Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

неопределенная. Тогда в послед-м Ур-и с-ы несколько неизв-х (k V, ??(?)=?*xЄV, ?ЄP, xЄV.

С-а V – наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V – векторами = a,

b,c,…x, y, если 1. (V, ?, +,-)- аддит-я абел-я группа, 2. (?*?)*a=?*(?*?),

Ґ?,?ЄP,aЄV. 3. (?+?)*a=?*a+?*a, Ґ?,?ЄP,aЄV. 4. ?*(a+b)=?*a+?*b,

Ґa,bЄV,Ґ?ЄP. 5. 1*a=a, Ґa. Например, ариф-е вект-е прост-во n мерных

векторов V=Pn, мн-во C- к.ч. есть век-е прост-во над полем R действ-х чисел

относ-о опер-й “+” к.ч. и “*” их на дейст-е число. Простейшие св-ва. Пусть

V=(V,?,+,-,??) – вектор-е прост-во. Р – поле скаляров. Ґa,bЄV, Ґ?, ?ЄP. 1.

a+b=a => b=0. 2. 0*?=?. 3. ?*?=?. 4. a+b=? => b=(-1)*a=-a. 5. ?*a=?*b ^ ??0

=>a=b. 6. ?*a=? => ?=0 или a=?. 7. ?*a=?*a ^ a?? => ?=?. Пусть V – вект-е

прост-во над Р, a1,a2,…amЄV, с-а вект-в a1,a2,…am наз-ся лин-о незав-й,

если ?1*a1+?2*a2*…?m am=? возм-но при всех коэф-х = 0. a1,a2,…am – лин-но

завис-ы, если ?1*a1+?2*a2*…?m am=? возм-но хотя бы при 1 коэф-е ?i?0. Вект-

е прост-во наз-ся конечномерны, если оно породж-ся конечным мн-м вект-в или

сущ-ют a1,a2,…amЄV, что V – лин-я оболочка порожд. этим мн-м

V=L(a1,a2,…am). Базисом (базой) конеч-го век-го прос-ва наз-ся непуст-я

конеч-я лин-но незав-я с-а векторов порожда-я это прост-во. ???не доконца.

Вопрос 12.

Линейные преобразования век-х прост-в.

Пусть u и v векторные простр-ва над полем Р. Отобр-е ?: u(v наз-ся лин-м

отображ-м или гомоморфизмом, если Ґа,bЄu,Ґ?ЄP: 1. ?(a+b)=?(a)+?(b). 2.

?(?a)=??(a). Если бы лин-е отоб-е u на v было бы биективным, то тогда его

наз-и бы изоморфизмом вект-х прост-в. Мн-во всех лин-х отображ-й прост-ва u

в v обозн-ся Hom(u,v). Св-ва. 1. Всякий лин-й опер-р ? в прост-ве v оставл-

т неподвижный нулевой вектор,т.е.?(?)= ?. 2. ?(-x)=-?(x). 3. Всякий лин-й

опре-р ? в прост-ве v переводит Ґ лин-ю комбин-ю произвольно выбранных вект-

в a1,a2,…am прост-ва V прост-ва в лин-ю комбин-ю образов этих вект-в,

причем с теми же самыми коэф-ми, т.е. ?(?1a1+?2a2+…?mam) =

?1?(a1)+?2(a2)+…+?m?(am). Док-во. Применим метод мат-й индукции. 1)

Проверим справ-ть при m=2. ?(?1a1+?2a2) = ?(?1a1)+?(?2a2) =

?1?(a1)+?2(a2). 2) Предположим справ-ть утвер-я для m-1 вектора, т.е.

?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1) = ?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1). 3) Док-м справ-ть

данного утвер-я для m век-а, т.е. ?(?1a1+?2a2+…+ ?m-1am-1+?mam) =

?[(?1a1+?2a2+…?m-1am-1)+ ?mam] = ?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1) + ?(?mam) =

?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1)+?m?(am). 4. Совокупность L всех образов ?(a)

вектора а вектор-го простр-ва v, получ-е при данном преоб-ии ?, есть

некоторое подпростр-во вект-го простр-ва v.

