Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

большего п может быть сделан сколь угодно малым.

Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида

вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае

Vоп = (hа2 + (h(х1)2 + (h(х2)2 +(h(хп-1)2 =

= (h( (хk)2, (х0 = 0)

Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит

геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим

преобразованиям:

Так как х2/а2 + у2/в2 = 1, то х2 = а2/в2(в2 – у2) и далее каждого

сечения: (х1)2 = а2/в2(в2 – h2),

(х2)2 = а2/в2(в2 – (2h)2),

…………………………,

(хп-1)2 = а2/в2(в2 – [(п–1)h]2),

откуда Vоп = ((h(хk)2 = ((hа2)/в2[пв2 – h2((2], где

( – последовательные натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов

последних Архимед применил геометрические оценки вида (п3h2)/3 ( (((h)2

( ((п+1)3 h3)/3

откуда (так как пh = в)

(в3)/3 ( (((h)2h ( в3/3 + в3/п + в3/п2 + в3/3п3

что до известной степени эквивалентно оценке для ( х2dх

из этих оценок получается

Vоп = ((а2/в2)h [пв2 – h2(п3/3)] = (а2в(1–1/3) = 2/3(а2в

Аналогично Vвп ( 2/3(а2в.

Но так как согласно лемме, Vоп – Vвп ( Е, то искомый объём сегмента

V ( 2/3(а2в,

то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой,

что и сегмент.

Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях,

приведением к противоречию.

Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд

элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних

и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.

2 От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда

были предприняты в XVII в. одним из первых видных учёных, стремившихся к

возрождению и развитию интеграционных методов, был Иоганн Кеплер.

1612 г. был для жителей австрийского города Линца, в котором жил тогда

Кеплер, исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди

заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их

объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался

Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет

в 1615 г.

Кеплер вычислил площади плоских фигур и поверхностей и объёмы тел,

основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно

малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями

крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он

составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объём

которой ему известен.

Методы Кеплера в определении объёмов тел вращения, были нестрогими.

Многие учёные посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны

этого предприятия. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых,

изобретённая Кавальери. Делом его жизни, имевшим наибольшее значение для

развития математики, был метод неделимых.

Метод неделимых изобретён для определения размеров плоских фигур и тел.

Как фигуры, так и тела представляются составленными их элементов,

имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков

прямых, проведённых параллельно некой направляющей прямой, называемой

регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между

двумя касательными, параллельными регуле. В геометрических телах неделимыми

являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно

много; границами их совокупности служат две касательные плоскости,

параллельные регуле.

Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит

понятие определённого интеграла. Совокупность геометрии неделимых можно

сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все

их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же

отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или

объёмов тел) равно этому отношению.

Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям

типа: даны две фигуры, ограниченные осью х, прямыми х = а и х = в и

соответственно у1 = f1(х) и у2 = f2(х). (рис 7).

Отношение площадей

S1/S2 = ( у1k / ( у2k = f1(х)dх / f2(х)dх

Если у1k / у2k = а = const, для любого k, то и S1/S2 = k.

Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма

втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в

результате проведения диагонали (рис. 8).

Введём для краткости обозначения: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в,

ST = z. Тогда х = в + z, у = в – z и сумма квадратов частей неделимых х2 +

у2 = 2в2 + 2z2.

Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом [

[AEC] + [CGE] = 2[ABFE] + 2[BCM] + 2[FEM].

Заметим, что

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE],

что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и

рассматривая их совокупности. Следовательно, [ACE] = 1/4[ACGE] + 1/8[ACE] +

1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что

х2dх = 1/3 а2dх

или иначе:

lim [(а/п)2 (12 + 22 + … + п2)]/па2 =

= lim ( k2/п3 = 1/3.

Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более

высоких степеней неделимых, вплоть до девятой, решив таким образом группу

задач, эквивалентных вычислению определённых интегралов вида:

хпdх , для п = 1, …, 9.

3 Теорема Паскаля.

Среди последователей Кавальери самыми видными учёными,

подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления,

были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль.

