Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

| |ограничены с |через с. Действ.|пределы |(у=f(x0+(x)-f(x0|

| |одной стороны, |имеется предел |(f(x0+)=f(x0-)) |) (приращение |

| |по крайней мере.|lim(n(()(bn-an)=|значение которые|ф-ции в т. х0). |

| |Неубывающие |lim(n(()bn( |равны пределу |«(» - символ |

| |ограничены |lim(n(()an=c2-c1|ф-ции, т.е. |приращения. |

| |снизу, например |=c ясно что с |f(x0+)= |Приращение |

| |1 членом, а не |общая для всех |f(x0-)=lim(x(x0)|аргумента в т-ке|

| |возрастыющие |отрезков |f(x)=A |х0 это |

| |ограничены |поскольку для ( |Док-во |соответствует |

| |сверху. |n an(c(bn. |а) допустим |тому, что |

| |Теорема «О |Осталось |ф-ция имеет в |текущая т. х, то|

| |сходимости |доказать |точке х0 предел |условие |

| |монотон. |единство данной |равный А, тогда |непрерывности в |

| |посл-ти» |т-ки (от |f(x)( А |т-ке х0 |

| |Всякая |противного). |независимо от |записывается сл.|

| |монотонная |Допустим есть |того, |образом |

| |посл-ть явл-ся |c‘(c к которой |приближается ли |lim((x(0)(y=0~ |

| |сходящейся, т.е.|стягиваются все |х к х0 по |(у(0 (1‘‘). Если|

| |имеет пределы. |отрезки. Если |значению > x0 |в т-ке х0 ф-ция |

| |Док-во Пусть |взять любые |или |

| |которое |должен нах-ся в |равны |(y(0 при (х(0. |

| |принимает эл-т |окрестности т-ки|f(x0+)=f(x0-) |Если понятие |

| |этой посл-ти |с, а др. в с‘, |докажем, что ( |предела приводит|

| |согласно усл. |т.к. an и bn( c |просто предел. |к понятию непр. |

| |Теоремы это |и c‘ одновр. |Возьмем |Ф-ции то понятие|

| |мн-во огранич., |Противореч. |произвольную |одностороннего |

| |поэтому по |док-ет т-му. |{xn}(х0 разобьем|предела приводит|

| |соотв. Теореме |7.Ф-ции одной |если это |к понятию |

| |оно имеет |переменной |необходимо эту |односторонней |

| |конечную точную |Если задано |последовательнос|непр. точки. |

| |верх. грань supX|правило по |ть на две |Опр. Если f(x) |

| |xn(supX |которому каждому|подпоследователь|имеет предел |

| |(обозначим supX |значению перем. |ности. |справа в т-ке |

| |через х*). Т.к. |Величины х из |1. члены которые|х0(=f(x0+)) и |

| |х* точная верх. |мн-ва Х ставится|нах-ся слева от |этот предел |

| |грань, то xn(x* |соответствие 1 |х0 {x‘n}; |равен значению |

| |( n. ( ( >0 |значению перем. |2. члены которые|ф-ции ф-ции в |

| |вып-ся нер-во ( |У то в этом |нах-ся справа от|т-ке х0, т.е. |

| |xm(пусть m- это |случае говорят, |х0 {х‘‘n}; |f(x0+)=lim(x(x0,|

| |n с |что задана ф-ция|x’n(x0-o |x>x0)f(x)=f(x0),|

| |крышкой):xm>x*-(|1-й переменной. |x’’n(x0+o, т.к. |то ф-ция f(x) |

| |при ( n>m => из |Y=f(x); x |односторонние |наз-ся непр. |

| |указанных 2-х |–аргумент |пределы ( и |справа в т-ке |

| |неравенств |независ. |равны, то |х0. |

| |получаем второе |перемен., y- |f(x‘n)(A и |Аналогично при |

| |неравенство |зав. пер. |f(x‘‘n)(A |вып-нии усл. |

| |x*-((xn(x*+( при|X=Df=D(f) |поэтому посл-ть |f(x0-)=lim(x(x0,|

| |n>m эквивалентно|y={y;y=f(x),x(X}|значений ф-ций |xm. Это |1) аналит. |также след. |непр. слева в т.|