Пусть ? некоторая лин-я опре-я прос-ва vn. Выберем в прос-ве vn некот-й

базис e1,e2,…en. Тогда опре-р ? переводит век-ы базиса в векторы

?(e1),?(e2),…?(en). Каждый из этих век-в ! образом выраж-ся через век-ры

базиса: ?(e1) = ?11*e1+?21*e2+…+?n1*en, ?(e2) = ?12*e1+?22*e2+…+?n2*en,…

?(en) = ?1n*e1+?2n*e2+…+?nn*en. Матрица A?=

k–й столбец которой явл-ся коорд-ми

столбца век-ра ?(ek) относительно базиса e1,e2,…en, наз-ся матрицей лин-го

опрер-ра ? в базисе e1,e2,…en. Т.о. при фиксир-м базисе e1,e2,…en, каждому

лин-у опрер-у ? прост-ва vn соответ-т вполне опред-я матрица n–го порядка.

И наоборот, каждая матрица n–го пор-ка явл-ся матрицей некот-го вполне

опред-го лин-го опре-ра ? прост-ва vn в базисе e1,e2,…en.

Совокупность ?(vn) образов всех век-в прост-ва vn при действии оператора ?

наз-ся областью значений опер-ра ?. Размерность области значений ?(vn) наз-

ся рангом лин-го опер-а ?. Ядром линей-го опер-а ? прост-а Vn наз-ся

совокупность всех век-в прост-ва Vn отображ-ся операторов ? в нулевой

вектор т. Ker ?= ?(a)=т. Размерность ядра Ker ? опер-ра ? прост-ва

Vn наз-ся дефектом этого опер-ра. Сумма ранга и дефекта лин-го опер-а ?

прост-ва Vn = размерности этого прост-ва. Если век-р b ?0 переводится

оператором ? в пропорц-й самому себе,т.е. ?(b) = ?0b, где ?0 – действ-е

число, то b наз-ся собст-м вектором опер-а ?, а ?0 собственным знач-м этого

опер-ра. Причем гов-т, что собст-й век-р b относ-я к собств-у знач-ю ?0.

Нулевой век-р не считается собственным для опер-ра . Матрица А-?Е, где Е

един-я матрица n пор-ка наз-ся харак-й матрицей матрицы А (по главной

диагонали от Эл-в «-«?). Многочлен n степени |А-?Е| наз-ся харак-м мног-м

матрицы А, а его корни, которые могут быть как компл-е так и действ-е, наз-

ся характер-ми корнями этой матрмцы. ?0ЄR был собств-м значением лин-го

опер-а ? ( ?0 было характ-м корнем опер-ра ?. Лин-е преоб-е наз-ся

невыроженным, если определитель матрицы А?0. Рассм-м преоб-е x1=y1,…xn=yn

(I). Это преоб-е наз-ся тождеств-м. Оно ведет себя точно также как число 1

при арифм-м умнож-и,т.е. (ҐS) S*I=I*S=S. Т.е. преоб-е I это нейтр-й эл-т

относ-о умнож-я преоб-я. Обратным преоб-м преобразованию S наз-ся преоб-е S-

1 такое, что S*S-1=S-1*S=I. Подпрост-во L явл-ся инвариантным относ-о преоб-

я ? пространства Vn, если образ Ґ век-ра из снова есть вектор L.

Вопрос 13.

Определители.

Опред-м (детерминантом) n-го порядка составл-м из n2 чисел матрицы А наз-ся

алгеб-я сумма всевозм-х членов, каждый из которых представл-т собой

произвед-е n эл-в, каждый из которых взят по 1 из каждой строки и столбца,

взятый со знаком (-1)t , где t число инверсий перестановки вторых индексов,

при усл-и, что первые индексы расположены в натуральном порядке. ?=?(-

1)ta1?a2?…an?, ?,?,…? n! перестан-к 1,2,…n. Правило Саррюса.

Св-ва опред-й. 1. Равноправность сторк и столбцов (транспонирование). 2.

Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки (2 столбца) одинаковы =0. 3.

Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на одно и

то же число m, то и значение опред-я *m. 4. Если все Эл-ты какого-либо

столбца (строки) опред-я n-го пор-ка облад-т общим множителем, то его можно

вынести за знак опред-ля. 5. Опред-ль n-го пор-ка, у которого Эл-ты 2-х

строк (столбцов) соответ-о пропорциональны ,=0. 6. Если все Эл-ты k строки

(столбца) опред-я n-го пор-ка явл-ся суммой 2-х слагаемых, то такой опред-

ль = сумме 2-х опред-й n-го пор-ка. В одном из них k-я строка (столбец)

состоит из первых слаг-х, а в другом - из вторых слаг-х, все остальные

строки (столбцы) те же, что и в данном опред-е. 7. Если в опред-е какая-

либо строка есть линейная комбинация других строк, то такой опред-ль =0. 8.

