реферат, рефераты скачать
 

Число как основное понятие математики


Число как основное понятие математики

Приазовский государственный технический университет

Мариупольский городской технический лицей

секция: Математика

тема: «Число как основное понятие математики»

ВЫПОЛНИЛ: ученик 112 группы

Анищенко Евгений Александрович

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Ткаченко Светлана Гавриловна

Мариуполь, 2002 г.

СОДЕРЖАНИЕ

СТР.

Введение………………………………………………………….. 3

1. Натуральные числа………………………………………………… 4

1.1. Функции натуральных чисел………………………………. … 6

2. Рациональные числа…………………………………………….. … 6

1. Дробные числа……………………………………………. … 6

2.1.1. О происхождении дробей……………………………. 6

2.1.2. Дроби в Древнем Риме……………………………….. 7

2.1.3. Дроби в Древнем Египте…………………………….. 7

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби………….. .. 8

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции……………. .. 9

2.1.6. Нумерация и дроби на Руси………………………… 10

2.1.7. Дроби в других государствах древности………….. 11

2.1.8. Десятичные дроби…………………………………… 12

2.1.8.1. Проценты……………………………………. 13

2.2. Отрицательные

числа...............................................................

14

2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии……………… 14

2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе.. 15

3. Действительные числа……………………………………………… 16

1. Иррациональные числа……………………………………… 16

2. Алгебраические и трансцендентные числа………………… 18

4. Комплексные числа………………………………………………… 18

1. Мнимые числа……………………………………………….. 18

2. Геометрическое истолкование комплексных чисел……… 20

5. Векторные числа…………………………………………………… 21

6. Матричные числа………………………………………………….. 21

7. Трансфинитные числа…………………………………………….. 22

8. Функции = функциональные числа?…………………………….. 23

8.1. Функциональная зависимость……………………………….. 23

8.2. Развитие функциональных чисел…………………………. .. 24

Заключение………………………………………………………… 26

Литература. ………………………………………………………… 27

|[pic] |«Послушайте, что смертным сделал я… |

| |Число им подарил |

| |И буквы научил соединять… |

| |Эсхил, «Закованный Прометей» |

| |Эсхил, «Закованный Прометей» |

| |«Если бы ни число и его природа, |

| |ничто |

| |существующее нельзя было бы постичь |

| |им |

| |само по себе, ни в его отношениях к |

| |другим |

| |вещам. Мощь чисел проявляется во |

| |всех |

| |деяниях и помыслах людей, во всех |

| |ремес- лах и в музыке» |

| |Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э. |

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа

развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и

теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать

разные величины и пользоваться числами

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»,

которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса

Книдского (около 408 – около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в

соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число

есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский

математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть

множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский –

родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что

«число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик,

механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подра-

зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-

нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число

бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то,

что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное –

число, не соизмеримое с единицей».

Наш мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в

определение понятия числа: «Числа – это математические модели реального

мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную

классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то,

что во всем мире обычно именуют функциями. Более подробно об этом изложено

в главе 9.

1. Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский

государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории

музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы

говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании

последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-

просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века,

при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству,

примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно

входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного

мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные

количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии

«много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось

учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа:

«три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в

сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые

надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать

каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до

нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались

громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало

играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел

40 фунтов, бочка-сороковка – сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто

фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним

большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в

высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с

тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60:

300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной

системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении

времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних

греков – мириада), равное 10 000, а запределом – «тьма тьмущая», равное 100

миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так

называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма»

равнялась 106, «легион» – 1012, «леодр» – 1024, «ворон» – 1048, «колода» –

1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в

«исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и

Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ?.

1.1. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

o характеристика количества предметов;

o характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа

(первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел.

Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных

чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими

обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные,

вещи…

2. Рациональные числа

2.1. Дробные числа

2.1.1. О происхождении дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления

и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С

появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1/n,

которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на

счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на

измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина,

объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому,

что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более

мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали

индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой

единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то

определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей

начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и

абстрактные дроби.

2.1.2. Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые

заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили

свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей

измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать

частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть

1/12, 2/12, 3/12…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых

знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна

унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре

унции – третью, шесть унций – половиной.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

2.1.3. Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина.

За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т.д., то есть самые

простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У

них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую

очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей.

Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали

входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у

которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того,

чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади

и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4

000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели

решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и

военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате

измерения получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось

в виде суммы единичных дробей Ѕ + ј .

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов

южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных

математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до

н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их

двух значков: вертикального клина ?, обозначавшего единицу, и условного

знака ?, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые

встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не

только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной

шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен

знак (( , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян

связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая

единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных

частей:

* 1 талант = 60 мин;

* 1 мина = 60 шекель.

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они

пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число

60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении

шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы

вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной

науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа

на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин.,

минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии.

Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до

XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби

общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

2.1.5. Нумерация и дроби в Древней Греции

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел –

отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби

можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим

понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область

натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел

в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали

всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации:

аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по

древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе,

названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми

буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или

центе) – пять, ?ЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике

до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше

заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по

всей Греции.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие

обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху

знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и

т.д.

2.1.6. Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-

славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались

десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над

буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения

тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями,

позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие

названия дробей на Руси:

|1/2 - половина, полтина |1/3 – треть |

|1/4 – четь |1/6 – полтреть |

|1/8 - полчеть |1/12 –полполтреть |

|1/16 - полполчеть |1/24 – полполполтреть (малая треть) |

|1/32 – полполполчеть (малая четь) |1/5 – пятина |

|1/7 - седьмина |1/10 - десятина |

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в

страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система

счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

2.1.7. Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения

дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую

систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные

с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у

нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над

другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного

числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан

Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя

на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для

этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

[pic]

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам

теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые

встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был

одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть

в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот,

кто не знает дробей, не знает и арифметики.

2.1.8. Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и

удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших

единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию

нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции.

Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:

* основой общей системы мер должна быть единица длины;

* меры длины, площади, объема, вместимости и веса должны быть связаны

между собой;

* основную меру длины следовало выбрать так, чтобы она была постоянной

«для всех времен и всех народов»;

* основанием системы мер необходимо было взять число, равное основанию

системы счисления.

Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть

четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова

«метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных

французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии

платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот

почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира,

оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными

дробями.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к

необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было

тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там

существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы

и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей,

однако метрологическую форму.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1

Страницы: 1, 2


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.