| |означает, что x*|способ; |справа: |х0. |

| |явл. пределом |2)Табличный |1){f(x‘n)} и |Ясно что |

| |посл-ти. |способ; |{f(x‘‘n)} имеет |справедлива |

| | |3) Графический |f(xn)(A на |сл.теорема |

| | |способ; |основании связи |вытекающая из |

| | |4)Min и max |между |связи |

| | |ф-ции: ф-ция |сходимостью |односторонних |

| | |f(x) ограничена,|последовательнос|пределов ф-ция |

| | |если огран. ее |тей |f(x) непр. в |

| | |мн-во знач У, | |т-ке х тогда, |

| | |т.е. ( m,M: | |когда она непр. |

| | |m(f(x)(M (x(X | |в этой т-ке, как|

| | |m(f(x) (x(X => | |справа, так и |

| | |огр. сн.; | |слева. |

| | |f(x)(M, (x(X=> | |f(x0-)=f(x0+)=f(|

| | |огр. св. | |x0) |

| | | | |Опр. Ф-ция f(x) |

| | |Обратные ф-ции | |непрерывна на |

| | |Если задано | |некотором пр-ке |

| | |правило по | |D, если в каждой|

| | |которому каждому| |т-ке этого пр-ка|

| | |значению y(Y | |при этом, если |

| | |ставится в | |пр-ток D |

| | |соответствие ( | |содержит |

| | |ед. знач. х, | |граничную т-ку, |

| | |причем y=f(x), | |то будем |

| | |то в этом случае| |подразумевать |

| | |говорят, что на | |соотв. одностор.|

| | |мн-ве Y | |непр. ф-ции в |

| | |определена ф-ция| |этой т-ке. |

| | |обратная ф-ции | |Пример Р-рим |

| | |f(x) и | |степенную |

| | |обозначают такую| |производст. |

| | |ф-цию x=f^-1(y).| |ф-цию |

| | | | |Q=f(k)=k^1/2 |

| | | | |Q-объем выпуска |

| | | | |продукции, к – |

| | | | |объем капитала. |

| | | | |D(f)=R+=>f(0)=0 |

| | | | |и очевидно f(0+)|

| | | | |( и равно 0 => |

| | | | |что данная ф-ция|

| | | | |непр. на своей |

| | | | |обл. опр-ния. |

| | | | |Большинство |

| | | | |ф-ций исп-мых в |

| | | | |эк-ке непр. |

| | | | |Например непр. |

| | | | |ф-ции означает, |

| | | | |что при малом |

| | | | |изменении |

| | | | |капитала мало |

| | | | |будет меняться и|

| | | | |выпуск пр-ции |

| | | | |((Q(0 при (k(0).|

| | | | |Ф-ции которые не|

| | | | |явл. непр. |

| | | | |наз-ют |

| | | | |разрывными |

| | | | |соотв. т-ки в |

| | | | |которых ф-ция не|

| | | | |явл. непр. |

| | | | |наз-ся т-кой |

| | | | |разрыва |

|Классификация |Дифференцировани|Выпуклые и |Применение 1й |Теорема |

|т-ки разрыва |е ф-ций |вогнутые ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|

|Непр. ф-ции на |Пр-ные и |Т-ки перегиба |ф-ций |расса |

|пр-ке |дифференциалы |Выпуклость и |Т-ма Ферма Т-ма |Теорема |

|Теорема |выс. Порядков. |вогнутость. |Коши |Больцано-Коши |

|ВЕЙЕРШТРАССА |Теорема Ферма |Б/б пол-ти |Интервалы |Теорема |

| |Теорема Ролля |Гладкая ф-ция |монотонности |Вейерштрасса |

| |Теорема |Эластичность |ф-ции | |

| |Логранджа |ф-ций |Т-ма Логранджа. | |

| |Теорема Коши | |Т-ма Ролля Т-ма | |

| |Правило Лопиталя| |Тейлора Т-ма | |

| | | |Коши Правило | |

| | | |Лопиталя. | |

| | | |Производная | |

| | | |обратной ф-ции | |

|15. |16. |Выпуклые и |Применение 1й |Теорема |

|Классификация |Дифференцировани|вогнутые ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|

