Практикум по предмету Математические методы и модели

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Экономика и инвестиции»

Габрин К.Э.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Семестровое задание

и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000

УДК

ББК

Габрин К.Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и

методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ,

2000. – 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их

решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101,

061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. – 13 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией факультета «Экономика и управление».

Рецензент: Никифоров К.В.

Задача 1

Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ

Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x1,

x2 признаков приведены в табл. 1.

По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать

на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного

признака от показателей производственно-хозяйственной деятельности

предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

|1 |y1 |x1,x3 |14 |y3 |x1,x14 |

|2 |y2 |x1,x5 |15 |y2 |x5,x9 |

|3 |y2 |x1,x7 |16 |y3 |x8,x10 |

|4 |y2 |x1,x11 |17 |y3 |x7,x14 |

|5 |y2 |x1,x10 |18 |y3 |x3,x6 |

|6 |y1 |x3,x4 |19 |y3 |x1,x14 |

|7 |y2 |x3,x11 |20 |y1 |x2,x6 |

|8 |y2 |x11,x5 |21 |y1 |x3,x7 |

|9 |y1 |x3,x5 |22 |y2 |x5,x8 |

|10 |y2 |x11,x6 |23 |y2 |x9,x10 |

|11 |y2 |x1,x6 |24 |y3 |x4,x11 |

|12 |y2 |x1,x12 |25 |y3 |x1,x12 |

|13 |y2 |x1,x2 | | | |

Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственно-хозяйственной деятельности предприятий

|Обозначение |Наименование показателя |

|показателя | |

|y1 |Производительность труда, тыс.руб./чел. |

|y2 |Индекс снижения себестоимости продукции |

|y3 |Рентабельность |

|x1 |Трудоемкость единицы продукции |

|x2 |Удельный вес рабочих в составе ППР |

|x3 |Удельный вес покупных изделий |

|x4 |Коэффициент сменности оборудования, смен |

|x5 |Премии и вознаграждения на одного работника ППР, тыс.руб. |

|x6 |Удельный вес потерь от брака,% |

|x7 |Фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб. |

|x8 |Среднегодовая численность ППР, чел. |

|x9 |Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб. |

|x10 |Среднегодовой фонд заработной платы ППР |

|x11 |Фондовооруженность труда, тыс.руб./чел. |

|x12 |Оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн. |

|x13 |Оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн. |

|x14 |Непроизводительные расходы, тыс.руб. |

Таблица 3

Исходные данные для расчета

|№ |y1 |y2 |y3 |x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x7 |x8 |x9 |x10 |x11 |x12 |x13 |x14 |

|1 |9,4 |62 |10,6|0,23 |0,62 |0,4 |1,35 |0,88|0,15 |1,91|7394 |39,53|14257 |5,35 |173,9|11,88|28,13 |

|2 |9,9 |53,1|9,1 |0,43 |0,76 |0,19 |1,39 |0,57|0,34 |1,68|11586 |40,41|22661 |3,9 |162,3|12,6 |17,55 |

|3 |9,1 |56,5|23,4|0,26 |0,71 |0,44 |1,27 |0,7 |0,09 |1,89|7801 |37,02|14903 |4,88 |101,2|8,28 |19,52 |

|4 |5,5 |30,1|9,7 |0,43 |0,74 |0,25 |1,1 |0,84|0,05 |1,02|6371 |41,08|12973 |5,65 |177,8|17,28|18,13 |

|5 |6,6 |18,1|9,1 |0,38 |0,72 |0,02 |1,23 |1,04|0,48 |0,88|4210 |42,39|6920 |8,85 |93,2 |13,32|21,21 |

|6 |4,3 |13,6|5,4 |0,42 |0,68 |0,06 |1,39 |0,66|0,41 |0,62|3557 |37,39|5736 |8,52 |126,7|17,28|22,97 |

|7 |7,4 |89,8|9,9 |0,30 |0,77 |0,15 |1,38 |0,86|0,62 |1,09|14148 |101,7|26705 |7,19 |91,8 |9,72 |16,38 |

|8 |6,6 |76,6|19,1|0,37 |0,77 |0,24 |1,35 |1,27|0,5 |1,32|15118 |81,32|28025 |5,38 |70,6 |8,64 |16,16 |