Если к Эл-м какой-либо строки (столбца) опред-я n-го пор-ка прибавить

соответ-ие Эл-ты другой строки (столбца) умноженные на одно и то же число,

то значение опред-я не изменится. 9. Если поменять местами 2 строки

(столбца) в опред-е n-го пор-ка, то опред-ль сменит свой знак на

противоположный, а его абсол-я величина не изменится. Минором Мij Эл-та aij

опред-я n-го пор-ка наз-ся опрде-ль n-1 порядка, который получается из

опред-я вычеркиванием i строки и j столбца. Алгебаическим дополнением Aij

Эл-та aij наз-ся произ-е (-1)i+j*Mij.

Теорема. Какую бы строку (столбец) опред-я n пор-ка мы не взяли, значение

опред-я = сумме произв=й Эл=в этой строки (столбца) на их же алгеб-е

дополнения. ?=ai1Ai1+ ai2Ai2+…ainAin (i=1,2,…n)(1). ?=

a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj (2). Док-во. В силу справ-ти строк и столбцов

ограничимся выводом разлож-я по строкам (1). 1) мы знаем, aijAij есть также

член опред-я, причем в опред-ль входит с тем же знаком, что и в это произв-

е. Т.о. Ґ слагаемое (1) состоит из членов опред-я. 2) Никакие 2 слагаемых в

(1) не содержат общих членов (всего Ґ слаг-й содержит (n-1)! членов).

Действительно, пусть aikAik и ailAil из (1) содержат общий член, тогда в

него будут входить мн-ли aik ,ail, чего не может быть, т.к. из i строки

взяты 2 эл-та. Итак (1) состоит из всех различных членов опред-я. 3)

ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin (3). Док-м, что (3) исчерпывает все члены опред-я,

т.е. Ґ член опред-я обязательно входит в (3). Рассм-м произв-е членов опред-

я: (4) a1?a2?…ai-1?aijai+1?…an?, ?,?,…? пробегают n! перестан-к чисел

1,2,…n. aija1?a2?…ai-1?ai+1?…an?, ?,?,…? пробегают n! перестан-к чисел

1,2,…n. Но произведение a1?a2?…ai-1?ai+1?…an?член минора Мij => входит в

алгеб-е доп-е Aij => член (4) входит в произвеление aijAij.+ 1) Если в

опред-е пор-ка все эл-ы I строки, кроме эл-а aij , =0, то такой опред-ль =

произв-ю его эл-та на его алгеб-е допол-е. 2) Если в опред-е n пор-ка все

эл-ты лежащие ниже главной диагонали =0, то опрд-ль = произв-ю диагональных

эл-в. 3) Сумма произведений эл-в какой-либо строки на алгеб-е дополнения

соответствующих эл-в другой строки = 0.

Формулы Крамера. Если ??0, то опред-ль имеет ! решение хn=?n/?.

Вопрос 14

Основ-ы св-ва срав-й. Приложение теории срав-й к выводу признаков

делимости.

Отнош-е сравним-ти в кольце цел-х чисел: 1 опр. a?b(mod m) ( m|(a-b). 2

опр. a?b(mod m) ( a=b+m*t, tЄZ. 3 опр. a?b(mod m)(a=m*q1+z ^ b=m*q2+r. Из

опр. 3 =>что сравнимые по (mod m) числа явл-ся равноостаточными при делении

на m. Док-во: 1) опр. 1(2. Пусть a?b (mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b)

=> сущ-т tЄZ, a=b+m*t, т.е. a?b(mod m) в смысле опр.2. Пусть a?b(mod m) в

смысле опр.2, т.е. a=b+m*t => a-b=m*t => m|(a-b), т.е. a?b(mod m) в смысле

опр.1. 2)Док-м, что опр.1(опр.2. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.3, т.е.

a=m*q1+r ^ b=m*q2+r => a-b=m*(q1-q2), где q1-q2ЄZ => m|(a-b) => a?b(mod m)

