Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

|Осн. понятия |Сходящиеся и |Экспонента или |Предел ф-ции в |Пределы ф-ции на|

|Грани числовых |расходящиеся |число е |точке |бесконечности |

|мн-в |посл-ти |Ф-ции одной |Свойства предела|Два |

|Числовые |Св-ва сходящихся|переменной |ф-ции в точке |замечательных |

|последовательнос|посл-тей |Обратные ф-ции |Односторонние |предела |

|ти |Теорема «Об | |пределы ф-ции в |Б/м ф-ции и их |

|Непр. ф-ции на |единственности | |т-ке: |сравнения |

|пр-ке |пределов» | |Предел ф-ции в |Непрерывные |

| |Теорема | |т-ке |ф-ции. |

| |«Сходящаяся | |Предел и |Непрерывность. |

| |посл-ть | |непрерывность | |

| |ограничена» | |функции | |

| |Теорема «О | |Предел. | |

| |сходимости | |Односторонний | |

| |монотон. | |предел. | |

| |посл-ти» | | | |

|1. Осн. понятия |4. Сходящиеся и |6. Экспонента |Предел ф-ции в |11. Пределы |

|Мат.модель – |расходящиеся |или число е |точке |ф-ции на |

|любой набор |посл-ти |Р-рим числ. |y=f(x) X |бесконечности |

|кр-ний; |Большое внимание|посл-ть с общим |опр. ( {xn} (X, |Они нужны для |

|неравенств и |уд-ся выяснению |членом |xn(x0 |исследования |

|иных мат. |вопроса: |xn=(1+1/n)^n (в |f(xn)(A,=> f(x) |поведения ф-ции |

|Соотношений, |обладает ли |степени n)(1) . |в т. x0 (при , |на переферии. |

|которая в |данная посл-ть |Оказывается, что|xn(x0) предел = |Опр. ф-ция f(x) |

|совокупности |сл-щим св-вом |посл-ть (1) |А |имеет предел |

|описывает |(сходимости) при|монотонно |А=lim(x(x0)f(x) |число А при x(+(|

|интересующий нас|неогранич. |возр-ет, |или f(x)(A при |если ( {xn} |

|объект. |Возрастании |ограничена |x(x0 |которая (к +( |

|Мн-во вещест. |номеров посл-ти |сверху и сл-но |Т-ка x0 может ( |соответствующая |

|чисел |эл-ты посл-ти |явл-ся |и ( мн-ву Х. |ей |

|разбивается: на |сколь угодно |сходящейся, | |последовательнос|

|рационал. и |близко |предел этой |Свойства предела|ть {f(xn)}(A в |

|иррац. Рац. – |приближаются к |пос-ти наз-ся |ф-ции в точке |этом случае мы |

|число, которое |некоторому числу|экспонентой и |1) Если предел в|пишем |

|можно |а или же этого |обозначается |т-ке сущ-ет, то |lim(x(+()f(x)=A.|

|представить в |св-ва нет. |символом |он единственный |Совершенно |

|виде p/q где p и|Опр Если для |е(2,7128… |2) Если в тке х0|аналогично с -(.|

|q – цел. числа. |любого ( >0 |Док-ть |предел ф-ции | |

|Иррац. – всякое |найдется такой |сходимость |f(x) |Опр. Будем |

|вещественное |номер N, для |посл-ти (1) |lim(x(x0)f(x)=A |говорить что |

|число, которое |любого n |Для док-ва |lim(x(x0)g(x)(B=|ф-ция f(x) имеет|

|не явл. |>N:(xn-a(< ( |введем вспом-ю |> то тогда в |пределом число А|

|рационал. |Все посл-ти |ф-цию |этой т-ке ( |при x(( {f(xn)} |

|Любое вещ. число|имеющие предел |y=(1+x)^1/x, x>0|предел суммы, |сходится к А |

|можно |наз-ся |Ясно что при |разности, |Бесконечные |

|представить в |сходящимися, а |знач. |произведения и |пределы ф-ции |

|виде бесконеч. |не имеющее его |x=1,1/2,1/3,…,1/|частного. |Вводятся как |

|десят. Дроби а, |наз-ся |n,… значение |Отделение этих |удобные |

|а1,а2…аn… где а |расходящимися. |ф-ции y |2-х ф-ций. |соглашения в |

|–люб. число, а | |совпадает с |а) |случае, когда |

|а1, а2 … аn |Связь сходящихся|соответствующими|lim(x(x0)(f(x)(g|конечные пределы|