|9 |5,5 |32,3|6,6 |0,34 |0,72 |0,11 |1,24 |0,68|1,2 |0,68|6462 |59,92|11049 |9,27 |97,2 |9,0 |20,09 |

|10 |9,4 |199 |14,2|0,23 |0,79 |0,47 |1,4 |0,86|0,21 |2,3 |24628 |107,3|45893 |4,36 |80,3 |14,76|15,98 |

|11 |5,7 |90,8|8 |0,41 |0,71 |0,2 |1,28 |0,45|0,66 |1,43|1948 |80,83|36813 |4,16 |128,5|10,44|22,76 |

|12 |5,2 |82,1|17,5|0,41 |0,79 |0,24 |1,33 |0,74|0,74 |1,82|18963 |59,42|33956 |3,13 |94,7 |14,76|15,41 |

|13 |10,0|76,2|17,2|0,22 |0,76 |0,54 |1,22 |1,03|0,32 |2,62|9185 |36,96|17016 |4,02 |85,3 |20,52|19,35 |

|14 |6,7 |37,1|12,9|0,31 |0,79 |0,29 |1,35 |0,96|0,39 |1,24|6391 |37,21|11688 |5,82 |85,3 |7,92 |14,63 |

|15 |9,4 |51,6|13,2|0,24 |0,70 |0,56 |1,2 |0,98|0,28 |2,03|6555 |32,87|12243 |5,01 |116,6|18,72|22,62 |

Методические указания к решению задачи 1

Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной

матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе

оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту

линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне

действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в

модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [-1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между

одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель.

Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется

множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии

одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных,

входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в

регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (n(k), которая

представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются:

вектор средних Xср, вектор среднеквадратических отклонений S и

корреляционная матрица R:

Xср=(x1ср, x2ср,…, xjср,…, xkср);

S=(s1, s2, …, sj, …, sk);

| |1 |r12|… |r1k|

|R= |r21|1 |… |r2k|

| |… |… |… |… |

| |rk1|rk2|… |1 |

где rjl=[((xij-xjср)(xil-xlср)]/(nsjsl), j,l=1,2,…,k;

sj=([((xij - xjср)2]/n)0,5, i=1…n;

xil – значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов

корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка

k-2 между факторами X1 и X2 равен

r12/3,4,…,k=-R12/(R11R22)0,5,

где Rjl – алгебраическое дополнение элемента r12 матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X1

(результативного признака) определяется по формуле

r1/2,3,…,k= r1=((R12(/R11)0,5,

где (R12( – определитель матрицы R.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-

критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

tнабл=(n-l-2)0,5r/(1-r2)0,5,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число

фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H0: (=0

отвергается с вероятностью ошибки (), если (tнабл(>tкр, определяемого по

таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного ( и (=n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата –

коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое

значение, например, для (21/2,…k, находится по формуле

Fнабл= [r21/2,…k/(k-1)]/[(1-r21/2,…k)/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если

Fнабл>Fкр((, k-1, n-k), где Fкр определяется по таблице F-распределения

(Приложение 1) для заданных (, (1=k-1 и (2=n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод

исследования зависимости случайной величины y от переменных xj,

рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона

распределения xj. Предполагается, что y имеет нормальный закон

распределения с условным мат. ожиданием y=((x1,x2,…,xk), являющимся

функцией от аргументов xj, и с постоянной, не зависящей от аргументов

дисперсией (2. Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида

y=(0+(1x1+(2x2+…+(jxj+…+(kxk, линейные относительно неизвестных параметров

(j (j=0,1,…,k) и аргументов xj.

Коэффициент регрессии (j показывает, на какую величину в среднем

изменится результативный признак y, если переменную xj увеличить на единицу

ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=X(+(,

где Y – случайный вектор-столбец размерности [n(1] наблюдаемых значений

результативного признака (y1,y2,…,yn); X – матрица размерности [n( (k+1)]

наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы xij рассматривается как

неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; xоi=1); ( – вектор-столбец

размерности [(k+1)(1] неизвестных коэффициентов регрессии модели; ( –

случайный вектор-столбец размерности [n(1] ошибок наблюдений (остатков).

Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон

распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На

практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b0+b1x1+b2x2+…+bjxj+…+bkxk.

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов

регрессии определяется по формуле

b=(XTX)-1XTY,

где

| |1 |x11|… |x1k| |y1 | |b0 |

| |. |. | |. | |. | |. |

|X= |1 |xi1|… |xik|Y= |yi |b= |bj |

| |. |. | |. | |. | |. |

| |1 |xn1|… |xnk| |yn | |bk |

XT – транспонированная матрица X; (XTX)–1 – матрица, обратная к матрице

XTX.

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b

определяется из выражения

S*(b)=S*2(XTX)–1,

где S*2=(Y-Xb)T(Y-Xb)/(n-k-1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся

дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*2b(j–1)= S*2[(XTX)–1]jj для j=1,2,…,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H0: (=0 ((0=(1=…=(k=0),

проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по

формуле

Fнабл=(QR/(k+1))/(Qост/(n-k-1)),

где QR=(Xb)T(Xb), Qост=(Y-Xb)T(Y-Xb).

По таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных (, (1=k+1,

(2=n-k-1 находят Fкр.

Гипотеза H0 отклоняется с вероятностью (, если Fнабл>Fкр. Из этого

следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из

коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е.

гипотез H0: (j=0, где j=1,2,…,k, используют t-критерий и вычисляют

tнабл(bj)=bj/S*bj. По таблице t-распределения (Приложение 1) для заданных

(, (=n-k-1 находят tкр.

Гипотеза H0 отвергается с вероятностью ошибки (, если (tнабл (>tкр.

Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии (j значим, т.е.

(j ( 0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая

переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм

пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из

незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной

величине значение tнабл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с

числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением

уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Для решения задачи требуется:

1. Найти оценку уравнения регрессии вида y=b0+b1x1+b2x2.

2. Проверить значимость уравнения регрессии при (=0,05 или (=0,01.

3. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить

адекватность полученной модели по величине абсолютных ei и относительных

(i отклонений.

5. При необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа,

отбросив один из незначительных коэффициентов регрессии.

6. Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

7. Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

8. Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

9. Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.

Пример решения задачи 1

По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести

анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема

валовой продукции x1 (млн. р.) и производительности труда x2 (тыс. р. на

чел.).

Таблица 4

Исходная информация для анализа и результаты расчета

| |Исходная |Результаты расчета |

| |информация | |

|№ |xi1 |xi2 |yi |y*i |(y*i)2 |ei=yi-y*i|(ei)2 |(i= ei / |

| | | | | | | | |y*i |

|1 |3 |1,8 |2,1 |2,31572 |5,36255 |-0,21572 |0,04653 |-0,09315 |

|2 |4 |1,5 |2,8 |3,48755 |12,16300 |-0,68755 |0,47273 |-0,19714 |

|3 |5 |1,4 |3,2 |4,35777 |18,99015 |-1,15777 |1,34043 |-0,26568 |

|4 |5 |1,3 |4,5 |4,50907 |20,33171 |-0,00907 |0,00008 |-0,00201 |

|5 |5 |1,3 |4,8 |4,50907 |20,33171 |0,29093 |0,08464 |0,064521 |

|6 |5 |1,5 |4,9 |4,20647 |17,69439 |0,69353 |0,48098 |0,164872 |

|7 |6 |1,6 |5,5 |4,77408 |22,79184 |0,72592 |0,52696 |0,152054 |

Окончание табл. 4

| |Исходная |Результаты расчета |

| |информация | |

|№ |xi1 |xi2 |yi |y*i |(y*i)2 |ei=yi-y*i|(ei)2 |(i= ei / |

| | | | | | | | |y*i |

|8 |7 |1,2 |6,5 |6,09821 |37,18816 |0,40179 |0,16144 |0,065887 |

|9 |15 |1,3 |12,1 |11,6982 |136,84905 |0,40175 |0,16140 |0,034343 |

|10 |20 |1,2 |15,0 |15,4441 |238,52177 |-0,44415 |0,19727 |-0,02876 |

| |Сред. знач. |(= |530,22437 |(= |3,47247 | |

| |7,5 |1,41 |6,14 | | | | | |

|y*i – значения, вычисленные по уравнению регрессии |

|ei – абсолютные ошибки аппроксимации |

|(i – относительные ошибки аппроксимации |

Решение

1. Определение вектора b оценок коэффициентов

уравнения регрессии

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b0+b1x1+b2x2

производится по уравнению b=(XTX)–1XTY:

