Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож,

умнож, вычит.

Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож,

вычит, деление(кроме деления на 0).

Впопрос 1.

Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции.

Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a’ непосредст. следующий за а. 2.Для люб-

го числа а из N сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для люб.

элем-та из N сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует

данный эл-т. 4. Пусть М ? N и выполн-ся: 1. 1€ М 2. если а€М след-но а’€M

тогда М=N

опр: Любое множество N для эл-тов которого установлено отношение

‘непосредственно следовать за’ удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся

множеством натуральных чисел.

Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на N и

обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а+1=а’ 2. (для люб. а,b) a+b’=

(a+b)’ (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2.

Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b a*b’=ab+a T/ Умножение нат

чисел сущ. и !.

Свойства сложения: 1. для люб. а,b^N a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,c^N

(a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)

Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,b^N) ab=ba 2. (для люб. a,b,c ^N)

(ab)c=a(bc) 3.(a,b,c^N) a(b+c)=ab+ac

Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на N. Отношение

порядка на N: На N введем отношение ‘b.) 3Сложение монотонно на N 4. Умножение

монотонно. 5. N бесконечное и ограниченное снизу еденицей. 6. Любое

непустое подмножество множ. N содержит наименьший эл-т. 7. N дискретно 8

Выполняется принцип Архимда (Va,b^N) (сущ. n^N) a*n>b

Вопрос 2.

Простые числа. Беск-ть мн-ва простых чисел. Канонич. разложение составного

числа и его !.

Всякое число р€N, р>1 не имеющее др. натур-х делит-й, кроме 1 и р, наз-ся

простым. Всякое число р€N?1 и не явл-ся простым, наз-ся составным. Число 1

не явл-ся ни простым, ни сост-м. Мн-во N можно разбить на: простые, сост-е

и 1. Св-ва: 1. Наим-й делитель всякого нат-го числа есть число простое. 2.

Нат-е число n и простое число р либо взаимнопростые, либо р|n. 3. Если р-

р, р1, р2… рn – простые числа, то р=р1 или р=р2 или… р=рn.

Наим-й простой делитель нат-го числа n не превос-т ?n. Док-во: пусть р-наим-

й простой дел-ль n. Покажем р??n. р|n => n=р*q (1), р?q. Заменим в (1) q на

р: n?р2, т.к. р2?n, р??n. +

Всякое нат-е число n>1 либо явл-ся простым, либо м.б. предст-а в виде

произв-я простых множ-й n=р1*р2*…*рr, r?1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью до

порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа n на простые множ-ли.

Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если n –число простое, то +. Пусть n-

сост-е и р1 его натур-й дел-ль. Как было док-но р1 число простое и можно

записать: n=р*n1, где р?n1. Если n1 число простое, то +; если n1 сост-е,

то р2 – его наименьший простой делитель. n1=р2*n2, n=р1*р2*n2. Если n2 сост-

е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть пока не придем к какому-либо

ns=1. То, что после конечного числа шагов такое ns должно получ-ся => из

того, что n>n1>n2>…>ns мн-во нат-х чисел, т.е. все эти числа меньше n.

Итак, через конеч-е число шагов число n можно пред-ть в виде (1). 2. Док-во

!: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа n на простые множ-ли n=p1*p2*…*pr

и n=q1*q1*…*qs, где р1, …рr, q1,…qs простые числа. p1*p2*…*pr= q1*q2*…*qs.

Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р1 => на р1 делит-ся и правая

часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по свойству

простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р1=q1, тогда после сокращ-

я: p2*…*pr= q2*…*qs. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р2 совп-т с одним из

множ-й q. Пусть р2=q2, после сокр-я: p3*…*pr= q3*…*qs и т.д. Предпол-м, что

r?s. Пусть r считать закон-м

как только найдено число >?m.

Вопрос 3.

Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.

На N вып-ы опер-и “+” и “*”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е а+х=в

в N не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения N. При расщ-и одной с-

ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) NЄZ. 2) +,* должны вып-

ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из N в N и Z должны совп-ть. 3) +,* -

комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся опер-я “-”.