|числа, приним. |посл-тей и б/м. |эл-ми (1). |(x))=A(B |не (-ют. |

|целые знач. |Дает сл. теорему|Док-м что ф-ция |б) |Р-рим на |

|Некоторые | |у монотонно |lim(x(x0)(f(x)(g|премере: |

|числовые |Теорема Для того|убывает и огран.|(x))=A(B |lim(x(o+)(1/x) |

|множества. |чтобы посл-ть xn|сверху => |в) |Очевидно не |

|Мн-ва – |имела пределом |монотонное возр.|lim(x(x0)(f(x):g|сущ-ет, т.к. для|

|первичное |число а |посл-ти (1) и |(x))=A/B |( {xn}(+о |

|понятие, на |необходимо, |ограниченность |г) lim(x(x0)C=C |посл-ть |

|уровне здравого |чтобы эл-ты этой|ее сверх. |д) |{f(xn)}={1/xn}, |

|смысла, его не |посл-ти можно |Поскольку lg x |lim(x(x0)C(f(x)=|а числ. посл-ть |

|возможно точно |было представить|явл-ся монотонно|C(A |сводятся к +(. |

|определить. |в виде xn=a+(n, |возр., но |Док-во xn(x0, ( |Поэтому можно |

|Для описания |где посл-ть |монотонное убыв.|lim(x(x0)f(x)=A |записать |

|мн-в единая |{(n}(0, т.е. |ф-ции у и ее |по опр. f(xn)(A|lim(x(o+)1/x=+( |

|символика, а |является б/м. |огранич. сверху |{f(xn)} |что говорит о |

|именно, если в |Док-во |эквивалентны |Односторонние |неограниченных |

|мн-во А входят |а) Допустим, что|том, что ф-ция |пределы ф-ции в |возрастаниях |

|только эл. х, |xn(a и укажем |lgy, которая |т-ке: |предела ф-ции |

|которые обладают|посл-ть (n |равняется |Опр. А - предел |при приближении |

|некоторым св-вом|удовл. равенству|1/хlg(1+x) (2) |ф-ции f(x) |к 0. |

|S(x), то тогда |xn=a+(n. Для |имеет те же |справа от точки |Аналогично с -(.|

|мн-во А |этого просто |самые св-ва, |х0, если f(x)(A | |

|описывается |положим (n=xn-a,|т.е. 0x0|Более того |

|А=х( вып-ся усл. |n(((xn-a( равно |1/x1(lg(1+x1)>1/|Формально это |употребляются в |

|Подмн-ва – если |растоянию от xn |x2( (lg(1+x2) |означает, что |качестве предела|

