Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же

дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает

выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к

цели.

Направление вогнутости кривой

Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом

ордината точки M1 более (менее) ординаты точки M2, то говорят, что точка

M1 лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке а ?(x) [или f(x)< ?(x)].

Определение. В промежутке а < х < b кривая— график дифференцируемой

функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше

(ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а <

х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.

2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f

'(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая

y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)

произвольно ряд точек и проведем через каждую из них

прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием

абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к

некоторой кривой линии [tg? = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы

видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных

касательных.

3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а1. Отношение ?/?=(1- x2)/(1-

x) = 1+x.

Значит, 1—х и 1—x2 —бесконечно малые одинакового порядка малости при х>1.

3. Сравним 1 —cosx с х при x> 0.

т. е. 1—cos x при х > 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости,

чем х.

Дифференциал функции

1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется

произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ?x

аргумента х, т. е.

(I)

2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два

числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ?x.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения

аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy=f '(х)* ?х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и

?x.

f '(x) = (x2)' =2x.

Поэтому

dy=2x*?x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ?x = 3,1 — 3 = 0,1.

Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x)

есть линейная функция приращения независимого переменного ?х.

3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в

точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ?MPT следует,

что

PT = MP*tg? = ?x*f '(x).

Но по определению f '(х) *?x = dy, поэтому PT = dy.

Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается

приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.

4°. Дифференциал dy и приращение ?у вообще не равны между собой. На черт.

dy = PT менее ?y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ?y. Это будет, например, если

поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.

5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ?y =

2x*?x + + ?x2 = 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *?x = 2*3 *

0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ?у, имеем: абсолютная

погрешность приближения равна разности ?у—dy=0,01, а относительная

погрешность приближения есть отношение:

(?y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ?у—dy, высшего

порядка малости, чем приращение аргумента, ?x.

Действительно, отношение ?y/?x отличается от своего предела f '(x) на

бесконечно малую ?, причем ? > 0 при стремлении ?x к нулю,

?y/?x — f '(x)= ?.

Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(?y-f '(x)*?x)/?x = ?, или (?у - dy) ?x= ?,

7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное

значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю

вместе с приращением аргумента.

8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает

двумя свойствами:

1) dy пропорционален ?x (dy = k?x, где k=y');

2) отношение (?y—dy)/?x стремится к нулю при стремлении ?x к нулю.

Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:

1) z=k?x и 2) то z есть дифференциал функции у.

Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е. k = y',

а следовательно,

z = k?x = y’?x,

т. е. z есть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов

1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его

приращение, ?x:

dx =

?х (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал

функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ?x, или dy = ?x.

Но так как

dy = dx, то dx = ?x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

2°. Внеся в формулу (I) значение ?x=dx, получаем:

(III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на

дифференциал аргумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy =

f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой

переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от

u приращение dx обусловлено приращением ?u, и dy надо вычислять по

формуле;

dy = f 'u (x)* ?u.

Но

f 'u (x)= f’x (x)* x’u

Значит,

dy = f’(x)—x'u * ?u.

Но так как, по определению,

x'u ?u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

_____________________

у = ? (e2x—1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у':

________ ________

y’ = e2x*2/( 2? (e2x—1)) = e2x/ ? (e2x—1).

Значит

_______

dy = e2x*dx/ ? (e2x—1)

5°. Из формулы (III) следует;

f’(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к

дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tg?=f '(x)

для произвольного значения dx = MP.

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям

1°. Разность ?y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ?x,

поэтому при достаточно малом ?x

(IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения

х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать

пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом

пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x)

при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как ?у = f(х + ?x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV) ?у его

выражением, имеем: f(x+?x) - f(x) ? f '(x)* ?x

(V)

В математике производную применяют для:

1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.

2. Нахождения касательной к графику.

3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.

4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.

5. Для доказательства неравенств.

Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и

физике.

Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.

Ясно, что f ’(x)=g(x).

f(x) — сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,

g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-

1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.

Подставлю x = 1/3.

Ответ: 0,25(9—205*3-99)

Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.

Ясно, что f ’(x)=g(x).

f(x) — сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,

g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-

1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.

Подставлю x = 3.

Ответ: ? 2,078176333426855507665737416578*1050.

Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки

пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из

точки M(4;3).

Решение.

т. A = укас1?OX Решение:

т. B = укас2?OX укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0);

y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;

M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то

SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3

18 = 9—x02—2x0(4—x0);

x02—8 x0—9 = 0;

Д/4 = 16 + 9;

x0 = 4+5 = 9;

x0 = 4—5 = -1

укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15;

укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;

A(5;0); B(-5;0);

AM = ?10 (ед.);

AB = 10 (ед.);

BM = 3?10 (ед.);

p — полупериметр; __

p = (4?10 + 10)/2 = 2?10 + 5;

__ __ __ __

__ __

S = ?(2?10 + 5) (2?10 + 5—?10) (2?10 + 5—3?10) (2?10 + 5—10) =

= ?(2?10 + 5)(?10 + 5)(5—3?10)(2?10—5) =

= ?(40—25)(25—10) = 15 (ед2);

Ответ: 15 (ед2).

Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если

его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|—x)/2, а прямая AB

проходит через точку M(0;1).

Решение:

-x, x0

A(a;-a); B(b;0);_

AO = |a|?2 = -a?2 (т.к. a1(т.к. при b1, то найду ее

производную:

S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2)

= b(b—2)/(2(b—1)2);

S’ = 0;

точки экстремума:

b=0;

b=1;

b=2;

но b>1, значит

Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);

Ответ: 2 ед2.

Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24,

AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 ,

вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может

иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка

P ребро DC в этом случае?

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО ( АA1C1С -

линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1

в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости,

а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что

SK/2— высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.

В ?ASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ?PSC также средняя линия

МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью

ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ?CLP подобен ?DAP,

LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________

Из ?CLP: KC = (6x*x/(24—x))/(?(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(?(36+ (24—x)2);

________ ___________________

__________________

Из ?SCK: SK = ?SC2+ KC2 = ?64+36x2/(36+(24—x)2) = 2?16+9x2/(36+(24—x)2)

;

Из ?ADP: AP = ?36+(24—x)2;_____ _________________

__________________

Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(?36+(24—x)2) 2?16+9x2/(36+(24—x)2) =

?16(36+(24—x)2)+9x2;

Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;

50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

Sсеч = 312;

DP = 24—16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.

Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину

ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды

плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была

наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.

Решение. HF=FC=1/2;

S?BME = BM*EK*1/2;___ _

Из ?TCH => TH = ?4—1=?3;

EF = TH/2=?3/2;

Пусть MC = x.

Из ?BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;

MB = ?x2—2x+4; _ _

S?BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2?3 /2 = x?3/2;

S?BMC = 0,5*BM*PC, _ ________

PC = (2S?BMC)/BM, PC = x?3/?x2—2x+4 ;

?KMF подобен ?PMC(по двум углам):

KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________

KF = x?3(x—1/2)/(x?x2—2x+4) = ?3(x—1/2)/(?x2—2x+4);

________ ______________________

Из ?KEF => KE = ? KF2+EF2 = ?3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4;

S?BME = 0,5?x2—2x+4 *?3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 =

0,5?3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4;

Если S’(x) = 0, то

6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;

15x—9 = 0;

x = 3/5; __

S(3/5) = ?15/5 кв.ед.

Ответ: ?15/5 кв.ед.

Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у

которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую

наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на

апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не пересекающая

апофему?

Решение. TP = 2R, (ATO = 60o.

Пусть AB = BC = CA = a(рис.)

Тогда AO = a?3/3,

AD = BK = a?3/2, _ _

TO = AO*ctg60o= a?3/3*1/?3 = a/3,

OD = a?3 /6,

AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),

a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.

S?MBK = BK*LM*1/2, BK = const,

S?MBK = f(LM),__

LM = ?MN2+NL2

Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _

cos ( NMD = TO/TD = a/(3?a2/9+a2/12 = 2/?7, MN = 2x/?7 .

Из ?ONL: LN = ON cos30o ((ONL = 30o);

ON = OD – ND, _ _ _ _ _

ND = x sin (NMD = x ?3/?7, ON = a?3/6 - x?3/?7,

LN = (a?3/6 - x?3/7)?3/2 = (a/4 – 3x/(2?7)),

LM = ?4x2/7+(a/4 – 3x/(2?7))2. _ _

Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2?7))(-3/2?7) = 0,

8x/7 – 3a/4?7 + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4?7,

x = 21a/50?7. __ __

MN = (21a/50?7)*(2/?7) = 3a/25,

LN = a/4 – (3/2?7)*(21a/50?7) = 4a/25,

LM = ?a2/625 + 9a2/625 = a?10/25. _

S?MBK = a?3/2*a/5*1/2 = a?3/20 = 9?3 R2/80.

Ответ: 9?3 R2/80.

Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида,

высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью

пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из

оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой

грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой

должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот

объем.

Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу

радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN – правильная четырехугольная призма.

Найти. Vпр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.

?SKO1 подобен ?SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.

Из ?AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,

R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,

8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO1 = R и SO1 = R; _

SD = ?R2 + R2/4 = R?5/2, _

OK1 = 2*R*R/(2R?5) = R?5/5;

O1K = R?5/5.

Из ?O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,

NF = ?R2 – R2/5 – 2x(?5)2/5 – x2 ,

Sосн = 2NF2. _

Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x?5 R/5 - x2)*x;

Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2?5 R/5 - x3);

V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x?5 R/5 - 3x2) = 0; _

x 1,2 = (2R?5/5 + ?4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R?5/5 + 4R/?5)/(-3);

x = 2?5 R/15 _ _

Vпр.max = 2(4R2*2?5R/(5*15) – 2?5R*4R2/(45*5) - _ 40?5R3/(225*15)) =

16R3?5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16?5R3/135.

Ответ: 16?5R3/135 м3 при H = 2?5R/15.

Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в

плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит

боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена

так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания

цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности

конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно

отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра

объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота

конуса – H и радиус основания – R.