т.е. ур-е а+х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х а,вЄZ. 5) Z должно быть

миним. расш-м из всех расш-й мн-ва N облад-е св-ми 1-4.

Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b*q. Отношение “b делит а” наз-ют

отношением делимости и зап-т b|а. Св-ва: 1) (Ґа)(а|a). 2)

(Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c). 3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0?a). 5) (Ґа)(1|a^-1|a). 6)

a|b^b|a=> b=±a. 7) (Ґx)(а|b=>a|b*x). 8)

(Ґx1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.

Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a на bЄZ, это значит

найти 2 таких q и rЄZ, что a=b*q+r (1) 0?r0, т.е. bЄN. Рассм. всевоз-е кратные

числа b.Пусть b*q наиб. кратные числа b не превыш-е a, т.е. b*q?a0, т.е. –bЄN и имеем случай 1. т.е. сущ-

т q,rЄZ, что a=(-b)*q+r, 0?r a=b*(-q)+r, 0?r b|(r2-r1). Но т.к. 0?r1 |r2-r1||r2-r1| => r2-r1=0. т.е. r1=r2, но и тогда

q1=q2.+ Следствие. ҐaЄZ^bЄN сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0?r с|d.

Алгоритм Евклида. Пусть Ґa,bЄZ, b#0. т.к. отнош-е делимости сохр-ся при

измен-и знаков чисел, то НОД(a,b)=НОД(a,-b). Поэтому огран-ся случ-м aЄZ,

bЄN. Делим a на b c остатком a=b*q+r1. Если r1=0, т.е. a=b*q, то

НОД(a,b)=b. Пусть r#0, 0НОД(a/m,b/m)=(НОД(a,b))/m. Числа

а1,а2,…аr наз-ся взамно-простыми числами, если НОД(а1,а2,…аr)=1. Всякое

целое число, кот. делится и на a, и на b, наз-ся общим кратным делителем.

Наим. из всех натур-х ОК наз-ся НОК. Св-ва НОК: 1. НОК(a,b)= их

произведению, деленному на НОД. 2. Совокуп-ть ОК 2-х чисел совп. с совокуп-

ю кратных их НОК. 3. Числа (НОК(a,b)/a) и (НОК(a,b)/b) взаимно-просты. 4.

Если a,b вз.-пр., то НОК(a,b)=a*b. 5. (ҐmЄN) НОК(a*m,b*m)=НОК(a,b)*m.

Нахождение НОД и НОК Чтобы найти НОД нужно взять произведение общих простых

множ-й, вход-х в канонич-е разлож-е этих чисел, причем каждый такой простой

множ-ль нужно взять с наим. показ-м. НОК тоже самое, но каждый множ-ль

взять с наиб. показ-м.

Вопрос 4.

Система рацион-х чисел.

Если рассм. мн-во Z, то в Z ур-е a*x=b не всегда разрешимо. => расшир-е

кольца целых чисел до поля Q-рац-х чисел. (Др. причина – измерение отрезков

не всегда выр-ся целым числом). При этом должны вып-ся усл-я: 1. Z

подкольцо кольца Q. 2. ур-е a*x=b, a#0 одноз-но разреш. Ґa,bЄQ. 3. Q должно

быть миним. расш. с-ы Z. С-а Q явл-ся полем, кот. наз-ся поле рац-х чисел.

Рассм. мн-во Q= pЄZ,qЄN. на мн-ве дробей рассм. отнош. равносильности

“~”: p/q~k/l ( p*l=k*q. Покажем, что это отнош-е эквивал-ти. 1. a/b~a/b.

т.к. a*b=a*b (рефл-ть). 2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть). Проверим a/b~c/d (

a*b=b*c => c*b=d*a ( c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть).

a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e. a*f=b*e

=>a/b~e/f. Если с=0, то все 3 др. 0, т.е. равн-ы. Отнош-е равн-ти дроби на

Q явл-ся отнош-м экв-ти => равнос-е дроби также явл-ся эквив-ми.