Методы Валлика, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655),

развивались вслед за методом неделимых Кавальери. Валлик продвинулся

значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач

Валлик по существу вычислял определённые интегралы от некоторых других

алгебраических функций; у Валлика также впервые встречается в чётком виде

арифметизированный предельный переход. При этом Валлик исходит уже не из

примитивного понятия всех линий, а из суммы ( f(х)i(хi. Он рассматривает

площадь (определённый интеграл) как общий предел верхних и нижних

интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней хr, или, как говорили в то время,

квадратурой «парабол» у = хr, где r – рациональное число, П.Ферма занимался

ещё в 1644 г. позже Ферма изложил общую теорию всех различных случаев.

Ещё более чётко понятие определённого интеграла выступает в трудах

Б.Паскаля. все его усилия были направлены на уточнение метода неделимых.

Попытка уточнения состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как

сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими, одинаково

отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком оси абсцисс и

кривой (то есть сумму вида (уdх). В ряде задач он вводил сумму всех

синусов, определяя её как сумму произведений ординат на элементы дуги

((уds), которая в случае окружности единичного радиуса оправдывает своё

название ((sin(d().

Для примера рассмотрим следующую теорему из «Трактата о синусе четверти

круга» (1658) Паскаля:

Сумма синусов какой–нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 9) равна

отрезку основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части, отмеченные точками из которых из

которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге

окружности в точках D обозначены точками Е; из последних затем опускаются

перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль указывает, что

DI . EE = RR . AB (1)

Действительно (рис. 10), из подобных прямоугольников DIA и EKE ((ЕЕК =

(DAI) следует:

AD/DI = EE/EK

Ввиду того, что AB = AD, получаем равенство (1).

«Я утверждаю, — пишет после этого Паскаль, — что сумма синусов DI

каждого умноженного на одну из равных дуг DD, равна прямой АО умноженной на

радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой DD, Паскаль получает в

левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой произведение АВ на

сумму отрезков RR, то есть, на АО. Итак, теорема доказана. Отождествление

дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает.

Чтобы перевести доказательство Паскаля на современный язык введём

соответствующую систему декартовых координат, обозначим «синус DI» через у,

элемент дуги DD – через ds, дифференциал независимого переменного – через

dх, радиус АВ – через r. Тогда равенство (1) можно записать так:

уds = rdх

Интегрируя согласно содержанию теоремы Паскаля, получим:

уds = rdх. (2)

Более сложный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, сводится

таким образом к более простому интегралу правой части, равному rx, а для

целой четверти r2.

Положим r = 1 и введём угол DAB = ( ADI = (. Тогда (рис. 10)

S = r( = (, у = DI = AD cos ( = cos (, х = sin (.

Равенство (2) даёт:

cos ( d( = х = sin (.

На рассмотренном выше (ЕЕК Лейбниц построил своё дифференциальное

исчисление и назвал его характеристическим.

4 «О глубокой геометрии» Лейбница.

С основными достижениями математики XVII в. Лейбниц познакомился в

начале 70–х гг. этого столетия, когда под вниманием голландского учёного Х.

Гюйгенса изучил, кроме его работ, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др.

два года спустя после опубликования мемуара 1684 г., 1–го печатного труда

Лейбница по дифференциальному исчислению, появился его новый мемуар «О

глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была

первая печатная работа по интегральному исчислению. Основным понятием для

Лейбница была сумма актуально бесконечных малых треугольников уdх, на

которые разбивается криволинейная фигура, то есть, определённый интеграл. В

этом же мемуаре впервые появляется не только знак , но и запись

уdх, причём Лейбниц предупреждает, что не следует забывать писать под

знаком интеграла множитель dх.

Лейбниц, исходя из «характеристического» треугольника С катетами dх и

dу (разности абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds

(бесконечно малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к

дуге), приходит к равенству (дифференциальному уравнению)

рdу = хdх, где р – поднормаль (отрезок IA, рис. 10)

«Если, — пишет он, — обратить это разностное (дифференциальное)

уравнение в суммирующее, то будет

рdу = хdх.

Но из того, что я изложил в своём методе касательных, явствует, что

1/2 dх2 = хdх;

следовательно, и обратно:

1/2 х2 = хdх,

ибо у нас суммы и разности или и d взаимно обратны, как в обычном

исчислении степени и корни».