Дано. ASO – конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы Vпр = max

Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.

?CSD подобен ?ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H – x - h)/H;

CD = R(H – x -h)/H.

?BSE подобен ?ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H

Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H -

x)2/H2,

CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.

V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;

V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,

(H – x) – 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.

Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших

или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится

другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b —

положительные постоянные, r — расстояние между частицами.

Найти:

а) значение r0 соответствующее равновесному положению

частицы;

б) выяснить устойчиво ли это положение;

в) Fmax значение силы притяжения;

г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и

F(r).

U = a/r2 – b/r; Решение:

a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному

r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr

= - (-2a/r3+b/r2) = 0;

при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй

производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3) mgH1 = mgH2 + J2R?t => mg(H1 - H2) = (B0S??/R)2R?t =>

mg(H1 - H2) = (B0S??)2?t/R

(*)

Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном

движении, поэтому H1 - H2 = ??t, и уравнение (*) примет вид:

mg??t = (B0S??)2?t/R => mg = (B0S?)2?/R =>

? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.

Ответ: ? = mgR/(B0S?)2 = 16mgR/(B0?d2?)2.

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из

k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и

внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп,

соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно

соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена

максимальная J во внешнем R(см. рис.).

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;

а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,

По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)

Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую

функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к

нулю.

J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;

n2 = kr/R; .

n = ?kr/R = ?3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием

постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок.

Скорость погрузки постоянна и равна ( кг/с. Пренебрегая трением, найти

зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки.

Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на

платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с

постоянной скоростью ( кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона

Ньютона:

dP/dt = F(

P – импульс системы платформа-песок, F( – сила, действующая на систему

платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток

времени (t:

(p = (M+((t+(t))(u+(u) – (M+(t)u =F(t

где u – скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

(p = (u(t + M(u+((ut+ ((u(t =F(t

Разделим на (t и перейдем к пределу (t (0

Mdu/dt+(tdu/dt+(u=F

или

d[(M+(t)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы

равной нулю:

(M+(t)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+(t)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+(t)-Ft()/(M+(t)2 = FM / (M+(t)2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

(p = (M-((t+(t))(u+(u) +((tu – (M-(t)u = F(t

Слагаемое ((tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из

платформы за время (t

Тогда:

(p = M(u - (t(u - ((t(u = F(t

Разделим на (t и перейдем к пределу (t (0

(M-(t)du/dt = F

или

a1=du/dt= F/(M-(t)

Ответ: a = FM / (M+(t)2 , a1= F/(M-(t)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.:

Просвещение, 1964.

2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.

3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный

центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.

4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач.

Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.

5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.:

Просвещение, 1995.

6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”.

М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.:

Союз, 1997.

8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три

подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр

“Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.:

Педагогическа-Пресс, 1999.

10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2.

Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.

РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ

-----------------------

lim((f(x+?x)-f(x))/ ?x)=f’(x)

?x>0

dy/dx=lim(?y/?x)=lim k=k.

?x>0 ?x>0

tg?=f '(x)

lim tg ? =lim((f(x+?x)-f(x))/?x)=f '(x).

?x>0 ?x>0

f(x+ ?x)

f(x)

M’

lim tg? = tg(lim?)

? x>0 ? x>0

lim ? = lim arctg(?y/?x)=arctg(lim(?y/?x)).

? x>0 ? x>0 ? x>0

lim(?y/?x)

? x>0

lim ? = arctg f’(x).

? x>0

lim ? = ?.

? x>0

lim ? = ?.

? x>0

?/2

lim ?y = 0

? x>0

M’

lim (?x/?y)=0, т. е.

?x>0

c’=0

?y>0

?y0 + ?x>0

lim f(c - ?x) = f(c) и lim f(c + ?x) = f(c).

- ?x>0 + ?x>0

f(c-?x)

-?x

+?x

f(c)

f(c+?x)

lim (?y/?x)>0.

?x>0

f ’’(c) = lim ((f’(c + ?x)-f ’(c))/?x)>0.

?x>0

lim (?/?) = lim (1+x) =2.

х>1

lim((1-cosx)/x) = lim((2sin2(x/2))/x) = lim((sin(x/2))*sin(x/2)/(x/2))=

x>0 x>0 x/2>0

=lim((sin(x/2))/(x/2))*lim(sin(x/2)) = 1*0 = 0

x/2>0 x/2>0

dy=f '(x)*?x

lim((?y-dy)/ ?x) = lim ? = 0.

?x > 0 ?x > 0

lim((?y—z)/ ?x) = 0

?x>0

lim((?y-k*?x)/ ?x) = lim(?y/?x—k) = lim(?y/?x)—limk = y’—k=0,

?x > 0

?x > 0 ?x > 0

dy = f ’(x)*dx,

?y ? dy =f '(х)?x

f(x+?x) ? f(x) + f '(x)* ?x

24-x

H/6

a/b

2a/b

3a/b

2a/b

a/b

mr/n

(

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

ИНТЕРЕСНОЕ