Св-во экв-х дробей: 1. a/b~(a*c)/(b*c) c#0. Всякому отнош-ю эквивл-ти соот-

т разбиение на классы экв-ти. Класс эквив-х дробей наз-ся рац-м числом. Рац-

е число хар-ся Ґ из своих представителей. Дроби, вход-е в один и тот же

класс пред-т ! рац-е число => считаются равными. p/q, где q?0 наз-ся

несократ-й записью, если НОД(a,b)=1. Для Ґ положит-го q сущ-т ! запись в

виде несократ-й дроби. Введем на Q отнош-е «меньше» так, что q0.

Легко видеть, что отн-е «q2. Можно показ-ть, что для отнош-я

q1+c0 => q1*c0. Найдем: q2*c-q1*c=c*(q2-q1)>0 (т.к.c>0, q2-q1>0). q2*c-

q1*c>0 => q1*c--->>N. Q-полтно,

т.е. что между Ґ 2 пац-ми числами нах=ся беск-но много рац-х чисел. 4.Q-

поле рац-х чисел. 5. Поле Q явл-ся лин.-упор-м полем.

При обращ-и обыкнов-й несокр-й a/b в десят-ю возм-ы случаи: 1) Если в

разлож. знамен. b на простые множ-ли встреч-ся только 2 или 5, то несокр.

дробь a/b обращ-ся в конеч. дес-ю. 2) Если НОД(b,10)=1, то a/b представима

в виде бескон-й чисто период-й десят-й дроби. 3) Если в разлож-и b на

простые множ-ли кроме 2 и 5 встреч-ся другие числа, то дробь обращся в

смешан-ю период-ю десят-ю дробь.

Вопрос 5.

Поле комплексных чисел(к.ч.). Геом-е предс-е к.ч. и операции над ними.

Тригон-я форма к.ч.

Х1+1=0 (1) не разрешимо в R – причина расширения с-ы R до с-ы чисел, в кот-

й (1) имело бы реш-е. В кач-ве строит-го матер-ла можно взять точки плоск-

ти: M=a,bЄR. Т.к. точки плос-т нам не приход-сь умн-ть и склад-ть,

то опер-ции над ними можно задать так, чтобы мн-во было полем, содерж-е

поле R и в кот-м (1) имело бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);

(a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) и (a,b)=(c,d) ( a=c ^ b=d. Можно док-ть, что

слож-е и умнож-е комут-ы, ассоц-ы и связ-ы дист-м законом. Для них вып-ся

обратные опер-ции: вычит-е, делен-е, кроме дел-я на 0,т.е. ур-я

(c,d)+(x,Y)=(a,b) и (c,d)*(x,y)=(a,b), где (c,d)?(0,0) одноз-но разр-мы.

Нейтр-й Эл-т относ-о слож-я: 0=(0;0). Нейтр-й Эл-т отн-о умнож-я: 1=(1;0).

1) С-а M=(M,0,1,+,-,*) поле. 2) M явл-ся расш-м поля R, т.е. R’ содер-ся в

M изоморф-е полю R. R’=aЄR. R’-подполе поля M, т.е.R’ замкнуто

относ-о всех опер-й кольца и Ґ эл-а ?0 из R’ обратный Эл-т также ЄR’. 3) R

изоморфно R’. Можно уст-ть биект-е отобр-е: ?:R R’; ?: a (a,0) и вып-ся

2 усл-я: образ суммы двух эл-в = сумме образов, образ произв-я 2 эл-в =

произв-ю образов. С – поле к.ч. Покажем, что (1) разреш. Возьмем точку

i=(0,1): (0,1)*(0,1)=(-1,0)?-1. i – корень ур-я (1), мнимая единица, расп-я

на ОУ. Запись: (a,b)=a+b*i алгеб-я, ?=|?|*(cos?+i*sin?) триг-я, где

|?|=[pic]; cos?=a/|?|; sin?=b/|?|. 1. Чтобы умнож-ть 2 к.ч. в триг-м виде,

нужно переем-ть их модули и сложить аргументы (углы). 2. Разд-ть 2 к.ч.:

