Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

Введение.

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений

имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено

тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и

явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с

зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные

представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин

способствует приобретению практических умений и навыков необходимых

человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения,

связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для

дальнейшего изучения математики.

По традиционной программе в конце третьего (четвёртого) класса дети

должны: - знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и

уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач, -

знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость

товара; скорость, время, расстояние, - уметь применять эти знания к решению

текстовых задач, - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника

(квадрата).

Однако, результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают

материал, связанный с величинами: не различают величину и единицу величины,

допускают ошибки при сравнении величин, выраженных в единицах двух

наименований, плохо овладевают измерительными навыками. Это связано с

организацией изучения данной темы. В учебниках по традиционной программе

недостаточно заданий, направленных на: выяснение и уточнение имеющихся у

школьников представлений об изучаемой величине, сравнение однородных

величин, формирование измерительных умений и навыков, сложение и вычитание

величин, выраженных в единицах разных наименований.

Таким образом, чтобы улучшить математическую подготовку детей по теме

«Величины и их измерение», необходимо пополнить её новыми упражнениями из

системы развивающего обучения.

Цель исследования состоит в выявлении и влияния на эффективность обучения

системы развивающих упражнений на уроках математики при изучении темы

«Величина и её измерение».

Объектом исследования является процесс обучения математики в начальной

школе.

Гипотеза исследования: учебная деятельность при изучении темы «Величина и

её измерение», организованная с помощью системы развивающего обучения,

может обеспечить качество знаний и умений учащихся.

Задачи исследования:

1) Изучить психолого-педагогическую литературу по вопросу

развивающего обучения;

2) Изучить методико-педагогическую литературу по теме «Величины и их

измерения»;

3) Выявить влияние использования системы упражнений развивающего

обучения на качество знаний и умений учащихся.

Методы исследования: изучение научно-методической литературы, наблюдение за

деятельностью учителя и учащихся, анализ письменных работ учащихся,

педагогический эксперимент.

База исследования: 1 класс (1-3) по традиционной программе УПК №1818.

Глава 1. Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики.

1.1.Развивающее обучение в начальном курсе математики.

В настоящее время в начальной школе представлены системы образования,

базирующиеся на традиционной системе обучения, а также на теориях,

разработанных отечественными учёными Л.О.Выготским, Л.В.Занковым,

Д.Б.Элькониным, В.В.Давыдовым. Все системы направлены на интеллектуальное и

нравственное развитие детей.

В последние годы внимание педагогов всё чаще привлекают идеи

развивающего обучения, с которыми связывается возможность принципиальных

изменений в школе. Основная концепция системы развивающего обучения –

обучение через создание учебной задачи.

Учебная задача в контексте учебной деятельности даётся в определении

учебной ситуации, то есть выступает как единица целостного образовательного

процесса.

По содержанию учебная ситуация может быть нейтральной или проблемной.

Оба вида этих ситуаций представлены в обучении, но второе требует больших

усилий учителя, поэтому при всей важности проблематизации обучения

проблемные ситуации встречаются в учебном процессе реже. Создание

проблемной ситуации предлагает наличие проблемы (задачи), то есть

соотношения нового и известного (данного), учебно-познавательной

потребности обучаемого и его способности (возможности) решать эту задачу.

Проблемное обучение основано на получении новых знаний обучающимися

посредством решения теоретических и практических проблем, проблемных задач

в создающихся в силу этого проблемных ситуациях. Проблемная ситуация для

младшего школьника возникает если у него есть познавательная потребность

и интеллектуальные возможности решать задачу при наличии затруднения

противоречия между старым и новым, известным и неизвестным, данным и

искомым, условиями и требованиями. Проблемные ситуации дифференцируются,

по А. М. Матюшкину, по критериям:

1) структуры действий, которые должны быть выполнены при решении

проблемы;

2) уровня развития этих действий у человека (младшего школьника),

решающего проблему и эти трудности проблемной ситуации в зависимости от

интеллектуальных возможностей. Проблемное обучение включает несколько

этапов:

• осознание проблемной ситуации,

• формулировку проблемы на основе анализа ситуации,

• решение проблемы, включающее выдвижение, смену и проверку гипотез,

• проверку решения.

