi = k lim ( f((i)(хi,

и так как, по определению, lim ( f((i)(хi = f(х)dх

то k f(х)dх = k lim ( f((i)(хi = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких

непрерывных функций равен алгебраической сумме

определённы интегралов от этих функций.

Доказательство: Докажем, например, что

[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх

в самом деле имеем:

[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = lim ( [ f1((i)dх + f2((i)dх –

f3((i)](хi =

= lim ( f1((i)(хi + lim ( f2((i)(хi – lim ( f3((i)(хi =

= f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Если функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него

найдётся такая точка С.

f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она

достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в].

произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов (i

длиной (хi = х f((i) ( т – хi–1 (i = 1, …, п).

Так как f((i) ( т при любом (i, то

f((i)(хi ( т(хi

откуда ( f((i)(хi ( т ( (хi

или ( f((i)(хi ( т(в – а)

так как ( (хi = (х1+(х2 + … + (хп = в – а.

Так как, далее, f((i) ( т, при любом (i, то

f((i)(хi ( М(хi

а потому ( f((i)(хi ( М ((хi,

то есть, ( f((i)(хi ( М(в – а).

Таким образом, имеем

т(в – а) ( ( f((i)(хi ( М(в – а).

Переходя к пределу при max (хi( 0, получим неравенства

т(в – а) ( f(х)dх ( М(в – а)

f(х)dх

(в – а)

Из этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в],

принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими

наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)dх

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной

точке с интервала [а,в] (т ( f(с)( М).

Таким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

f(х)dх = (в – а)f(с)

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.

Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху

непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а ( х ( в)

и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

S = lim ( f((i)(хi

Но, по определению,

f(х)dх = lim ( f((i)(хi

следовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х) ( 0, то есть, когда график функции

у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен

площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а ( х ( в, то есть если кривая располагается под

осью Ох, то сумма

( f((i)(хi

равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком

минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх

численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом

[а,в] оси Ох (а ( х ( в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х

= а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом

отрезке, [а,х], где а ( х ( в, то есть, для любого х ( [а,в], существует

интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)(0 ( t([а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь

криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в]

называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет

место следующая теорема.

Теорема. (Ньютона–Лейбница)

Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f

, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна

значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)1, х ( [а,в] .

Доказательство: Пусть х ( [а,в], х + (х ( [а,в]; тогда в силу теоремы

1 пункта 2.12. получим

F(х +(х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt

Найдём соответствующее приращение (F функции F. Используя равенства

(V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем

(F = F(х +(х) – F(х) = f(t)dt = f(с)(х, где

с ( [х, х +(х]

Вычислим производную функции (V):

F’(х) = lim = lim = lim f(с)

Если (х( 0, то х + (х( 0 и с ( х, так как с ( [х, х+(х]. Тогда в силу

непрерывности f получим

F’(х) = lim f(с) = f(х)

Что и требовалось установить.

Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в]

функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных

является интеграл (V).

Действительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она

интегрируема на любом на [а,х], где х ( [а,в], то есть, существует

интеграл (V), который и является первообразной функцией для f .

Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f

можно записать в виде

f(х)dх = f(t)dt + С, х ( [а,в]

где С – произвольная постоянная.

2.11. Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f,

то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле

f(х)dх = Ф(в) – Ф(а).

Доказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В

силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для

функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на

некоторую постоянную, имеем

f(х)dх = Ф(х) + С (1)

Положим в последнем равенстве х = а. Так как

f(х)dх = 0,

то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)

Подставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем

f(х)dх = Ф(х) – Ф(а).

Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через

х, окончательно получим равенство указанное в теореме.

Формулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так:

f(х)dх = Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)

Примеры.

1) sin хdх = – cos х| = – cos 2( + cos 0 = 0.

2) = ln |x + x2+1| = ln (1+(2) – ln 1 = ln (1+(2)

12 Замены переменных в определённых интегралах.

Пусть требуется в определённом интеграле

f(х)dх

применить подстановку х = ((t). Тогда имеет место следующая формула замены

переменных в определённом интеграле:

f(х)dх = f [((t)](’(t)dt,

где ((() = а, ((() = в.

Эту формулу мы докажем при условиях:

1. Функции ((t) и (’(t) непрерывны в [(, (].

2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые

функция х = ((t) принимает в [(, (].

3. ((() = а, ((() = в.

4. Доказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее

значения функции х = ((t) в [(, (]. Пусть

F(х) = f(х)dх, т ( х ( М.

По теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [(,

(] справедливо равенство

F[((t)] = f[((t)](’(t)dt.

Отсюда f[((t)](’(t)dt = F[((()] – F[((()] = F(в) – F(а)

Так как f(х)dх = F(в) – F(а)

то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.

Пример. Вычислить интеграл

J = х 1+х2 dх

Подставим 1+х2 = t, то есть, х = t2 –1 . Имеем: t = 1, при х =0,

t = (2, при х = 1. Так как dх = tdt/ t2 –1 , то

J = t2dt = t3/3| = (2(2 – 1)/3.

13 Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х) и ((х) непрерывны вместе со своими производными в

интервале [а,в]. Пусть, далее,

F(х) = f(х) ((х).

Тогда F’(х) = f(х) (’(х) f’(х) ((х).

Так как F’(х)dх = F(х)| ,

то [f(х) (’(х) f’(х) ((х)]dх = f(х) ((х)| ,

откуда f(х) (’(х)dх = f(х) ((х)| – f’(х) ((х)dх

Примеры.

1) Вычислить интеграл.

х cos х dх

Положив f(х) = х, ((х) = sin х получим:

х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2

2) Вычислить интеграл

ln х dх.

Положив f(х) = ln х, ((х) = х получим:

ln х dх = [х ln х] – х(dх/х) =

= [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1

Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается

изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось

оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и

учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало

началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и

поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.

Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или

нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было

завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого

состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и

интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в.

сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и

вычислительной техники; введение в математику переменной величины и

координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, особенно

Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление квадратур,

кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей

и т.д.

1 Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы

Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности

вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем.

Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея

интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей

мере, чем идея дифференциального исчисления.

Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда,

примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В

последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении

плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или

гиперболы.

В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид

вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида

вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед

доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов,

отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь

из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый,

то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую,

состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная

фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной

телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо

которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая

часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно

вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел

– меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее

сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть

сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных

тел соответствующих цилиндриков.

Архимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних Vп и

нижних vп и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при

п ( (. Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида

вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:

хdх = а2/2, х2dх = а3/3, (х2 + вх)dх = а3/3 + а2в/2

В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:

1/2 sin ( d( = 1, sin ( d( = – cos ( + 1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и

общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его

выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без

указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём

арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на

то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению

одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач

различными методами.

В виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом

задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и

сфероидах».

Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е(0. Делим

ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы

объёмов которых, соответственно обозначим, Von и Vвn. Их разность равна

объёму цилиндрика АА1, то есть, (а2(в/п), который подбором достаточно

Страницы: 1, 2, 3