Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Гимназия №1 города Полярные Зори

Алгебра, геометрия, физика.

Научная работа

ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”.

Руководители:

Полуэктова Наталья Павловна,

преподаватель алгебры, геометрии

Конкин Александр Николаевич,

преподаватель физики, астрономии

Автор:

Бирюков Павел Вячеславович.

Полярные Зори

Январь-май 2001 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Производная функция: ……………………………………………………………….3

1. Производная функция …………………………………………………………...3

2. Касательная к кривой ……………………………………………………………5

3. Геометрический смысл производной …………………………………………..6

4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7

Производные от элементарных функций: …………………………………………8

1. Производная постоянной ………………………………………………………...8

2. Таблица элементарных производных …………………………………………...8

3. Правила дифференцирования …………………………………………………...8

Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9

1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9

2. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11

3. Максимум и минимум функции ……………………………………………….12

4. Признаки существования экстремума …………………………………………12

5. Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14

6. Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14

7. Направление вогнутости кривой ………………………………………………16

8. Точки перегиба ………………………………………………………………….17

9. Механическое значение второй производной ………………………………...18

Дифференциал: ………………………………………………………………………19

1. Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19

2. Дифференциал функции ………………………………………………………..19

3. Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21

4. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22

Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ……….23

Список литературы …………………………………………………………………..34

Рецензия на работу ………………………………………………………………….35

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина

у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют

всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического

смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как

математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два

числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения

считаем неизменным, ?x — его приращением. Приращение ?x; аргумента

обусловливает приращение ?у функции, причем:

?y=f(x+?x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента:

?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x.

(II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость

изменения у относительно х на отрезке

[x, x+?x].

Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к

нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых,

вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет

вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения

?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

(III)

С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения

функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого

аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в

точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел

отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда

приращение аргумента стремится к нулю.

2°. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное

значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть

новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной

функции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть

линейная функция Q' = b + 2at.

3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится

штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2)

перед обозначением

данной функции ставится символ d/dx.

Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть

обозначена:

1) у', читать: «производная функции у»,

или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».

Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может

быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,

или же

2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4°. Нахождение производной от данной функции называется

дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:

1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при

значениях аргумента x + ?x и x;

2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить

на ?x;

3) найти предел отношения ?y/?x при ?x >0.

Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ?y = (x + ?x)3 + 1 — (х3 + 1).

По выполнении действий:

?y = Зx2*?x+Зx*?x 2+?x 3;

2) ?y/?x=3x2 + Зx*?x+?x 2;

3) dy/dx = lim(3x2+3x*?x+?x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.

?x>0

5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина

постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

?у = k*?x;

?y/?x=k;

6°. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры

производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от

времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от

пути s по времени t, т. е.

v=ds/dt;

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт)

вoкруг оси Ох, угол поворота его ? есть функция времени t:

?=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от

угла поворота по времени, т. е.

?=d?/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры

Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества

теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные

опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению

температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение

?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t,

t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры

t есть производная от длины l по температуре t,

?=dl/dt

Касательная к кривой

1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ,

не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С

так, что угол ? между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ

называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.

2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно

приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг

точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М

приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'),

существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется

касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или касания.

3°. Следствие. Угол ? (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть

предел угла ?, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная

касательная служит предельным положением.

Действительно, угол ? между касательной СТ и секущей СМ равен разности ?

— ?:

? — ? = ?.

По определению касательной, угол ? — бесконечно малая величина, а поэтому

? — lim?. (I)

4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная,

непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению

производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной:

tg? = tg(lim?),

так как, по предыдущему, ? = lim?.

Исключая случай ? = ?/2,

в силу непрерывности тангенса имеем: tg(lim?) = lim tg?.

Поэтому tg? = lim tg?.

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tg?=(f(x+?x) -f (x))/?x

Переходя к пределу при ?x>0 (точка М при ?x> 0 неограниченно приближается

к С, а угол ?>?), имеем:

Следовательно, (IV)

Геометрический смысл производной

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл

производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке

х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения

?y/?x. Но отношение ?у/?x есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

?y/?x=tgx (1)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

?=arctg(?y/?x).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х).