Этот процесс развертывается, но аналогии с прохождением трёх

Фаз мыслительного акта (по С.Л. Рубинштейну), который возникает в

проблемной ситуации и включает осознание проблемы, её решения и конечное

умозаключение. Поэтому проблемное обучение основывается на аналитико-

синтетической деятельности обучающихся, реализуемой в рассуждении,

размышлении. Это исследовательский тип обучения с большим развивающим

потенциалом.

Решение задачи в учебной проблемной ситуации предполагает несколько

этапов.

ПЕРВЫЙ ЭТАП- это понимание задачи, сформулированной в готовом виде учителем

или определяемой самим учеником. Последняя зависит от того, на каком уровне

проблемности находится задача, и от способности ученика её решить.

ВТОРОЙ ЭТАП- «принятие» задачи учеником, он должен решать её для себя, она

должна быть лично значима, а потому и принята к решению.

ТРЕТИЙ ЭТАП - связан с тем, что решение» задачи должно вызывать

эмоциональное переживание «лучше удовлетворения, чем досады»

неудовлетворения собой и желание поставить и решать собственную задачу и

так далее. Здесь существенно отметить роль формулировки задания для

правильного понимания задачи. Проблемное обучение может быть разного уровня

трудности для ученика в зависимости от того, какие и сколько действий по

решению проблемы он осуществляет. А. Крутецкий предложил наглядную схему

уровней трудностей в проблемном обучении в сопоставлении с традиционным

обучением на основании разделения действий учителя и ученика.

1.2. Понятие величины и её измерения в математике.

Длина, площадь, масса, время, объём - величины. Первоначальное

знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с

числом является ведущим понятием.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и

особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть

назвать количество величины, которые выражают одно и тоже свойство

объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.

Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные

величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом

свойств.

1)Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна

меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место

отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо

одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы

прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника;

масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон

прямоугольника равны.

2)Величины одного рода можно складывать, в результате сложения

получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b

однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b.

Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС (рис.1), то длина

отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

. 3)Величину умножают на действительное число, получая в результате

величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного

числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют

произведением величины а на число x. Например, если a - длину

отрезка АВ умножить на

x= 2, то получим длину нового отрезка АС .(Рис.2)

4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через

сумму:

разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например,

если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС

есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение

величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное

действительное число х, что а= х b. Чаще это число - называют

отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например,

отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если Аb m (a)>m (b),

a3.

2/ Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то,

чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b).

Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

З/ Если величины а и b таковы, что b= x а, где x -положительное

действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e,

то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно

число x умножить на число m (а):b=x a m (b)=x m (a).

Например, если масса а в 3 раза больше массы b .т.е. b= За и а = 2 кг, то

b= За=3 (2 кг) = (3 2) кг = 6кг.

Рассмотренные понятия - объект, предмет, явление, процесс, его

величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь

вычленять в текстах и задачах.

Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма

яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой

объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы

использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили

число 3 -численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Длина отрезка и её измерение.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого

отрезка так что:

1/ равные отрезки имеют разные длины;

2/ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина

равна сумме длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков

выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На

отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки

равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились

n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что

значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если

же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то

на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n

раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная

дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e

, то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот

процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а

есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается

действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное

действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой

точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа,

получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

Площадь фигуры и её измерение.

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади

комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо

покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки

одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что

площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении

в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры

устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый

класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других

ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел

вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только

площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура

может быть составлена из других. Например, фигура F, (рис.4), составлена из

фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1,

F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные

фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется

неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, то её площадь

равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением

длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами,

что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве

отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F

обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу

площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со

стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в

качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e .

Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m .

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью

единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x,

что S(F)=x e .Число x называют численным значением площади при выбранной

единице площади.

Так, если единицей площади является см, то площадь фигуры, приведённой

на рисунке 5, равна 5см.

Рассмотрим один из приёмов, опирающихся непосредственно на определение

площади, является измерение площади при помощи палетки- сетки квадратов,

нанесённый на прозрачный материал.

Допустим, на фигуру F . площадь которой надо измерить, наложена сетка

квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить

квадраты двух видов:

1/ квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F.

2/ квадраты, через которые проходит контур фигуры, и которые лежат

частью вне фигуры F.