в смысле опр.1. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b). Пусть

a=m*q1+r1, b=m*q2, 0?r1r2. m|(a-

b) по усл. и m|m*(q1-q2) => m|(r1-r2). m|(r1-r2) и 0?r1-r2 r1-r2=0 =>

r1=r2, т.е. a?b(mod m) в смысле опр.3. т.к. отеош-е равнос. явл-ся эквивал-

ти, т.е. оно симмет-о, тран-о, рефл-о, то опр.1(опр.2 ( опр.3. Сл-е 1. Если

a=m*q+r, 0?r a?r(mod m). Сл-е 2. Если m|a => a=0(mod m). Сл-е 3. ҐtЄZ,

m*t?0(mod m). Св-ва срав-й: 1)Отнош-е сравнимости в Z явл-ся отнош-м эквив-

ти. 2)Сравнимые числа по mod m можно почленно складывать, вычитать. Док-во:

a1?b1(mod m) => a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m) => a2=b2+m*t2, t2ЄZ.

a1±a2=(b1±b2)+m*(t1±t2) => ( по опр.2) (a1+a2)?(b1±b2)(mod m). Сл-е 1.Слаг-

е можно из одной части сравн-я переносить в др-ю, изменив знак на против-й.

2. К Ґ части сравн-я можно прибавить число кратное модулю. 3)Сравн-е числа

по mod m можно почл-о перем-ть. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) => a1*a2?b1*b2

(mod m). Док-во: a1?b1(mod m) =>(по опр.2) a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m)

=>(по опр.2) a2=b2+m*t2, t2ЄZ. a1*a2=b1*b2+m*(t1*b2+t2*b1+m*t1*t2) =>

a1*a2?b1*b2(mod m) tЄZ. Сл-е 1. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) и … an?bn(mod

m) => a1*a2*…an=b1*b2*…bn(mod m). 2. a?b(mod m) => an?bn(mod m). ҐnЄN. 3.

a?b(mod m) => k*a?k*b(mod m), ҐkЄZ. 4. Выраж-я сост-е путем умнож-я, выч-я,

слож-я срав-х чисел, срав-ы между собой по тому же модулю. 5. f(x)=a0*xn+

a1*xn-1+…+ an-1*x+an, мн-н с цкл-ми коэф-ми Ґх1,х1,...ЄZ, тогда x1?x2(mod

m) => f(x1)?f(x2)(mod m). 6. В сравн-х по mod m числах можно замен-ть слаг-

е и множ-ли с сран-ми с ними числами. 4)На общий делитель взаим-о простой с

mod m можно разд-ть обе части сравнения, оставив mod без измен-я.

a*d=b*d(mod m) и НОД(d,m)=1 => a?b(mod m). Док-во. a*d=b*d(mod m)=> m|(a*d-

b*d) => m|d*(a-b). т.к. НОД(d,m)=1, то m|(a-b) => a?b(mod m). Замтим, что

если усл-е взаим-ной простоты не выпол-ся, то сокр-е обеих частей на одно и

то же число можно привести к нарушению срав-ти. 5)a*d?b*d(mod m*d) =>

a?b(mod m), dЄN. Док-во. a*d?b*d(mod m*d) => m*d|(a*d-b*d) => m*d|d*(a-b)

=> m|(a-b) => a?b(mod m). 6) a?b(mod m1) и a?b(mod m2) => a?b(mod[m1,m2]),

[m1,m2]=НОК(m1,m2). Признак дел-ть на 3. m=3. a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0.

10?1(mod 3), 102?1(mod 3), 103?1(mod 3),… 10n?1(mod 3). R3=a0r0+ a1r1+…+

anrn= a0 *1+ a1 *1+ …+an 1= a0+ a1+…+an. 3|a (3|R3. Признак дел-ти на 11:

a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0. r0=1. 10?-1(mod 11), 102?1(mod 11), 103?-

1(mod 11),… 10n?(-1)n(mod 11). a?R11(mod 11). R11=a0r0+ a1r1+…+ anrn= a0

-a1+ …+(-1)n an = (a0+ a2+…)-(a1+a3+…). 11|a (11|R11, т.е. число дел-ся на

11 ( на 11 дел-ся раз-ть суммы цифр числа стоящих на неч-й и чет-х местах.

Вопрос 15

Полная и приведенная с-а вычетов. Теор-а Эйлера и Ферма.

Все числа сравнимые с a по mod m объединим в одно мн-во, кот-е наз-м

классом-вычитов по mod m. Обозн-м ?=xЄ. Ґ предст-ль мн-ва ?

наз-м вычитом. Рассм-м класс вычитов по mod m: ?=xЄ. Т.к.

сравн-е числа,т.е. все числа Є-щие одному и тому же классу вычитов по mod m

имеют одинак-е ост-ки при делении на m, то и все различ-е классы вычитов

можно обоз-ть с пом-ю этих ост-в,т.к. при делении Z на m получ-ся m ост-в

0,1,…, m-1, то и мн-во Z распад-ся на m классов 0,1,...m-1 (с черт-ми).