|т-ки разрыва |е ф-ций |Для хар-ки |ф-ций |расса Из любой |

|Все т-ки р-рыва |Центральная идея|скорости возр. |Все применения |огран. посл-ти |

|делятся на 3 |диффер. ф-ций |или убыв. ф-ции,|базируются на |можно выбрать |

|вида: т. |явл-ся изучение |а также крутезны|опред-нии |сход. |

|устранимого |гладких ф-ций |гр-ка ф-ции на |пр-ной, как |подпосл-ть. |

|р-рыва; точки |(без изломов и |участке |предела |Док-во |

|р-рыва 1-го , и |р-рывов кривые) |монотонности |разностного |1. Поскольку |

|2-го рода. |с помощью |вводится понятия|отношения, а |посл-ть |

|а) если в т-ке |понятия пр-ной |вогн. вып-ти |также на сл-щей |ограничена, то (|

|х0 ( оба |или с помощью |ф-ции на |т-ме. |m и M, такое что|

|односторонних |линейных ф-ций |интервале, |Т-ма Ферма. Если|( m(xn(M, ( n. |

|предела, которые|y=kx+b обладает |частности на |диф. на |(1=[m,M] – |

|совпадают между |простейшими |всей числ. |интервале (a,b) |отрезок, в |

|собой f(x0+)= |наглядн. |приямой. |f(x) имеет в |котором лежат |

|f(x0-), но ( |ф-циями; у=k‘ =>|Пр-р. Пусть |т-ке ч0 |все т-ки |

|f(x0), то такая |k>0 то у возр. |ф-ция явл-ся |локальный |посл-ти. |

|т-ка наз-ся |при всех х, |пр-ной ф-цией |экстремум, то |Разделим его |

|точкой |k0. |которых пр-ная |половина, где |

|Если по ф-ции f |окр-тях т-ки х0,|На инт. От (0,a)|ф-ции f(x) |лежит |

|построить новую |таким приращения|ф-ция возр. все |обращается в 0 |бесконечное |

|ф-цию положив |(х эл-нт. |быстрее. Его |наз-ся крит. |число т-к |

|для нее знач. |Составим соотв. |можно р-ривать, |т-ми f(x). Из |посл-ти. Делим |