|А и В 2 мн-ва и |до а ( 0 => (n |(3). Огранич. |для любой |ф-ции в данной |

|все эл-ты мн-ва |б/м и из |сверху ( |посл-ти {xn}(x0,|т-ке лишь |

|А сод-ся в В, то|равенства |M:1/xlg(1+x)(lgM|вып-ся условие |условно и |

|А наз-ся |преобразования |(x>0 (4). |xn>x0, f(x)(A. |означают |

|подмн-вом В, А |определяю (n |Возьмем любую |Обозначим |например, что |

|В, если в В |получаем |лин. ф-цию вида |f(x0+0) и f(x0+)|если {xn}(x0 то |

|сод-ся эл-ты |xn=a+(n. |y=kx которая |lim(x(x0+0)f(x)(|{f(xn)}(((,( |

|отличные от | |превосходит | |12. Два |

|эл-тов мн-ва А, |Свойство б/м |lg(1+x) при всех|И также с |замечательных |

|то В строго шире|Если {xn},{yn}- |x>0. |минусами. |предела |

|А, то А наз-ся |любые посл-ти, |tg(1=(lg(1+x1))/|Признак ( |1) |

|собственным |то их сумма |x1 |предела |lim(x(0)sin/x=1 |

|подмн-вом В. |{xn+yn}, это |(1>(2=>tg(1>tg(2|Т-ма Для того | |

|А(В. А=В- мн-ва |есть пос-ть с | |чтобы f(x) имела|2) Явл. |

|совпадают. |общим членом |tg(2=(lg(1+x2))/|предел в т-ке х0|обобщением |

|Операции с |xn+yn. |x2 |необх., тогда в |известного |

|мн-воми А |Аналогично с |Поскольку (1>(2,|этой т-ке ф-ция |предела о |

|В=то tg(1>tg(2, а |частным и |это равносильно |совпадающ. Между|Справедливо сл. |

|– обьединение |умножением. |равенству (3). |собой одностор. |предельное |

|мн-в А и В. |Т-ма о св-вах |Поскольку |предел |соотношение: |

|А( В=б/м пересечение|а) {xn}и{yn}-б/м|=> kx> |(1), которые |n=e (1) |

|мн-в А и В. |пос-ти, б/м |>lg(1+x) (x>0 |равны пределу |lim(n(0)(1+x)^1/|

|А\ В=Принимая во дополн. к |разность и |внимания ф-ции у|Док-во. f(x) |t=1/x => при х(0|

|м-ву В во мн-ве |произведение |с пос-ть xn |имеет в т-ке х0 |t(( из предела |

|А |являются б/м |приходим к |предел А, тогда |(2) => lim(x(() |

|Числовые мн-ва |2) Произведение |нужному |f(x)(A |(1+1/x)^x=e (3) |

| |любой огранич. |утверждению. |независимо от |Док-во |

|R,N,Z,Q - |посл-ти на б/м |Число е явл-ся |того |1)x(+( n x:n=[x]|

|стандартные |являются б/м |неизбежным |приближается ли |=> n(x |

|обозначения мн-в|!О частном не |спутником |х к х0 по |1/(n+1)0 сущ-ет номер|такие процессы |Число А наз-ся |новое |

|замкнутый |N для всех |зависят от |пределом ф-ции в|неравенство |

|промежуток сод.|номеров n>N |времени через |т-ке х0 если |(1/(n+1))^n((1+1|

|гранич. т-ки. |(xn(>c. |экспонициальную |((>0 найдется |/n)^x( |

|(а,в] – |!Понятие б/б не |ф-цию y=e^x и ее|такое число В>0,|(1+1/n)^(n+1) |

|полуинтервал. |совпадает с |модификации. |для всех х |(4) |

|Окрестностью |неограниченной: |Пр-р: если |отличных от х0 и|Рассмотрим |

|т-ки х наз-ся |посл-ть может |ставка сл-ных % |(х-х0)0 из |Покажем что их |

|х, необязательно|б/б. |в банк |(х-х0( |/(n+1))^n+1-1= |

|веществ. чисел. |угодно большие |годовая ставка)|(f(x)-x0( y(+(, при |

|наз-ся |Теорема «Об |ув-ся. Мат-ки |непрерывность |x(-(. |

|ограниченым |единственности |это соотв-ет |функции |lim(x(-()(1+1/x)|

|Если мн-во имеет|пределов» |тому, что |Пусть ф-ция f(x)|^x=lim(y(+()(1-1|

|1 верхнюю грань |Если посл-ть xn |выражение (5) |определена на |/y)^-y= |

|то она имеет их |сходится, то она|надо р-равать, |некотором пр-ке |lim(y(+()((y-1)/|

|бесчисленное |имеет |как общий член |Х* и пусть точка|y)^y=lim(y(+()(1|

|мн-во. |единственный |посл-ти Xm, а |х0(Х или х0(Х. |+1/(y-1))^y=e |

|Пример X=R+ - |предел. |непрерывному |Опр. Число А |3) Пусть x(( |

|ограничено |Док-во (от |нач-нию соот-ет |наз-ся пределом |произвольным |

|снизу, но не |противного) |наращенная ф-ция|ф-ции f(x) в |образом это |

|сверху, значит |{xn} имеет два |lim(n(()P(1+r/m)|точке х=х0, если|означает при |