Обоз-м мн-во всех классов-вычитов по mod m через Zm. Св-ва классов-вычитов:

1. ?=ҐtЄZ. 2. xЄ? ^ xЄ? => ?=?. 3. ҐбЄ? => б(с чер-й)=?. 4. a?d(mod

m) => ???. 5. a?0(mod m) => aЄ0(чер-й). 6. a=m*q+r, 0?r из того, что соотв-е опре-и на этом мн-ве ком-ы, ассоц-ы и

св-я дист-м законом. Нетру-о пров-ть, что класс 0(с чер-й) нейтр-й Эл-т

относ-о «+», 1(с чер-й) нейтр-й эл-т относ-о «*». Т.о. мн-во Zm явл-ся

кольцом относ-о «+», «*» классов-вычитов по mod m и кольцо Zm=(Zm,0(с чер-

й), 1(с чер-й), +,-,*) наз-ся кольцом классов-вычитов по mod m. Т.к. число

классов-вычитов всегда конечно и =m,то все кольца конечны.

Если из Ґ класса-вычитов по mod m взять по одному представ-ю, то получ-я с-

а вычетов наз-я полной с-й вычитов по mod m. Н-р:1. полная с-а наим-х неот-

х вычитов по mod m Rm={0,1,2,..m-1}, пол-я с-а наим-х полож-х вычитов по

mod m Rm+={1,2,…m}, пол-я с-а абсолютно наим-х вычитов по mod m.

Ґ совокуп-ть m целых чисел х1, х2, …хm попарно не сравн-х между собой по

mod образ-т полную с-у вычитов по mod m.

(1-я теор-а). Если в лин-й форме а*х+b, где а и mзам-но просты, переем-я х

пробег-т все знач-я из полной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма

пробегает все знач-я некот-й полной с-ы вычитов по mod m. Док-во. Пусть х={

х1, х2, …хm} произ-я полная с-а вычетов по mod m. Док-м, что с-а

x’={aх1+b1, aх2+b2, …aхm+bm} также полная с-а вычитов. С-а х’ содержит m

чисел(вычитов) и все эти вычеты попарно не сравнимы между собой. Допустим

противное: пусть axi+b?axj+b(mod m), 1?i, j?m, i?j. Тогда по св-ву срав-й

axi?axj(mod m). А т.к. НОД(a,m)=1 (по усл-ю), то xi?xj(mod m). Это привит к

тому, что xi ,xj входят в полную с-у вычитов по mod m, т.е. в Х. Итак, с-а

х’ состоит из m чисел и все они попарно не срав-ы между собой => х’ явл-ся

полной с=й вычитов по mod m.+

Если из Ґ класса взаимно простых с mod m взять по 1 предст-ю, то получ-ая

с-а чисел наз-ся привед-й с-й вычитов по mod m. Функцией Эйлера ?(m) наз-ся

число по mod m взамно простых с m или число нат-х чисел ?(p)=p-1. 2) m=p? => ?(m)=m(1-1/p). 3)

m=p1?1* p2?2 *…pk?k => ?(m)=m(1-1/p1) (1-1/p2) …(1-1/pk).

Признак прив-й с-ы. С-а чисел a1 ,a2…as (1) образует привед-ю с-у вычитов

по mod m, если: 1) s= ?(m); 2) числа из (1) попарно не сравнимые по mod

m,т.е ai не срав-ы с aj(mod m), i?j, i,j=1,2,..s; 3) НОД(ai,m)=1, i=1,2,…s.

(Док-во. В силу усл-я 3) числа с-ы (1) нах-ся в классах взаимно простых с

mod m, причем в силу усл-я 2) они лежат в разных классах. Т.к. число чисел

в с-е (1)= ?(m) и число классов взаимно простых с mod m=?(m), то всякое

число из (1) попадает в ! класс взаимно простых по mod m=> с-а (1) явл-ся

привед-й с-й вычитов.)

(2-я теорема) Если в лин-й форме ax, a и m взаимно просты, переменная х

пробегает все значения из приведенной с-ы вычитов по mod m, то и лин-я

форма ax пробегает все знач-я из некот-й привед-й с-ы вычитов. Док-во.