|f(x0)= |ему приращения |как этап |т-мы Ферма => |его пополам. По |

|f(x0-)=f(x0+) и |ф-ции т-ки х0. |образования |экстремум надо |краней мере в |

|сохранить знач. |(y=(f(x0)=f(x0+(|фирмы вначале |искать только |одной из |

|в др. т-ках, то |x)-f(x0) |которого выпуск |через крит. |половинок отр. |

|получим исправл.|Образуем |растет медленно,|т-ки. |(2 нах-ся |

|f. |разностное |поскольку первые|Т-ма Коши. Пусть|бесконечное |

|б) если в т-ке |отношение |рабочие не |ф-ции f(x) и |число т-к |

|х0 ( оба |(y/(x=(f(x0)/(x |прошли период |g(x) непрерывны |посл-ти. Эта |

|1-стороних |(1) (это |адаптации, но с |на [a,b] и диф. |половина - (3. |

|предела f(x0(), |разностное |теч. времени |на (a,b). Пусть |Делим отрезок (3|

|которые не равны|отношение явл. |эффект привл. |кроме того, |… и т.д. |

|между собой |ф-цией (х, т.к. |доп. раб. |g‘(x)(0, тогда (|получаем посл-ть|

|f(x0+)(f(x0-), |х0-фиксирована, |рабочих |т-ка c((a,b) |вложенных |

|то х0 наз-ся |причем при (х(0 |становится все |такая, что |отрезков, длинны|

|т-кой р-рыва |мы имеем дело с |больше, и соотв.|справедлива ф-ла|которых |

|первого рода. |неопр. 0/0). |ув-ся крутизна |(f(b)-f(a))/(g(b|стремятся к 0. |

|в) если в т-ке |Опр. Пр-ной |графика. На |)-g(a))=f‘(c)/g‘|Согластно о т-ме|

|х0 хотя бы 1 из |ф-ции y=f(x) |((,a) ф-ция |(c) |о вложенных |

|односторонних |наз-ся предел |возр. все медл. |Интервалы |отрезках, ( |

|пределов ф-ции |разностного |и гр. становится|монотонности |единств. т-ка С,|

|не ( или |отношения 1 (при|все более |ф-ции |кот. принадл. |

|бесконечен, то |условии если он |пологой. а – это|Т-ма. Пусть f(x)|всем отрезкам |

|х0 наз-ся т-кой |(), когда (х(0. |пороговое знач. |диффер. На |(1, какую-либо |

|р-рыва 2-го |Производная это |числ. раб. силы |интервале (a,b),|т-ку (n1. В |

|рода. |предел отношения|начиная с |тогда |отрезке (2 |

|При исслед. |приращения в |которого привл. |справедливы сл. |выбираю т-ку |

|Ф-ции на непр. |данной т-ке к |доп. раб. силы |утверждения f(x)|xn2, так чтобы |

|классификации |приращению |начиная с |монотонно возр. |n2>n1. В отрезке|

|возможных т-к |аргумента при |которого привл. |(убывает) на |(3 … и т.д. В |

|р-рыва нужно |усл., что |раб. силы дает |интервале (a,b) |итоге пол-ем |

|применять во |посл-ть ( к 0. |все меньший |тогда, когда |посл-ть xnk((k. |

|внимание сл. |Эта производная |эффект в объемке|f‘(x)(0 на |Теорема |

|замечания: |обозначается |вып-ка. А(х) |интервале (a,b) |Больцано-Коши |

|1) Все |через df(x0)/dx |возр. f‘(x)>0 |и f‘(x)>0 |Пусть ф-ция |

|элементарные |или f‘(x0), у‘ |(x(0, но на |(f‘(x) |или же речь идет|как (0;() f‘ |х( интерв. |принимает зн-ния|