|не ограничено. |разл. Предела a |^mn=Pe^rn |для ( (>0 ( (>0 |любом любом |

|Точные грани |и b, а(b. Тогда |Lg(e)x имеет |такое, что для |выборе посл-ти |

|числовых мн-в |согласно |спец. |всех х(Х, х(х0, |xn сходящихся к |

|Пусть мн-во Х |определению |Обозначение lnx.|удовлетвор. |(( мы должны |

|ограничено |пределов любая | |неравенству |иметь в силу (3)|

|сверху, если это|из окрестностей |Принцип |(х-х0(0. Тогда для |соотношение 5 |

|Число Х* наз-ся |содержать все |bn], (n=1,2,…; |любого числа (>0|если заменить |

|точной верхн. |эл-ты начиная с |2) Длины |выполняется |xn(x‘nx‘‘n. По |

|гранью, мн-ва Х,|некоторого |отрезков (0 с |треюуемое |т-ме о связи |

|если во-первых |номера. Получим |ростом n, т.е. |неравенство |13. Б/м ф-ции и |

|оно явл. верхн. |противоречие |lim(n(()(bn-an)=|(f(x)-C(=(C-C(=0|их сравнения |

|гранью этого |теор. док-на. |0. Посл-ть с | |Опр. Ф-ция ((х) |

|мн-ва, а |Теорема |указанными |lim(x(x0)C=C |наз-ся б/м если|

|во-вторых при |«Сходящаяся |св-вами наз-ют |Свойства |ее предел в этой|

|сколь угодном |посл-ть |вложенными. |пределов. |т-ке равен 0 из |

|уменьшении Х* |ограничена» |Теорема Любая |Непрерывность |этого |

|получ. число |Пусть посл-ть |посл-ть |ф-ции. |определения |

|перестает быть |{xn}(а ( >о |вложенных |Теорема. Пусть |вытекает |

|верх. гранью |N:(n>N(xn-a(N |т-ку с |т-ке х0 пределы |а) |

|supX=x*, а нижн.|=> что каждый из|принадлежащую |В и С. Тогда |Алгебраическая |

|грань infX=x* |членов посл-ти |всем отрезкам |ф-ции |сумма и |

|Теорема. Любое |удовлетворяет |посл-ти |f(x)(g(x),f(x)g(|произведение б/м|

|непустое |неравенству(xn((|одновременно, с |x) и f(x)/g(x) |ф-ций есть б/м |

|ограниченное |c = max |общая точка всех|(при С(0) имеют |ф-ции. |

|сверху (снизу) |отрезков к |которой они |пределы, равные |б/м ф-ции на |

|имеет точную |Теорема «Об |стягиваются. |соответственно |ограниченную |

|верх(ниж) грань.|арифметических |Док-во |В(С, В(С, В/С, |ф-цию есть б/м |

| |дейсьвиях» |{an}-посл-ть |т.е. |ф-ция, т.е. если|

|Таким образом у |Пусть посл-ть |левых концов |lim[f(x)(g(x)]= |((х)(0 при х(х0,|

|огран. мн-ва обе|{xn}(a,{yn}(b |отрезков явл. |B(C, |а f(x) |

|грани (, док-во |тогда |монотонно не |lim[f(x)(g(x)]= |определена и |

|основано на |арифметические |убывающей и |B(C, |ограничена (( |

|непрерывности |операции с этими|ограниченной |lim[f(x)/g(x)]= |С:(((х)((С)=> |

|мн-ва действит. |посл-тями |сверху числом |B/C |((х)((х)(0 при |

|чисел. |приводят к |b1. |Теорема также |х(х0 |

|3. Числовые |посл-тям также |{bn}-посл-ть |верна если х0 |Для того чтобы |

|последовательнос|имеющие пределы,|правых концов |явл. ((, ((, ( |различать б/м по|