Пусть Х={x1,x2,..x?(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Тогад х’={ax1,

ax2,..ax?(m)} привед-я с-а вычитов по mod m. Проверим 3-е усл-е признака

привед-й с-ы: 1) в с-е х’ ?(m) чисел, т.к. вместо х мы можем подст-ть ?(m)

чисел; 2) Эти числа Є по mod m разным классам,т.к. вместо х берутся числа

из разных классов. В этом случае числа ax (даже ax+b) попарно не сравнимы

между собой по mod m.3) ax взаимно просты с mod m. НОД(a,m)=1 по усл-ю.

НОД(xi, m)=1, i=1,2… ?(m), т.к. xi взяты из привед-й с-ы вычитов.

НОД(axi,m)=1. i=1,2,… ?(m) => с-а х’ обр-т привед-ю с-у вычитов по mod m.

Теорема Эйлера. Если а и m взаимно просты, т.е. НОД(а,m)=1, то а?(m) ?1(mod

m). Док-во. Восп-ся теоремой: если в лин-ю форму ах вместо х будем подст-ть

вычиты из некот-й привед-й с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма пробегает

также все знач-я привед-й с-ы вычитов по mod m. Рассм-м привед-ю с-у наим-х

полож-х вычитов по mod m: r1,r2,…rk, k=?(m), тогда ar1,ar2,…ark - также

привед-я с-а вычитов. Ґ вычит последней с-ы заменим наим-м положит-м

вычитом. ar1?r1’(mod m), ar2?r2’(mod m)… ark?rk’(mod m). Перемножим:

ak(r1r2…rk)?r1’r2’…rk’(mod m) (1). Но r1r2…rk=r1’r2’…rk’. В левой и правой

частях стоит произв-е всех вычитов из привед-й с-ы наим-х полож-х вычитов.

Эти произв-я взаимно просты с mod m, т.к. Ґ множ-ль с mod m взаимно прост.

=> ak?1(mod m), т.к. k= ?(m) => а?(m) ?1(mod m)+

Теорема Ферма. Если m=p простое число и НОД(а,р)=1, то ар-1?1(mod m). Док-

во. Если m=p,то ?(p)=p-1, тогда по теор-е Эйлера ар-1?1(mod m).+ След-е.

Для ҐаЄZ, Ґp -простое число, ap?a(mod m).

Вопрос 16.

Бинарные отнош-я. Отнош-я экв-ти и разбиение на классы. Фактор мн-ва.

Прямое произведение 2-х мн-в: A*B=aЄA,bЄB. Декартов квадрат

A*A=a,bЄA=A2. Бинарное отнош-е, зад-е на паре мн-в A и B:

?[pic]A*B. Бинарное отнош-е, зад-е на мн-е A: ?[pic]A2.

Св-ва бин-х отнош-й: Пусть ? бин-я отнош-е опред-е на А, т.е. ?[pic]А2. 1.

? рефлек-о: (Ґ?ЄА) (а?а). 2. ? симмет-о: (Ґa,bЄA) (a?b => b?a). 3. транз-

ть: (Ґа,b,cЄA) (a?b ^ b?c => a?c). Бинарное отнош-е ? опред-е на мн-ве А

наз-ся отнош-м эквивал-ти, если оно реф-но, симмет-но и тран-но. Н-р: 1. А-

мн-во прямых на плос-ти, ? –отнош-е параллел-ти. 2. Отнош-е подбие фигур на

А точек пл-ти.

С-а S={A1,A2,…An} непустых подмн-в мн-ва А наз-ся разбиением мн-ва А на

классы, если ҐаЄА попад-т в ! подмн-во из системы S.Тогда –разбиение А на

классы, если вып-ся 1)Ai?Ш, i=1,2,…n 2) A1[pic] A2[pic]… An=A

3)Ai[pic]Aj=Ш, i?j.

Теорема. Ґ разбиению мн-ва А на классы соответствует отношение эквивал-ти.

Док-во. Пусть S={A1,A2,…An} разбиение мн-ва А. Определим на А бинар-е отнош-

е ? т.о.: а?b ( a,bЄAi (*). AiЄS. Покажем, что так опред-е отнош-е ? явл-ся

отнош-м экв-ти, т.е. оно рефл-о, сим-о, тран-о. 1)Из (*) => а?а, т.к. Ґ эл-

т нах-ся в 1 подмн-ве с самим собой. 2) Из (*) => b,aЄAi ( b?a. a?b =>

b?a.3)Пусть а?b ^ b?c => a,bЄAi^ b,cЄAj?Ш, что противоречит требованию

3)разбиения => Ai=Aj. A,bЄAi ^ b,cЄAi => a,cЄAi. а?b ^ b?c => a?c.+ Пусть ?