|при исл. |о пр-ной в любой|убыв., а в т-ке |монотонно |равных знаков, |

|элементарных |текущей т-ке х. |а-max. По |убывает, |тогда ( т-ка с (|

|ф-ций нужно |Итак согласно |критерию |касательная |(a,b) в которой |

|обращать |определению |монотонности это|имеет тупой угол|ф-ция обращается|

|внимание на |f‘(x0)=lim((x(0)|означает на |наклона f‘(x1) |c(a, c(b. |

|понять опираясь |непрерывна в |(a,b) |при сравнении с |Предположим |

|на их геометр. |этой т-ке, |2)Если в пункте |ф-лой приращения|f(c)=0, что это |

|св-ва: |причем имеет |1 вып-ся строгие|ф-ций с диф. |не так, тогда ( |

|график непр. |место разложения|нер-ва 2-й |заметим, что (7)|окрестность т-ки|

|ф-ции на пр-ке D|(f в т-ке х0 |пр-ной, то ф-ция|явл. точной |с в пределах |

|представляет |(f(x0)=f(x0+(x)-|наз-ся строго |ф-лой, однако |которой ф-ция |

|сплошную(без |f(x0)= |выпуклой(вогнуто|теперь пр-ная |сохраняет знак, |

|р-рывов) кривую |f‘(x0)(x+(((x)(x|й) на интервале |фолжна считаться|но это не |

|на пл-тях и |(3), где |(a,b) |в некоторой |можетбыть, т.к. |

|след-но может |(((x)-б/м ф-ия |Т-ки перегиба |средней т-ке С |по разные |

|отображена без |при (х(0 |Опр. Т-ки разд. |«алгоритм» |стороны т-ки с |

|отрыва ручки от |Док-во. Заметим,|интервалы |выбора которой |ф-ция имеет |

|бумаги. |что разложение |строгой |неизвестен. |разный знак. |

|I) Ф-ция непр. в|(3) верно, что |выпуклости и |Крайнее значение|f(с)=0. |

|т-ке х0 |из него сразу |строгой |(a,b) не |Теорема |

|обязательно |следует что при |вогнутости |запрещены. |Вейерштрасса |

|ограничена в |(х(0 (f(x0)(0, |наз-ся т-ми |Придадим ф-ле |Непрерывная |

|окрестностях |=> в т-ке х0 |перегиба т. х0 |(7) классический|ф-ция на отрезке|

|этой т-ки.(св-во|ф-ция непр. |есть т-ка |вид => x=a |ограничена. |

|локал. |Поэтому осталось|перегибы, если |x+(x=b+> тогда |Док-во |

|огранич-ти) |док-ть рав-во |f‘‘(x0)=0 и 2-я |ф-ла |Предположим что |

|Док-во |(3). Если пр-ная|пр-ная меняет |(7)=(f(b)-f(a))/|ф-ция не |

|использует |( то из |знак при |(b-a)=f‘(c) (7‘)|ограничена. |

|опр-ние на языке|определения (2) |переходе через |– ф-ла конечных |Возьмем целое |

|( и (. Если f |и связи предела |х0=> в любой |приращений |пол-ное n, т.к. |

|непр. в т-ке х0 |с б/м =>, что ( |т-ке перегиба |Логранджа. |ф-ция не |

|то взяв любое |б/м ф-ция (((х) |f‘(x) имеет |(f(b)-f(a))/(b-a|ограничена, то |

|(>0 можно найти |такая что |локальный |)=f‘(c) (1) |найдется |

|(>0 |(f(x0)/(x=f‘(x0)|экстремум. |Док-во сводится |xn([a,b], такое |

|(f(x)-f(x0)(n. |

|при (х-х0( значит эго|интервала, лежит|соблюдены, |сходится f(x0) |

|знач. ф-ции f(x)|отн-ние = 0. |ниже (выше) гр. |поэтому ( т-ка С|(f(xnk)(>nk, a |

|непр. на отрезке|2)Пр-ная |ф-ции. |на (a,b) g‘(c)=0|nk((((f(xnk)(((,|

|[a,b] и f(a)=A, |степенной ф-ции,|y=y0+f‘(x0)(x-x0|g‘(c)=f‘(x)-(f(b|т.е. f(xnk) б/б |

|f(b)=B причем |у=х^k, |)=f(x0)+f‘(x0)(x|)-f(a))/(b-a). |посл-ть. |

|A(B => C((A,B) (|y‘=kx^(k-1) ( |-x0) – линейная |Ф-ла (1) наз-ся |С одной стороны |

|c((a,b):f(c)=C |k(N. Док-м для |ф-ция х, который|ф-лой конечных |f(xnk) стремится|

|f(c)=f(c‘)=f(c‘‘|к=0 исходя из |не превосходит |приращений. |к опр. числу, а |

|). |опр-ния пр-ной. |f(x) и не меньше|Т-ма Ролля. |с др. стороны |

|IV)Теорема о |Возьмем ( т-ку х|f(x) в случае |Пусть ф-ция f(x)|стремится к (, |

|прохожд. непр. |и дадим |вогнутости |удовл. сл. усл. |пришли к |

|ф-ции через 0. |приращение (х |неравенства |А)Непрерывна на |противоречию, |

|Если f(x) непр. |составим |хар-щие |[a,b] |т.к. мы |

|на отрезке (a,b)|разностное |выпуклость |Б) Дифференц. на|предположим, что|

|и принимает на |отношение |(вогнутость) |(a,b) |ф-ция не |

|концах этого |(у/(х=(х+(х)^2-x|через диф. |В) принимает на |ограничена. |

|отрезка значение|^2/(x=2х+ (х => |f(x)(f(x0)+ |коцах отрезков |Значит наше |

|разных знаков |lim((x(0)(y/(x=2|f‘(x0)(x-x0) ( |равные значения |предположение не|