разд-ть их модули и вычесть аргум-ы. 3. Чтобы возвести к.ч. в целую полож-ю

степень, нужно воз-ти в эту степень модуль и аргумент умнож-ть на показ-ль

степени. 4. Чтобы извлечь из к.ч. корень n степени нужно извлечь корень из

модуля и (аргумент +2Пк)/n, где кЄZ. Придавая к разл-е знач-я, получ-т

серии повтор-ся знач-й, т.е. к=0,1,…n-1.

Вопрос 6.

Мн-ны от одной переменной.

Пусть А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть целостности. Построим с пом-ю его новое

комут-е кольцо A[x], основанное на мн-ве,, которое есть мн-во бесконечных

послед-й, облад-х св-м: в них лишь конечное число коэф-в ?0, т.е.

A[x]=(a0,a1,…), ai?0 конеч-е число. Такие посл-ти наз-ся

полиномами от 1 неиз-го. Равенство полиномов и операции над ними опре-ся

так: 1. (a0,a1,…)=(b0,b1,…) ( a0=b0 и a1=b1 и…. 2.

(a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0, a1+b1…). 3. (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0, a1b1…).

4. 0=(0,0,0,…). 5. 1=(1,0,0,…). 6. -(a0,a1,…)=(-a0, -a1…). Нетрудно

проверить: 1) с-а (A[x],0,+,-) аддитивная абелева группа, 2) с-а A[x],1,*)

– мультипликативный моноид, 3) + и * связаны дистрибутивным законом. С-а

A[x]=(A[x],0,1,+,-,*) – комут-е кольцо. Другой вид записи полинома:

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm. Слагаемые в записи f(x) наз-ся одночлекнами, а

f(x) наз-ся мн-м от 1 неизв-го. Эл-ы аЄА наз-ся мн-ми нулевой степени. Св-

ва. Пусть А – обл-ть целостности. Кольцо полиномов от 1 неизв-го

A[x]=(A[x],у, 1,+, -,*) – обл-ть целостности. => Если степень f(x)=n и

степень g(x)=m => степень f(x)g(x)=n+m. Пусть А – обл-ть целостности.

Делителем единицы кольца полиномов A[x] явл-ся делители единицы кольца А. В

обл-ти цел-ти A[x] других делителей единицы нет.

Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что Ґ числов-е поле явл-ся

обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема о

делении с остатком имеет место для Ґf(x), g(x)ЄP[x], что g(x)?0. Мн-н f(x)

делится на мн-н g(x)?0, если сущ-т мн-н n(x)ЄP[x], что f(x)=g(x)n(x).

Деление не всегда будет выполнимо в кольце Р[x]. Св-ва. 1. Ґf(x)ЄP[x],

f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и g(x) ассоц-

ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x) и ?(x)|g(x) => g(x)|(f(x)±?(x)). 4.

Если f1(x), f2(x),…, fk(x) делятся на g(x), для Ґc1, c2,…ckЄР, то сумма

[c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)] делится на g(x). 5. Если g(x)|f1(x) =>

f1(x)f2(x)…fk(x) делится на g(x). 6. Если f1(x)|g(x),

f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x) => g(x)|[ n1(x)f1(x)+ n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)],

ni(x), fi(x), gi(x)ЄP[x], i=1,2,…k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и

n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-

ся делителями Ґf(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf(x), где с?0 и только они будут

делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x). 10. ҐДелитель

f(x), cf(x), c?0 будут делителями и для другого мн-на. Пусть Ґf(x),

g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x], что

d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x), g(x)) наз-ся мн-н D(x) такой, что 1.

D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=ҐОД(f(x), g(x)). Покажем, что

НОД сущ-т для Ґмн-в f(x), g(x)ЄP[x]?0. пусть степень f(x) ? степени g(x).

