Число как основное понятие математики

лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических,

конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер,

то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных

десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом

«дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века

десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или

иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в

трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-

тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе

нидерландским математиком Стевином.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных

дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую

часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве

разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все

более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было

выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после

введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например,

в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их

частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

2.1.8.1. Проценты

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что

буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно

пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех

же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать

части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне

называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую

сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого

(принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более

мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille –

«с тысячи»), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком процента - %. Однако на

практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые же

доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря,

проценты.

В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения

производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве. при разных

денежных расчетах.

Таким образом, исторически первым расширением понятия о числе является

присоединение к множеству натуральных чисел множества всех дробных чисел.

2. Отрицательные числа

Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя

вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные

числа: китайцами – в Х в. до н. э., индийцами – в VII веке, европейцами –

только в XIII веке.

2.2.1. Отрицательные числа в Древней Азии

Положительные количества в китайской математике называли «чен»,

отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу»

- черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII

столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных

чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали

черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко

распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа

систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома

Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: « имущество и имущество есть

имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть

имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля,

становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от

долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении

уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным

числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие

ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое

время ноль не признавали числом, «nullus» по- латыни – никакой, отсутствие

числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы

координат ноль становится числом.

2.2.2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе

В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в

начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные

числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками

« + » и « - » применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI

столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных

чисел.

Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль

называются целыми числами. Целые и дробные числа на 2-ом уровне обобщения

получили общее название - рациональные числа. Их называли также

относительными, потому что любое их них можно представить отношением двух

целых чисел. Каждое рациональное число можно представить как бесконечную

периодическую десятичную дробь.

С помощью рациональных чисел можно осуществлять различные измерения

(например, длины отрезка при выбранной единице масштаба) с любой точностью.

То есть совокупность рациональных чисел достаточна для удовлетворения

большинства практических потребностей.

3. Действительные числа

3.1. Иррациональные числа

Еще в Древнем Египте и Вавилоне ХХ веков назад были известны так

называемые несоизмеримые отрезки ([pic], [pic] , ?…), которые нельзя было

выразить отношением, относительными, рациональными числами.

Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию

несоизмеримости. Это могло произойти:

o в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и

диагонали квадрата;

o в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к

определению среднего геометрического между 1 и 2;

o в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум.

Речь шла об отыскании и исследовании величины, которую мы теперь

обозначаем [pic]. Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и

диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему

кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики.

Факт существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил

развитие геометрии в древней Греции. Греки разработали теорию отношения

отрезков, которая учитывала возможность их несоизмеримости. Они умели

сравнивать такие соотношения по величине, выполнять над ними арифметические

действия в чисто геометрической форме, иначе говоря, пользоваться такими

соотношениями как числами.

Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но

допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над

рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает

иррациональность в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же

самый иррациональный множитель. У него мы встречаем выражения:

[pic]

Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину,

азербайджанский ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси (1201- 1274 гг.)

трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих

соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же

само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов».

Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.

В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние

века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь

символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли

«глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д.

Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение

иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к

обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено

взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная

величина.

В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального

числа:

o иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого

или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить

«точно» целым или дробным числом;

o иррациональное число трактовали как границу, к которой его

рациональные приближения могут подойти как угодно близко;

o число рассматривали как отношение одной величины к другой величине

того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с

единицей, число называли иррациональным.

Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно

представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, ?

= 3,141592…).

Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во

второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасе в связи

с потребностями математического анализа.

Рациональные и иррациональные числа на 3-ем уровне обобщения

образовали действительные числа.

3.2. Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и

трансцендентные.

Алгебраическими называют числа, которые являются корнями

алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например, [pic], [pic],

4[pic], [pic]. Все остальные (неалгебраические) числа относятся к

трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем

соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами qx –p,

то все трансцендентные числа иррациональны.

Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных,

рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство –

количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой,

называемой координатной осью.

4. Комплексные числа

4.1. Мнимые числа

Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой

природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что

система уравнений [pic], не имеющая решений во множестве действительных

чисел, имеет решения вида [pic], [pic]. Нужно только условиться действовать

над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что[pic]·

[pic] = -[pic].

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже

«софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался не

употреблять.

Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими,

воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей,

сущностью, находящейся между бытием и небытием».

В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат

измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые

заметили, что если взять действительное число b на положительной части

координатной оси и умножить его на [pic], то получим мнимое число b[pic],

неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на [pic],

то получим -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части

координатной оси. Итак, двумя умножениями на [pic] мы перебросили число b

с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число

было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной

оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки

плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные

Кардано, которые в общем виде a + b·i содержат действительные числа а и

мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными

числами.

Это был 4-ый уровень обобщения чисел.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже

XVII и XVII веков была построена общая теория корней n-ных степеней

сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на

следующей формуле английского математика А. Муавра:

[pic]

С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов

и синусов кратных дуг.

Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:

[pic],

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С

помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную

степень. Любопытно, например, что [pic]. Можно находить sin и cos

комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.

Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и

пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский

математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть

позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения

встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в

сопротивляющейся среде.

4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел

Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс)

поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины на

плоскости.

Если действительные числа (состоящие из одного элемента) одномерны –

они размещаются на одной координатной оси. Комплексные числа состоят из

двух элементов, для их представления необходима уже плоскость и две

координатные оси. Это значит, что они двумерны.

Оказалось, что комплексное число z = a + b · i можно изобразить

точкой М(a,b) на координатной плоскости. Позднее выяснили, что удобнее

всего изображать число не самой точкой М, а в виде вектора [pic], идущего

из начала координат в точку с координатами а и b. Вектор [pic] можно

задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом ?,

который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a =

r · cos ?, b = r · sin ? и число z принимает вид z = r ·(cos ? + i ·

sin ?), который называется тригонометрической формой комплексного числа.

Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают [pic]. Число ?

называют аргументом z и обозначают Arg Z. Заметим, что если z = 0, значение

Arg Z не определено, а при z ? 0 оно определено с точностью до кратного 2?.

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z = r ·

ei?? (показательная форма комплексного числа)

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить

многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило

область их применения.

5. Векторные числа

В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые

моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными

осями.

Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет

работы в 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числа a + bi + cj +

dk, где i = j = k = [pic] и откладываются каждый на своей оси. Такие числа

- комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям –

Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре).

Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более

удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами. Они и обобщили

все предыдущие числа на 5-ом уровне обобщения.

6. Матричные числа

Алгебраические операции над векторными величинами создали

многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна

тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел

числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и

прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой

объект.

Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был

6-ой уровень обобщения чисел.

Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных)

чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление

моделируемых величин.

7. Трансфинитные числа

Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив

многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой

натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь –

действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными,

создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных,

запредельных) чисел.

Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно

сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются

с четными числами:[pic]Кантор заметил, что такое множество должно содержать

бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством

натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число ?0

(алеф-нуль – с иврита). Но множество ?0 тоже бесконечно много, и они

вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее

трансфинитное число ?1 . И так далее…

[pic] Такой красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом

уровне. И до настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило

трансфинитные числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли

еще применения за пределами самой математики. История с нулем и

комплексными числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими

можно моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил

красивую, но мертвую теорию?

Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они

могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные,

кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе),

либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные

трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное

по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно

моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает

закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать

больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь

количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1,

2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете

моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-

трехмерные-многомерные и т.п).

[pic]8. Функции = функциональные числа?

[pic] Наш земляк С.Ф.Клюйков утверждает, что принятые во всем мире и

представленные в таблице 1 уровни обобщения чисел не совсем полны, они

включает не все уже известные числа.

8.1. Функциональная зависимость

[pic][pic] Так, система координат была предложена в 1637 году Рене

Декартом не для изображения комплексных чисел, а для представления

функций, уравнений, описывающих различные кривые линии, поверхности, объемы

тел – моделирующих аналитически любые геометрические формы. Но не только

один Декарт, много других ученых до и после него приложило немало усилий в

формирование нового общего понятия – функциональная зависимость.

[pic] Для этого пришлось перейти от конкретных чисел к их буквенным

символам, которые могли принимать то одно, то другое количественное

значение, могли меняться, были переменными. Эти переменные величины назвали

аргументами и функциями, а выражения, связывающие их, - уравнениями,

формулами, функциональными зависимостями. И так увлеклись этими названиями,

отражающими только одно из свойств чисел, что забыли:

аргументы и функции первоначально все-таки числа, но уже иные –

функциональные числа. Это такие же математические модели, как и предыдущие

(натуральные, рациональные, действительные) числа, но с новым свойством –

способностью моделировать не только количество, но и его функциональную

зависимость от других количеств. Это позволило моделировать не только

«стада баранов», но и изменяющиеся процессы, движение, саму жизнь…

[pic] С.Ф.Клюйков выделяет функциональные числа как 8-ой уровень обобщения

чисел.

И.Бернулли (1718 г) и Л.Эйлер (1748 г) называли функцией «количество»,

образованное переменными и постоянными величинами, зависящее от них.

П.Дирихле (1837 г) называл то же «количество» - «значение», которому

соответствует определенное значение аргумента.[pic]Н.И.Лобачевскмй (1834 г)

назвал функцией «число», зависящее от аргумента. БСЭ (1978 г) называет

функцией «зависимость» двух переменных величин.

[pic] Таким образом, разные авторы дают разное определение функции:

«количество», «число», «зависимость», акцентируясь на разных гранях этого

сложного понятия, так как функция одновременно и «количество», и «число», и

«зависимость», а именно: функция – это число, моделирующее количество и

зависимость.

8.2. Развитие функциональных чисел

[pic] История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно

длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в.

до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога;

античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638

г.), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливо

функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций

действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры

и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают

совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь

математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и

максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением,

уравнениями и методами их решения.

[pic] Но еще более значительными были успехи математики при добавлении

способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам

(Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый

уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью

которых были построены многие полезные математические модели сложных

процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание

двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной

плоскости на другую и т.д.

[pic] Благодаря соединению способности моделировать функциональную

зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-

функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ,

векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и

многие достижения теоретической физики…

[pic] Добавление матричным числам способности моделировать функциональную

зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый

уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление

линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых

математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию

поля в физике и т.д.

[pic][pic] Если добавить трансфинитным числам Кантора способность

моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-

функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного

переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день

обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать

все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании

еще более сложных задач.

[pic]Заключение

1. Показано, что современная наука встречается с величинами такой

сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды

чисел.

2. При введении новых чисел большое значение имеют два

обстоятельства:

* правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к

противоречиям;

* новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или

усовершенствовать уже известные решения.

3. К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней

обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные,

векторные , матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными

предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень

обобщения чисел до двенадцати уровней.

Литература

1. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь: Полиграфический

центр газеты «ИнформМеню». 1997г. – 112 с.

2. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.

– Київ: ”Радянська школа”. 1968 р.- 115 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Москва:

Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 г. –

368 с.

4. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике для

техникумов. 3-е издание. – Москва, «Высшая школа», 1975г. – 554 с.

5. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.:

Просвещение, 1981. – 239 с.

Страницы: 1, 2