|f(a) f(b), то ( |x=y‘. В дейст-ти|x,x0((a;b) f |f(a)=f(b), тогда|верно. |

|т-ка с((a,b). |док-ная ф-ла |вогнута на |на (a,b) ( т-ка | |

|Док-во |р-раняется для |(а,b). Хорда |такая что | |

|Одновременно |любых к. |выше (ниже), чем|f‘(c)=0, т.е. | |

|содержит способ |3)Пр-ная |график для вып. |с-крит. т-ка. | |

|нах-ния корня |экспон-ной |ф-ций (вогн.) |Док-во. Р-рим | |

|ур-ния f(x0)=0 |ф-ции, у=е^x => |линейная ф-ция |сначала, | |

|методом деления |y‘=e^x. В данном|kx+b, в |тривиальный | |

|отрезка пополам.|случае |частности |случай, f(x) | |

|f(d)=0 c=d Т-ма |(y/(x=(e^x+(x-e^|постоянна, явл. |постоянная на | |

|доказана. |x)/(x=e^x(e^(x-1|вып. и вогнутой.|[a,b] | |

|Пусть f(d)(0 |)/ (x. Одеако | |(f(a)=f(b)), | |

|[a,d] или [d,b] |предел дробного |Б/б пол-ти |тогда f‘(x)=0 ( | |

|ф-ция f |сомножителя = 1.|Посл-ть {xn} |x ( (a,b), любую| |

|принимает | |наз-ся б/б, если|т-ку можно взять| |

|значение разных |4)y=f(x)=(x(=(x,|для ( пол-ного |в кач-ве с. | |

|знаков. Пусть |x>0;-x,xN вып-ся |она непрер. на | |

|через [a1,b1]. |легко нах-ся, |нер-во (xn(>A |этом отрезке, то| |

|Разделим этот |причем при |Возьмем любое |по т-ме | |

|отрезок на 2 и |y‘=1при x>0 |число А>0. Из |Вейерштрасса она| |

|проведем |y‘=-1 при xA |экстрем. на этом| |

|первого шага |x=0 пр-ная не (.|получаем n>A. |отрезке и max и | |

|док-ва в итоге |Причина с геом |Если взять N(А, |min. Поскольку f| |

|или найдем |т-ки зрения явл.|то ( n>N вып-ся |принимает равные| |

|искомую т-ку d |невозможность |(xn(>A, т.е. |знач. в гранич. | |

|или перейдем к |проведения |посл-ть {xn} |т-ках, то хотя | |

|новому отрезку |бесисл. мн-во |б/б. |бы 1- экстр. – | |

|[a2,d2] |кассат. к гр-ку |Замечание. Любая|max или min | |

|продолжая этот |ф-ции. Все |б/б посл-ть явл.|обязательно | |

|процесс мы |кассат. имеют |неограниченной. |достигается во | |

|получим посл-ть |угол от [-1,+1],|Однако |внутр. т-ке. | |

|вложения |а с аналит. т-ки|неогранич. |с((a,b) (в | |

|отрезков |зрения означает |Посл-ть может и |противном случае| |

|[a1,b1]>[a2,b2] |что прдел 2 не (|не быть б/б. |f=const), то по | |

|длинна которых |при x0=0. При |Например |т-ме Ферма, | |

|(a-b)/2^n(0, а |(x>0 |1,2,1,3,1,…,1,n…|тогда f‘(c)=0, | |

|по т-ме о вл-ных|(y/(x=(x/(x=1=>l|не явл. б/б |что и | |

|отрезков эти |im((x(0,(x>0)(y/|поскольку при |требовалось | |

|отрезки |(x=1 А левый |А>0 нер-во |д-ть. | |