|ти |причем: |монотонно не |Опр. Ф-ция f(x) |их скорости |

|Если для каждого|а) предел |возрастающей, |наз-ся |стремления к 0 |

|нат. числа n |lim(n(()(xn(yn)=|поэтому эти |непрерыной в |вводят сл. |

|определено |a(b |посл-ти явл. |точке х=х0, если|понятие: |

|некоторое |б) предел |сходящимися, |предел ф-ции и |1) Если |

|правило |lim(n(()(xn(yn)=|т.е. сущ-ют |ее значение в |отношение 2-х |

|сопоставляющее |a(b |числа |этой точке |б/м ((х)/((х)(0 |

|ему число xn, то|в) предел |с1=lim(n(()an и |равны, т.е. |при х(х0 то |

|мн-во чисел |lim(n(()(xn/yn)=|с2=lim(n(()bn =>|lim(x(x0)f(x)=f(|говорят что б/м |

|х1,х2, … ,хn, … |a/b, b(0 |c1=c2 => c - их|x0) |( имеет более |

|наз-ся числовой|Док-во: |общее значение. |Теорема Пусть |высокий порядок |

|последовательнос|а)xn(yn=(а+(n)((|Действительно |ф-ции f(x) и |малости чем (. |

|тью и |b+(n)=(a(b)+((n(|имеет предел |g(x) непрерывны |2) Если |

|обозначается |(n) Правая часть|lim(n(()(bn-an)=|в т-ке х0. Тогда|((х)/((х)(A(0 |

|{xn}, причем |полученная в |lim(n(()(bn)- |ф-ции f(x)(g(x),|при х(х0 |

|числа образующие|разности |lim(n(()(an) в |f(x)(g(x) и |(A-число), то |

|данную посл-ть |представляет |силу условия 2) |f(x)/g(x) также |((х) и ((х) |

|наз-ся ее эл-ми,|сумму числа a+b |o= |непрерывны в |наз-ся б/м |

|а эл-т хn общим |б/м посл-тью, |lim(n(()(bn-an)=|этой т-ке. |одного порядка. |

|эл-том посл-ти .|поэтому стоящая |с2-с1=> с1=с2=с |10. Предел. |3) если |

| |в левой части |Ясно что т. с |Односторонний |((х)/((х)(1 , то|

|!Порядок |xn+yn имеет |общая для всех |предел. |((х) и ((х) |

|следования |предел равный |отрезков, |Опр.Числом А |наз-ся |

|эл-тов оч. |a(b. Аналогично |поскольку (n |наз-ся предел |эквивалентными |

|важен, |др. св-ва. |an(c(bn. Теперь |f(x) в т-ке х0, |б/м (((х)~((х)),|

|перестановка |б) |докажем что она |если для любой |при х(х0. |

|хотя бы 2-х |xn(yn=(а+(n)((b+|одна. |окрестности А( |4) Если |

|эл-тов приводит |(n)=ab+(nb+a(n+(|Допустим что ( |окрестность |((х)/(^n(х)(А(0,|

|к др. посл-ти. |n(n |другая с‘ к |(х0):(x(окрестно|то ((х) наз-ся |

|Основные способы|(n(b – это |которой |сти (x0) |б/м n-ного |

|задан. посл-ти: |произведение |стягиваются все |выполняется |порядка |

|а) явный, когда |const на б/м |отрезки. Если |условие |относительно |

|предъявляется |а((n(0, (n(n(0, |взять любые не |f(x)(окрестности|((х). |

|ф-ла позволяющая|как произведение|пересекающиеся |. |Аналогичные |

|по заданному n |б/м. |отрезки с и с‘, |Теорема Все |определения для |

|вычислить любой |=> поэтому в |то с одной |определения |случаев: х(х0-, |

|эл-т n, т.е. |правой части |стороны весь |предела |х(х0+, х(-(, |

|xn=f(n), где f- |стоит сумма |«хвост» посл-тей|эквивалентны |х(+( и х((. |

|некоторая ф-ция |числа а(b+ б/м |{an},{bn} должен|между собой. |14. Непрерывные |