Делим f(x) на g(x) с остатком f(x)=g(x)q(x)+r1(x). Если r1(x)=0, тогда

НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)?0, то степень r1(x)< степени g(x), но >0.

Делим g(x) на r1(x) с остатком g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x). Если r2(x)?0, 0<

степень r2(x) < степень r1(x), делим r1(x) на r2(x) с ост-м

r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x). и т.д. Т.к. степень остатков понижается оставаясь

не отриц-й, то через конечное число шагов мы придем к остатку rk(x), на

который разделится предыд-й остаток. Этот процесс наз-ся Алгоритмом

Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в f(x) и g(x) мы получили

совокупность f(x) = g(x)q(x)+r1(x), g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) =

r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x)

(1). Док-м, что послед-й ?0 остаток rk(x) в алгоритме Евк-а явл-ся НОД.

Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x)|?k-1(x), rk(x)|?k(x) и ?k(x)|?k-1(x)

rk(x)|g(x) => rk(x)|f(x). Получим, что rk(x)|f(x) и ?k(x)|g(x) => ?k(x)=

ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Пусть n(x) - Ґдругой

ОД(f(x), g(x)). Рассм-м (1) сверху вниз: n(x)|f(x) и n(x)|g(x) =>

=> n(x)|r3(x)… n(x)|rk-2(x) и n(x)|rk-1(x) => n(x)|rk(x). Получили:

n(x)|rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)). Итак, мы док-ли, что

последний ?0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД для мн-в f(x) и g(x).

Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью до мн-ля

нулевой степени. Действительно, пердположим, что D1(x)=НОД(f(x), g(x)) и

D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x)) => D2(x)|D1(x), а т.к.

D2(x)=НОД(f(x), g(x)), то имеем D1(x)|D2(x). Получим: D2(x)|D1(x) и

D1(x)|D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем, что если

f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и коэф-ы их

НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x), g(x)), где

f(x), g(x)ЄP[x], то сущ-т ?(x), ?(x)ЄP[x], что f(x)?(x)+g(x)?(x)=D(x).

Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x): f(x) = g(x)q(x)+r1(x),

g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x) = rk-1(x)qk-

1(x)+rk(x), rk-1(x) = rk(x)qk(x). Перепишем все рав-ва алго-а Евклида,

кроме послед-го (1). Выразим остаток из каждого равенства r1(x)=f(x)-

g(x)q(x), r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x), r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-

1(x)qk-1(x) (1). Перепишем первое рав-во (1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)).

Обозначим ?1(x)=1, ?1(x)=-q(x), тогда имеем r1(x)=f(x)?1(x)+g(x)?1(x).

Теперь второе из (1): r2(x) = g(x)-r1(x)q1(x) = g(x)-(f(x),?1(x) +

g(x)?1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)?1(x)q1(x)-g(x)?1(x)q1(x) = f(x)(-?1(x)q1(x)) +

g(x)(1-?1(x)q1(x)) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x). r2(x) = f(x)?2(x)+g(x)?2(x).

Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение для r3(x) из

(1). Получим, проделывая аналогичные преобразования r3(x)=

f(x)?3(x)+g(x)?3(x). и т.д. опускаясь ниже получим rk(x)=

f(x)?k(x)+g(x)?k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и g(x)

, причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени. Умножая обе

части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(c?k(x))+g(x)(c?k(x)).

Вопрос 7.

Неприводимые над полем многочлены.

Мн-н f(x)ЄP[x] наз-ся неприводимым над полем Р, если он не разлагается в

произведение многоч-в положительной степени над полем Р. Мн-н наз-ся

приводимым над полем Р, если он разлагается в произведение мн-в положит-й

степени. Вопрос приводимости зависит от того поля, над которым мы его

рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над полем Q, но приводим над

полем R. 2) f(x)=x2+1 неприводим над R, приводим над C. 3)?(x)=x+1 непривд-

м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м только мн-ы

1-й степени. Над полем дейст-х чисел неприводимы мн-ны 1-й степени и

квадратный трехчлен, у которого дискр-т эти мн-ны отлич-

ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p1(x) - неприводим,

то в p1(x) = p2(x)g(x) один из множ-й есть мног-н нулевой степени g(x)=c-

const. Т.о. p1(x) = p2(x)c. Мног-ны p1(x), p2(x) явл-ся ассоциированными.)