|стягиваются к |предел разн-го |(xn(>A не имеет |Т-ма Тейлора. «О| |

|т-ке с. Т-ка с |отн-ния будет |места ( xn с |приближении | |

|явл. искомой |–1. Т.к. |нечет. номерами.|гладкой ф-ци к | |

|с:f(c)=0. |одностор. пред. | |полиномам» | |

|Действительно |Не совпадают |Гладкая ф-ция |Опр. Пусть ф-ция| |

|если допустить, |пр-ная не (. В |Сл. ф-ция f(x) |f(x) имеет в | |

|что f(c)(0 то по|данном случае ( |тоже явл. |т-ке а и | |

|св-ву сохр. |одностор. |гладкой, т.е. f‘|некоторой ее | |

|знаков в |пр-ная. |( и непрерывна |окрестности | |

|некоторой ( |Опр. |причем имеет |пр-ные порядка | |

|окрестности, |Правой(левой) |место сл. ф-ла |n+1. Пусть х - | |

|т-ке с f имеет |пр-ной ф-ции в |F‘(x)=f‘(((x))((|любое значение | |

|тот же знак что |т-ке х0, наз-ся |‘(x) (4). |аргумента из | |

|и значение f(c) |lim отношения |Используя ф-лу |указанной | |

|между тем |(2) при усл. что|(4) получаем |окрестности, | |

|отрезки [an,bn] |(х(0+((х(0-). |y‘=(lnf(a))‘=f‘(|х(а. Тогда между| |

|с достаточно N |Из связи |x)/f(x) (5) – |т-ми а и х | |

|попабают в эту |вытекает |логарифмической |надутся т-ка ( | |

|окрестность и по|утвержд., если |пр-ной. Правая |такая, что | |

|построению f |f(x) дифференц. |часть это |справедлива ф-ла| |

|имеет разный |в т-ке х0, то ее|скорость |Тейлора. | |

|знак на концах |одностор. пр-ная|изменения у |f(x)=f(a)+f‘(a)/| |

|этих отрезков. |также ( и не |(ф-ция f(x)) |1!(x+a)+ | |

|Непр. ф-ции на |совпадает |приходится на |f‘‘(a)/2!(x+a)^2| |

|пр-ке |f‘(x0-) и |ед-цу абсол. |+f^(n)(а)/n!+f^(| |

|f непр. в т-ке |f‘(x0+) обратно |значения этого |n+1)(()/(n+1)!(x| |

|х0 => f непрер. |для ( пр-ной |пок-ля поэтому |-a)^(n+1). | |

|в т-ке х0 и |f‘(x0) |логарифм. |Док-во. Сводится| |

|f(x0)(0 => f |необходимо, |Произв. наз-ют |к Роллю путем | |

|непр. на [a,b] и|чтобы прав. и |темпом прироста |введения вспом. | |

|f(x)(f(b)=0 |лев. пр-ные |показателя y или|переменной g(x).| |

|(f(x)(f(b)>0 в |совпад. между |f(x). Пусть | | |

|окр-ти х0) => ( |собой. В этом |известна |g(x)=f(x)-f(a)-f| |

|с((a,b). f(c)=0 |случае они не |динамика |‘(x)(x-a)-…-1/n!| |

|сл-но 2 св-ва |совпад. |изменения цены |(f^n(x)(x-a)^n-1| |

|непр. ф-ции на |17. Пр-ные и |на некотором |/(n+1)!(x-a)^n+1| |

|отрезке |дифференциалы |интервале, |((. По т-ме | |

|обоснованны. |выс. Порядков. |причем P(t) |Роляя ( т-ка с | |

|Т-ма 1(о огран. |Пр-ная f‘(x) – |гладкая ф-ция. |из (a,b), такая | |