Таким образом, исходя из понятия определённого интеграла, Лейбниц

приходит к понятию функции F(х) первообразной (или примитивной) для данной

функции f(х) так, что

F’(х) = f(х), или dF(х) =f(х)dх.

Отсюда и заключение о том, что дифференцирование и интегрирование

являются двумя взаимно обратными операциями.

5 «Метод флюксий» Ньютона.

Независимо от Лейбница и ещё до него эти результаты были получены

Ньютоном. Последний, однако, нашёл их, идя по другому пути. Ньютону

принадлежат в областях науки первоклассные достижения, в том числе и

разработка дифференциального и интегрального исчисления в форме метода

флюксий.

В своём «Методе флюксий» автор формулирует две основные проблемы.

Первая:

«По данному соотношению между флюэктами определить соотношение между

флюксиями».

Решение этой проблемы приводит Ньютона к вычислению флюксии

(производной) от данной флюэнты (функции) и к своеобразному обоснованию

развитого или дифференциального исчисления. Он вводит понятие «моментов»

текущих величин, соответствующих понятию дифференциалов функций.

Неограниченно малую величину, понимаемую актуально бесконечно малое

приращение независимой переменной (времени), Ньютон обозначает через знак

(, напоминающий нуль, но не являющийся нулём. Момент флюэнты и, например он

обозначает так ио, где и – флюксия. По существу момент флюэнты это её

дифференциал.

Вторую проблему Ньютон формулирует так.

«По данному уравнению содержащему флюксии, найти соотношение между

флюэктами». Это общая проблема объём интегрировании обыкновенных

дифференциальных уравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью

бесконечных рядов, содержит в частности задачу определения функции F

(называемую первообразной), зная её производную F’ = f. Именно эта задача

приводит к понятию неопределённого интеграла.

Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной

функции неопределённого интеграла, однако исторически, в частности у

Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.

Пусть имеем криволинейную трапецию (рис. 11), ограниченную сверху

кривой у = f(х), и пусть эта функция непрерывна на [а,в] и принимает лишь

неотрицательное значение.

Для нахождения площади Р нашей трапеции рассмотрим сначала площадь Р(х)

фигуры АDLK, отвечающей промежутку [а, х], где х – произвольно взятое на

[а,в] значение. Для нахождения функции Р(х) построим приращение (х и

соответствующее ему приращение (Р, если т и М предоставляют минимум,

соответственно, максимум f(х) в промежутке [х, х+(х], то, очевидно, будет

иметь место неравенство

т (х ( (Р ( М(Р ,

откуда т ( (Р/(х ( М.

Вследствие непрерывности функции м и М будут стремиться к f(х) при

стремлении (х к нулю, и мы получим:

lim (Р/(х = Р’(х) = f(х),

то есть, производная от переменной Р(х) по конечной абсциссе х равна

конечной ординате у = f(х), или, тоже, площадь Р(х) криволинейной трапеции

есть первообразная функция для функции у = f(х), представляющей собой

кривую ограничивающую трапецию.

Можно теперь записать:

Р(х) = F(х) +С. (V)

Но так как при х = аР(х) = 0, получим для значения постоянной С в нашем

случае:

0 = F(а) + С, или С = – F(а),

подставив это значение С в (V), будем иметь:

Р(х) = F(х) – F(а), (W)

Для определения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD следует

положить х = в.

Тогда

Р = F(в) – F(а).

Таким путём исходя из понятия производной, Ньютон пришёл к понятию

первообразной или неопределённого интеграла. Последний являлся для Ньютона

первоначальным понятием при построении интегрального исчисления.

Равенство (W), пользуясь современными символами, можно переписать так:

f(х)dх = F(х) – F(а).

Это и есть так называемая формула Ньютона–Лейбница. В ней определённый

интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела

интегрирования представлен в виде одной из первообразных F(х) + С

подынтегральной функции f(х).

Итак, задача вычисления площади фигур, то есть, квадратура, ведёт к

понятиям как определённого, так и неопределённого интегралов.

Поэтому вычисление интегралов стали называть квадратурой.

6 Дифференциальные методы.