2. Ґf(x)ЄP[x], p(x)ЄP[x] – непривомн-н => либо f(x), p(x) взаимно просты,

либо p(x)|f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2 случая:1)

НОД(f(x),p(x))=c-const, тогда f(x), p(x) – взаимно просты. 2)

НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x)|f(x) => cp(x)|f(x)

=> p(x)|f(x)). 3) Если произ-е p(x)|f(x)g(x), где p(x), f(x), g(x)ЄP[x] и

p(x) – непривод-м над полем P, р(x)|f(x) или p(x)|g(x). Это св-во можно

распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й.

Теорема. Ґ мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем Р

или разлагается в произведение неприводимых мн-в. f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)

(*), где pi(x) – неприводимые мн-ны над полем Р, i=1,2,…n, причем это

разложение явл-ся ! с точностью до порядка. Док-во. 1) Док-м возможность

представления (*). Пусть мн-н f(x) выше нулевой степени. Если f(x)

неприводим, то теорема док-на. Если f(x) приводим, то f(x)=f1(x)f2(x). Если

оба мн-на f1(x) и f2(x) неприводимы над полем Р, то теорема док-на, если

хотя бы 1 из них приводим над полем Р, то его разлагают в произведение множ-

й положит-й степени. и т.д. Этот процесс конечен, т.к. степень мн-й в

разложении f(x) уменьшается, оставаясь положит-ми и их может быть лишь

конечное число. Итак, в конце концов мн-н f(x) будет предст-н в виде

произвед-я непривод-х мн-й, т.е. в виде (*). 2) Док-м ! разложения мн-на

f(x) на непривод-е мн-ли. Пусть f(x) допускает 2 разложения:

f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x) (1) и f(x)= q1(x)q2(x)…qn(x) (2). p1(x), …pn(x),

q1(x),…,qn(x) неприводимые над полем Р мн-ны. Левые части равны => равны и

правые части. p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x) (3). Левая часть делится на

р1(х) => и правая часть делится. Т.к. р1(х) неприводим, то на р1(х)

разделится хотя бы один мн-ль правой части. Пусть р1(х)|q1(x). А т.к.

р1(х) и q1(x) неприво-ы и один из них дел-ся на другой, то они

ассоциированы, т.е. q1(x)=ср1(х). Подставляя это выр-е в (3) и сокращая обе

части на р1(х): p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x) (4). Аналогично расс-я

относительно p2(x) из (4): p3(x)…pk(x)=c1с2 q3(x)q4(x)…ql(x). И т.д.

утверждаем, что k=l. Предположим противное. Пусть k и через всю с-у столб-в матницы ?, т.е. справед-о (2). => Веркор

(?1,?2,…?n) – реш-е с-ы (1).

Метод Гаусса – м-д последов-го исключения неизв-х. Сводится к привед-ю с-ы

лин-х ур-й к ступен-у виду, при этом получ-ся с-а равнос-я данной. Если в

рез-те элем-х преоб-й получ-но ур-е с коэф-ми в левой части =0 , а своб-е

члены ?0, то с-а несовм-на. Если и своб-е члены =0, то это ур-е удаляется

из с-ы. С-а лин-х ур-й явл-ся опред-й, т.е. имеет ! реш-е, если ступ-я с-а

лин-х ур-й имеет треуг-й вид. В этом случ-е послед-е Ур-е с-ы содержит

только 1 неизв-ю. Если ступ-я с-а имеет вид трапеции, то с-а

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

ИНТЕРЕСНОЕ