| |n |(xi1 |(xi2 | |10 |75 |14,1 |

|XTX = |(xi1|(x2i1 |(xi1xi|= |75 |835 |100,4 |

| | | |2 | | | | |

| |(xi2|(xi1xi|(x2i2 | |14,1 |100,4 |20,21 |

| | |2 | | | | | |

| |(yi | |61,4 | |b0 | |2,88142 |

|XTY = |(xi1yi|= |664,5 |b = |b1 |= |0,71892 |

| |(xi2yi| |82,23 | |b2 | |-1,51303 |

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид

y*=2,88142+0,71892x1-1,51303x2.

2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x1-1,51303x2.

а) QR=(Xb)T(Xb)=(y*i =530,224365;

б) Qост=(Y-Xb)T(Y-Xb)= (e2i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*2= Qост/(n-3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне (=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е.

гипотезу H0: (=0 ((0=(1=(2=0). Для этого вычисляем

Fнабл=(QR/(k+1))/(Qост/(n-k-1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 /

7))=356,32776.

Далее по таблице F-распределения для (=0,05, (1=k+1=3, (2=n-k-1=7

находим Fкр=4,35. Так как Fнабл>Fкр (356,32776>4,35), то гипотеза H0

отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.

3. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии

а) Найдем оценку ковариационной матрицы вектора b:

| |5,52259 |-0,08136 |-3,44878 |

|S*(b)=S*2(XTX)–1=0,496066(XTX)–1= |-0,08136 |0,00267 |0,04348 |

| |-3,44878 |0,04348 |2,21466 |

Так как на главной диагонали ковариационной матрицы находятся

дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, то получим следующие

несмещенные оценки этих дисперсий:

S*2b0=5,52259; S*2b1=0,00267; S*2b0=2,21466;

S*b0=2,35002; S*b1=0,05171; S*b2=1,48818.

Найдем оценку корреляционной матрицы вектора b. Элементы этой матрицы

определяются по формуле:

rj-1l-1=cov*(bj-1,bl-1)/(S*bj-1S*bl-1),

где cov*(bj-1,bl-1) – элементы матрицы S*(b), стоящие на пересечении j-той

строки и l -того столбца ( j,l =1,2,3).

Корреляционная матрица вектора b имеет вид:

| |1 |-0,66955 |-0,98614 |

|R*(b)= |-0,66955 |1 |0,56504 |

| |-0,98614 |0,56504 |1 |

Далее, для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е.

гипотез H0: (m=0 (m=1,2), по таблицам t-распределения для (=0,05, (=7

находим tкр=2,365. Вычисляем tнабл для каждого из коэффициентов регрессии

по формуле tнабл(bj)=bj/S*bj:

tнабл(b1)=b1/S*b1=0,71892/0,05171=13,903

tнабл(b2)=b2/S*b2=1,51303/1,48818=1,01667.

Так как tнабл(b1) > tкр (13,903 > 2,365), tнабл(b2) < tкр (1,01667<

2,365), то коэффициент регрессии (1(0, а коэффициент регрессии (2=0.

Следовательно переходим к алгоритму пошагового регрессионного анализа.

4. Пошаговый регрессионный анализ

Будем рассматривать оценку нового уравнения регрессии вида

y*=b’0+b’1x1. Вектор оценок b’ определим по формуле b=(XT(X()–1XT(Y, где

| |n |(xi1 | |10 |75 |

|XT(X( =|(xi1|(x2i1|= |75 |835 |

| |(yi | |61,4 | |b’0| |0,52534 |

|XT(Y( =|(xiyi |= |664,5 |b( = |b’1|= |0,74861 |

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид:

y*=0,52534+0,74861x1.

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Практикум по предмету Математические методы и модели

Практикум по предмету Математические методы и модели

ИНТЕРЕСНОЕ