В математике XVII в. наряду с интегральными методами складывались и

методы дифференциальные. К дифференциальным методам мы отнесём те, в

которых содержатся элементы будущего дифференциального исчисления.

Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время

решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трёх

видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов

функций и отыскивание условий существования алгебраических уравнений

кратных корней.

Накопление элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму

приняло у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу

определения экстремальных значений f(х) .

Ферма составил уравнение [f(х + h) – f(х)] / h = 0 и после

преобразований в левой части полагал h = 0. Вопреки мнению позднейших

исследователей, которые видели в этом идеи исчисления бесконечно малых, в

действительности Ферма нашёл это условие и аналогичное

[f(у) – f(х)] / [у–х] = 0

Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания

касательных к алгебраическим кривым.

На малой дуге MN алгебраической кривой f(х) = 0 путём проведения

секущей SMN строится «характеристический» ( MNP.

( MNP подобен ( MRS.

Отсюда SR = (MR . MP) / PN, или в более привычных нам символах SP =

[f(х)h] / f(х+h) – f(х).

Затем Ферма переходит от секущей к касательной, полагая х = 0, получая

тем самым St = у / у1. Позднее он распространил этот метод определения

касательных на случай неявной функции f(х,у) = 0. Полученное им выражение

легко переводится в привычное нам

дf / дх + у1 (дf / дх) = 0.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в

1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав. В

предисловии даётся краткий исторический обзор развития нового исчисления.

В 10 главах книги излагаются определения постоянных и переменных

величин и дифференциала («Бесконечно малая, часть на которую непрерывно

увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её

дифференциалом».), объясняются употребляющиеся обозначения dх, dу и др.,

выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений, определяется

дифференциальное исчисление к нахождению касательных к кривым, к нахождению

максимумов и минимумов и т.п.

Большими достоинствами книги Лопиталя являются простота и строгая

последовательность изложения, обилие примеров лёгких, средних и более

трудных.

Появление анализа бесконечно малых революционировало всю математику,

превратив её в математику переменных величин.

Литература.

1. Стефан Бонах

«Дифференциальные и интегральные исчисления».

2. Глаголев А.А., Солнцева Т.В. «Курс высшей математики».

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе».

4. Рыбников К.А. «История математики».

5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики».

6. Шестаков А.А. Малышева И.А. «Курс высшей математики».

7. Хрестоматия по истории математики.

-----------------------

(у f(х0+(х)– f(х0)

(х (х

lim f(х0+(х)– f(х0) lim (у

(х(0 (х (х(0(х

dу

dх

(у

(х

lim (у

(х(0(х

lim (х

(х(0

(у

(х

lim (у = 0

(х(0

(у

(х

lim (у

(х(0(х

lim

(х(0

(х

(х+х

(

(у

(х

(((х)=

lim

(х(0

lim

(х(0

(у

(х

lim

(х(0

lim

(х(0

dху

dхх

(

(dи –иd(

(у

(

(у

dу

dх

(

dу

dх

рис. 2

lim

(х(0

lim

(х(0

(у – dу

(х

х3

(

рис. 3

(

х8

(

х5/3

5/38

(

3dх

cos23х

3dх

cos23х

(

d(3х)

cos23х

(

( вч

х4

х3/2

3/2

х3

(

(2х + 3)5

(

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

(

i=1

max (хi( 0

(

i=1

(

i=1

i=т

i=1

(

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

(

i=1

max (хi( 0

(

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

(

i=1

(

т ( ( М

(

i=1

max (хi( 0

i=1

max (хi( 0

(

i=1

п-1

k=0

у=f(х) f(х)

рис. 4

S(х)

(х

(х+х

рис. 5

(

х+(х

(

х+(х

(

х+(х

(х( 0

(х

f(с)(х

(х

с( х

(

dх

х2+1

(

рис.11

(

х+(х

P(х)

2а

А1

в=пh

рис. 6

рис. 7

х=а

х=в

у1=f1(х)

у2=f2(х)

рис.8

(

рис.9

п-1

k=0

п-1

k=0

(=1

(

k=1

(

k=1

(

п((

(

k=1

(

i=1

рис.10

(

(х( 0

рис. 12

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)

ИНТЕРЕСНОЕ