отношение эквив-ти опред-е на мн-ве А. Выберем в А все элы, нах-ся в отнош-

и ? с эл-ми а, образ-е из них мн-во обозн-м [a]. [a]=xЄA,x?a. Мн-во [a]

наз-ся смежным классом мн-ва А по отнош-ю эквив-ти ?.

Теорема. Если ? отнош-е эквив-ти на мн-ве А, то с-а всех смежных классов мн-

ва А явл-ся разбиением мн-ва А.Док-во.Пусть ? отнош-е эквив-ти на А. Рассм-

м смежный класс ҐаЄА, [a]=x. Покажем, что с-а разлож-я смежных

классов обр-т разбиение мн-ва А. Т.к. ? рефлек-о, т.е. а?а => [a]? Ш.

Возьмем произв-й aЄA, aЄ[a] => aЄ[a][pic][b][pic][c][pic]…т.е.

А[pic][a][pic][b][pic][c][pic]…Т.к. [a][pic]A, [b][pic]A,

[c][pic]A…=>[a][pic][b][pic][c][pic]… [pic]A. Из этих 2-х включений =>

[a][pic][b][pic][c][pic]…=A. Покажем, что Ґa,bЄA, a?b(с чертой) =>

[a][pic][b]=Ш. Предположим: пусть [a][pic][b]?Ш => сущ-т сЄ[a] ^ cЄ[b] =>

a?c ^ c?b => но это противоречит усл-ю a?b(с чертой) => Ґa,bЄA, a?b(с

чертой) => [a][pic][b]=Ш.+ Мн-во всех смежных классов мн-ва А по отнош-ю

эквивал-ти наз-ся фактор-мн-во А по отнош-ю ?. Обозн. А|?.

Вопрос 17.

Группа. Прост-е св-ва групп. Подгруппы. Изоморфизмы гомомор-ы групп.

Если А?Ш, то n-мерной алгеб-й опре-й наз-ся «отношение Аn (А, т.е.

(?1,?2,…?n)(( ?1,?2,…?n)ЄAn. Алгеб-й с-й наз-ся не пустое мн-во А, на

котором опред-а совокуп-ть алгеб-х опер-й и отнош-й (А,[pic]f, [pic]p), где

А основное мн-во,[pic]f совокуп-ть алг-х опер-й, [pic]p совокуп-ть отнош-й.

Бинар-я опер-я (*) на мн-ве А наз-ся ассоц-й, если (Ґa,b,cЄA)

(a*b)*c=a*(b*c). Бин-я опер-я (*) опред-я на А наз-ся комут-й, если

(Ґa,bЄA) a*b=b*а. Полугруппой наз-ся с-а (А,*), сост-я из А?Ш и бин-й опер-

и (*) опре-й на А, кот-я ассоц-а. Если (*) доп-о комут-а, то полугр-а наз-

ся комут-й или абелевой. Моноидом наз-ся с-а (А,е,*), сост-я из А?Ш, выд-го

эл-та е и бин-й опер-и (*) опре-й на А, если выпол-ся 1) * - ассоц-а, 2) е

– нейт-й Эл-т относ-о *. Группой наз-ся с-а G=(G,e,*,’), где G?Ш, e - выд-й

эл-т, *- бинар-я опер-я, ' – унар-я опер-я, причем: 1)* ассоц-а, 2)e- нейт-

й эл-т относ-о *,т.е. (ҐaЄA) a*e=e*a=a, 3) (ҐaЄA) (сущ-т a’ЄG) a*a'=a'*a=e.

Если * ком-а, то группа абелева. Если * в группе обозн-ть «+», то имеем

аддит-ю группу, нейт-й Эл-т – «0», симмет-й для а: (-а)- против-й. Если *

обоз-м *(точка), то имеем мультип-ю группу. Св-ва групп. 1) Всякая группа

имеет ! нейтр-й эл-т. Док-во. Всякая группа явл-ся моноидом, а в моноиде

нейт-й эл-т !. 2) Ґэл-та аЄG сущ-т ! симмет-й Эл-т. 3) (Ґa,bЄG) a*x=b (1) и

x*a=b (2) одноз-но раз-ы. Док-во. 1. Рассм-м (1). x0 – реш-е (1),т.е.

a*x0=b. x0=е*x0=(a’*a)*x0=a’*(a*x0)=a’*b. x0=a’*b. Этот Эл-т опре-й одно-о,

т.к. Ґa одноз-о опред-н a’ и * есть отоб-е. *:A2(А, т.е. (a’,b)ЄA2. Одно-м

соотв-т Эл-т из мн-ва А. В данном случае x0. (a’,b)(x0. Ур-е a*x=b имеет !