Пусть квадратов первого вида окажется m, а квадратов второго вида n.

Тогда, очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию.

m ЧИСЛО

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть

даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных

примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе

математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся

в результате сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных

программах Давыдова, Петерсон. Рассмотрим как трактуется понятие величина в

альтернативной программе Л. Г. Петерсон.

Изучение величин в первом классе по программе Л. Г. Петерсон

начинается с изучения отрезка и его частей (урок .№ I, часть 2).На этом

этапе дети учатся правильно измерять отрезки, чертить отрезки заданной

длины, то есть приобретают измерительные умения. На следующем этапе

изучается тема «Длина» (урок № 1 ,часть3). Здесь дети измеряют отрезки с

помощью различных мерок, детям предлагаются некоторые сведения из истории

единиц измерения длины, вводится первая единица измерения длины -

сантиметр. Далее предлагается узнать длину данных отрезков с помощью

линейки и выразить полученный результат в сантиметрах. На следующем этапе

дети приступают к сравнению отрезков (урок №2,часть 3).

Следующая величина, изучаемая в первом классе – масса (урок №4,часть

3). На этом этапе дети выражают массу предметов с помощью различных мерок,

затем знакомятся с единицей измерения массы - килограммом.

Затем изучается объём (урок №б часть 3). Здесь дети знакомятся с

единицей измерения объёма - литром. Далее изучаются свойства величин (урок

№ 8,часть 3). Отрезки сравниваются по длине, предметы по массе и объёму.

Здесь систематизируются знания детей о свойстве величин: «больше», «

меньше», « равно». Так же предлагается задание на различение понятий: объём

и масса (урок № 8, задание 9 «Что легче: килограмм ваты или килограмм

железа ? »).

На следующем этапе учащиеся изучают новую единицу измерения длины -

дециметр (урок № 29 часть 3). Здесь дети узнают соотношение между двумя

изученными единицами длины: сантиметром и дециметром.

Далее дети изучают метр (урок №15 часть 4), соотношение изученных

единиц длины: сантиметр, дециметр, метр. Учатся выражать численные значения

величин в различных единицах измерения, например, вырази в дециметрах: 6м

800см, 9м 400см (урок № 15,часть 4,задание 6). Учатся выражать численные

значения длины, выраженные в единицах одного наименования, значениями,

выраженными в единицах двух наименований, и наоборот. Например, «Вырази в

дециметрах»: 7м 2дм, 5м 9дм, 4м 3дм, 1м 6дм (урок №16 часть 4, задание

1). Или, вырази в метрах и дециметрах: 38дм, 66дм, 79дм, 57дм (урок №16

часть4, задание 2).

Изучение величин во втором классе начинается с изучения площади фигур

(урок №19 часть 1). Наблюдения над площадью фигур проводилось на более

раннем этапе - в первом классе. Например, «Найди равные фигуры» (урок №19

часть2), «В какой из фигур клеток больше? Почему?» (урок № 26, часть 4). На

данном этапе дети измеряют площадь фигуры различными мерками,

сравнивают численные значения площадей фигур, измеренных разными мерками.

На следующем уроке (урок №20) дети знакомятся с единицами измерения

площади: квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр и с

соотношениями между ними. Знакомство с единицами измерения площади

происходит аналогично знакомству с единицами измерения длины. Затем

изучается площадь прямоугольника (урок № 25, часть 1). Здесь дети узнают

формулу нахождения площади прямоугольника.

На следующем этапе изучаются новые единицы измерения длины -миллиметр

и километр (соответственно урок №30 часть2). Здесь дети выясняют для чего

используют такую мелкую (крупную) мерку. Выполняют упражнения на

соотношение единиц длины, переводят мелкие единицы в более крупные и

наоборот. Далее дети изучают новые единицы измерения объёма; кубический

сантиметр и кубический дециметр, узнают их соотношения. Выясняют, что

измерять объём можно у некоторых геометрических фигур, также узнают, что

один кубический дециметр равен одному литру.

Изучение величин в третьем классе начинается с изучения времени (Урок

№1 часть1 ). Здесь изучаются меры времени, даются исторические сведения о

возникновении единиц изменения времени, а также изучается календарь. Здесь

Страницы: 1, 2, 3, 4

МЕНЮ

Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

ИНТЕРЕСНОЕ