Поэтому

Полагая arctg f '(x)=?, получаем:

Следовательно, существует предел ?. Значит, существует прямая, проходящая

через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая

есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой

коэффициент tg? = f '(x).

2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном

прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется

угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в

этой точке, т. е. tg? = f '(х1).

2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а)

острый угол ?, то производная f '(x)>0, так как tg? >0 (черт.); б) тупой

угол ?, то производная f '(х1)0 |

|log a x |1/(x lna), a>0, a(0 |

|arcsinx | |

| |___________ |

| |1/(1-x2 |

|arccosx | |

| |____________ |

| |-1/(1-x2 |

|arctg x |1/(1+x2) |

|arcctg x |-1/(1+x2) |

Правила дифференцирования

Пусть c – постоянная, f(x) и g(x) – дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))’ = c * (f(x))’;

(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);

(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);

(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и

дифференцируема в каждой точке отрезка a ? x ? b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка

производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное,

что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка

ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек

отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек

х (а ? х ? b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его

последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой

прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении

касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе

не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а

значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a - 4/3.

Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак

произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на

оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) — ? 0 х3 > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный

участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и

ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х2

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x >

0, а 00, и функция возрастает, когда x15.

|Если ширина х|0 | 5 |10 | | | | |

|= | | | |15 |20 |25 |30 |

|то площадь y |0 | |400| | | | 0|

|= | |250| |450|400|250| |

| | | | | | | | |

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем

начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м,

а длина 60 — 2x = 60 -- 30=30 (м)

2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36

x2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а

периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных

значений x:

00.

Периметр убывает в промежутке 0? |

|= |>0 |3 |4 |5 |6 |7 |8 | |

|То у =| >?| | | | | | |>? |

| | |30 |26 |24,|24 |24,|25 | |

| | | | |4 | |3 | | |

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение

(минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он

квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное

значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию

максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при

х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой

окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше,

чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки

х=с.

Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин

"экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции,

называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х2 (черт.

111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или

иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт.

108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113),

причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не

иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y =

ax не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ?

до +? первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим)

значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с.

значение, большее максимумов с1М1 и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее

минимума c2m1, и c4m2, минимум c4m2 больше максимума с1М1. Максимум

(минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее)

значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и

справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

Признаки существования экстремума

1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2? точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума

функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт.

111). Представим значения независимого переменного х левой

полуокрестности точки с в виде с — ?x:, а правой в виде с+ ?x, где 0< ?x

< ?. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности

оно равно f(с — ?x), а в правой f(c + ?x). Значения f(x) в окрестности 2?

точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений ?x, причем

значение х = с -/+ ?x неограниченно приближается к числу с, если ?x

стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f(c- ?x)0 (1); (f(с

+ ?x)—f(с)/(+?x)) 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с

определенную произвольную:

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна

нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не может быть

положительной. Следовательно,

f‘(c) = 0,

что и требовалось доказать.

2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2? точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с положительна, а справа

отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с)

есть общий предел для f(c — ?x) и f(c+?x) при ?x > 0 (как и в предыдущей

теореме, здесь и в последующем 0 < ?x< ?):

Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так

как ее производная слева от точки с положительна, а в правой

полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с

отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f(c —?x) и f(c+?x)

возрастают при стремлении ?x к нулю (по определению убывающей функции,

меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при

x1>x2 f(x1)0, т. е.

Предположим, что при стремлении ?x к нулю приращения ?y и ?x имеют разные

знаки. Тогда отношение ?y/?x отрицательно и его предел

f '(c) ? 0,

что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f

'(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с

функция f(x) имеет минимум;

если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с

функция f(x) имеет максимум.

Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной

является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т.

е.

Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая)

положительна, то в достаточно малой окрестности 2? точки с приращение

функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и

приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно,

значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

f '(c — ?x)—f(c)0.

Отсюда:

f '(c + ?x)>f '(c) = 0.

(2)

Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна

(1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет

минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема и в случае f "(с) 0 у' = 4x3

> 0. Следовательно, функция у = х4 имеет минимум в точке x = 0.

5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том

Страницы: 1, 2