реш-е x0=a’*b. 2.Рассм-м (2). (x*a)*a’=b*a’. x*(a*a’)=b*a’. x*e=b*a’. 4) В

группе имеет место правило сокр-я a*c=b*c => a=b. c*a=c*b =>a=b 5)

(a*b)’=b’*a’. 6) (а’)’=a.

Подмн-во А группы G наз-ся подгруппой этой группы, если оно само явл-ся

группой относ-но установ-й на G опер-и. Чтобы установить явл-ся ли подмн-во

А группы G группой нужно проверить 2 усл-я: для мульт-й группы: 1. Ґa,bЄA

=> abЄA 2. ҐaЄA => a-1ЄA.; для аддит-й группы: 1. Ґa,bЄA => a+bЄA 2. ҐaЄA

=> -aЄA. Группа G и G’ наз-ся изоморфными, если можно установить взаимно

одноз-е отобр-е ?: G ( G’, G=(G,e,*,’), G’=(G’,e’,*,’), при котором

?(a*b)=?(a)*?(b). Группа G наз-ся циклич-й, если все ее Эл-ы могут быть

предст-ы в виде целых степеней некоторого ее Эл-та а. Этот Эл-т наз-ся

образующим Эл-м.

Произ-е хА, ҐхЄG, A n=kj => n|k.+

Вопрос 18.

Кольца и поля.

Кольцом наз-ся с-а А=(А,0,1,+,-,*), А?Ш, 0,1 –выд-е Эл-ты, +,* бинар-е опре-

и, - унар-я опер-я, если 1) (А,0,+,-) аддит-я абел-я группа, 2) (А,1,*)

мульт-й моноид, 3) a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca, Ґa,b,cЄA. Кольцом наз-ся

числ. множ., на котором выполняются три опер-и: слож-е, умнож-е, вычит-е.

Св-ва колец. 1). A+b=a => b=0. 2) a+b=0 => b=-a. 3) a*0=0*a=0. Док-во.

a*0+ab=a(0+b)=ab. a0+ab = ab => a0 = 0. 0a+ba = a(0+b) = ba. 0a+ba = ba =>

0a = 0. 4) a(-b) = (-a)b = -ab. Док-во. a(-b)+ab = a(-b+b) = a0=0. a(-b)+ab

= 0 => a(-b) = -ab. 5) (-a)(-b) = ab. Док-во. (-a)(-b) = (-a)(-b)+0 = (-a)(-

b)+a(-b)+ab = ((-a)(-b)+a(-b))+ab = (-a+a)(-b)+ab = 0(-b)+ab = 0+ab = a(-

b)+ab = 0 => a(-b) = -ab. 6) a(b-c) = ab-ac. Док-во. a(b-c) = a(b+(-c)) =

ab+a(-c) = ab-ac. Полем наз-ся коммут-е кольцо, в котором 0?1 для Ґ Эл-та

а?0 сущ-т обратный Эл-т. Р(Р,0,1,+,-,*) – поле, если 1) (Р,0,1,+,-,*) комут-

е кольцо 0?1. 2) ҐаЄЗ, а?0 сущ-т а-1ЄР. Если Р – числовое мн-во, то для

поля можно дать опред-е. Эл-ты a,bЄA, где А кольцо, наз-ся делителями нуля

в кольце, если a?0, b?0, но ab=0.

Полем наз. числ множ. на котором выполняются 4 операции: слож, умнож,

вычит, деление (кроме деления на 0). Св-ва полей. 1. ab = 1 => a?0,b = a-1.

2. ac = bc ^ c?0 => a = b. 3. ab = 0 => a = 0 или b = 0. 4. a?0 ^ b?0 =>

ab?0 , a/b = ab-1. 5. a/b = c/d ( ad = bc. 6. a/b±c/d = (ad±bc)/bd. 7.

(a/b)*(c/d) = (ac)/(bd). 8. a/b = (ac)/(bc), c?0. 9. a/b+(-a/b) = 0. 10.

(a/b)*(b/a) = 1.

Страницы: 1, 2