|нат. эл-та. |посл-ть. По т-ме|нах-ся в |Опр. Число А |ф-ции. |

|б) неявный, при |О связи |окрестностях |называется |Непрерывность. |

|котором задается|сходящихся |т-ки с‘‘(т.к. an|пределом ф-ции |Опр. f(x) |

|некоторое |посл-тей в б/м |и bn сходятся к |f(x) справа от |непрерывны Х0 и |

|рекуррентное |посл-ти в правой|с и с‘ |т.х0(правым |при этом ее |

|отношение и |части xn(yn |одновременно). |предело f(x0)) |предел в этой |

|несколько первых|сводится к a(b |Противоречие |если f(x)(A при |т-ке сущ-ет и |

|членов посл-ти. |Практический |док-ет т-му. |х(х0, х>x0 |равен знач. |

|Пример: |вывод состоит в |Принцип |Формально это |ф-ции в этой |

|а) xn=5n x1=5, |том, что нахожд.|вложенных |означает, что |т-ке, т.е. |

|x2=10 |пределов |отрезков |для любой |lim(x(x0)f(x)=f(|

|б) x1=-2 xn=4n-1|посл-тей |Т-ма. Любая |посл-ти |x0)-непрерывност|

|–3, n=2,3… |заданных сл. |пос-ть вложенных|сходящейся к х0 |ь ф-ции в т-ке. |

|х2=-11, х3=-47 |выражениями |отрезков |при xn>x0 |Из определения |

| |можно сводить к |содержит |выполняется |вытекает что в |

|Ограниченные |более простым |единств. т-ку |условие f(xn)(A |случае |

|последовательнос|задачам |с(всем отрезкам |Запись: f(x0+o),|непрерывности |

|ти(ОП) |вычисления lim |посл-ти |f(x0+ ). |ф-ции в данной |

|Посл-ть {xn} |от составляющих |одновременно, к |lim(x(x0+o)f(x) |т-ке вычитание |

|наз-ся огран. |этого выр-ния |которой они |где запись |пределов |

|сверху(снизу), |Посл-ть {xn} |стягиваются. |x(x0+o как раз |сводится к |

|если найдется |наз-ся возр., |Док-во. {an} |означает |вычит. знач. |

|какое-нибудь |если |пос-ть левых |стремление к х0 |ф-ции в данной |

|число {xn} M(m) |x1чем |lim(x(x0)x=x0 |

|(n) посл-ть |если |неубыв. И огран.|х0. |(1‘). Т.е знак |

|наз-ся огранич.,|x1(x2(…(xn(xn+1(|свеху числом b1;|Опр. Предел |предела у |

|если она |…; убывающей, |посл-ть правых |слева аналогично|непрерывной |

|огранич. сверху |если |концов {bn} |и исп-ся запись |ф-ции можно |

|и снизу. |x1>x2>…>xn>xn+1>|монотонно не |f(x0-o);f(x0-) |вносить в |

|Посл-ть {xn} |…; невозр., если|возр. и |Теорема. Для |аргумент ф-ции. |

|наз-ся |x1(x2(…(xn(xn+1(|ограничена снизу|того чтобы ф-ция|Геометрически |

|неогранич., если|… |а1, поэтому эти |f(x) имела |непрерывность |

|для любого |Все такие |посл-ти сходящ.,|предел в точке |ф-ции в т-ке х0 |

|полного числа А |посл-ти наз-ся |т.е. ( числа |х0 необходимо и |означает что ее |

|сущ-ет эл-т хn |монотонными. |c1=lim(n(()an и |достаточно когда|график в этой |

|этой посл-ти, |Возр. и убыв. |c2=lim(n(()bn. |в этой т-ке |т-ке не имеет |

|удовлетворяющий |наз-ся строго |Докажем что |ф-ция имеет |разрыва. Если |

|неравенству |монотонными |с1=с2 и сл-но их|совпадающие |обозначить через|

|(xn(>А. |Монотонные |общая знач. |между собой |(у приращение |

| |посл-ти |может обозначить|одностороние |ф-ции, т.е. |

Страницы: 1, 2