|непр. ф-ции на |первого порядка;|Что можно |что g(c)=0 | |

|отрезке). Если |f‘‘(x) – |назвать темпом |(=f^(n+1)(c) | |

|f(x) непр. на |второго; |роста этой |Правило | |

|[a,b], тогда |f‘‘‘(x)-третьего|ф-ции, при t=R. |Лопиталя. | |

|f(x) огран. на |; |Темп |Пусть ф-ция f(x)| |

|этом отрезке, |fn(x)=(f(n-1)(x)|роста(приросту. |и g(x) имеет в | |

|т.е. ( |)‘. Пр-ные |Пр-р y=e^(x. |окр. т-ки х0 | |

|с>0:(f(x)((c |начиная со |Найдем темп |пр-ные f‘ и g‘ | |

|(x((a,b). |второй наз-ся |прироста. |исключая | |

|Т-ма 2( о ( |пр-ными выс. |f‘/f=темп |возможность саму| |

|экстр. непр. |порядка. |прироста=(e^(x/e|эту т-ку х0. | |

|ф-ции на отр.). |Дифференциал |^(x=(. |Пусть lim(х((х | |

|Если f(x) непр. |выс. порядков |Экспонициальная |)=lim(x((x)g(x)=| |

|на [a,b], тогда |dy= f‘(x)dx – |ф-ция имеет |0 так что | |

|она достигает |диф. первого |постоянный темп |f(x)/g(x) при | |

|своего экстр. на|порядка ф-ции |прироста. |x(x0 дает 0/0. | |

|этом отрезке, |f(x) и |Эластичность |lim(x(x0)f‘(x)/g| |

|т.е. ( т-ка max |обозначается |ф-ций |‘(x) ( (4), | |

|X*:f(x*)(f(x) |d^2y, т.е. |Опр. Пусть |когда он | |

|(x([a,b], т-ка |d^2y=f‘‘(x)(dx)^|гладкая ф-ция |совпадает с | |

|min |2. Диф. |y=f(x) описывает|пределом | |

|X_:f(x_)(f(x) |d(d^(n-1)y) от |изменение |отношения ф-ции | |

|(x([a,b]. |диф. d^(n-1)y |экономической |lim(x(x0)f(x)/g(| |

|Теорема |наз-ся диф. |переменной у от |x)= | |

|ВЕЙЕРШТРАССА. |n-ного порядка |эк. пер. х. |lim(x(x0)f‘(x)/g| |

|Эти теремы |ф-ции f(x) и |Допустим f(x)>0 |‘(x) (5) | |

|неверны если |обознач. d^ny. |=> имеет смысл |Док-во. | |

|замкнутые |Теорема Ферма. |лог. пр-ная. |Возьмем ( т-ку | |

|отрезки заменить|Пусть ф-ция f(x)|Эл-ностью ф-ции |х>х0 и | |

|на др. пр-ки |определена на |f(x) или у |рассмотрим на | |

|Контрпример 1. |интервале (a,b) |наз-ся сл-щая |[x0;x] вспом | |

|f(x)=1/2 на |и в некоторой |вел-на опред-мая|ф-цию арг. t | |

|(0;1] ( f – |т-ке х0 этого |с помощью лог. |h(t)=f(t)-Ag(t),| |

|неогр. на (0;1] |интервала имеет |пр-ной. |если t([x0;x], | |

|хотя и |наибольшее или |Ef(x)=x(f‘(x)/f(|т.к. удовл. | |

|непрерывны. |наименьшее знач.|x)=x(lnf(x))‘ |этому св-ву в | |

|Контрпример 2. |Тогда если в |(6). Выясним эк.|окр-ти т-ки х0, | |

|f(x)=x; на (0;1)|т-ке х0 ( |смысл этого |а т-ку х мы | |

|f(x) – непр. |пр-ная, то она =|показателя для |считаем | |

|inf(x((0;1))x=0,|0, f‘(x0)=0. |этого заменим в |достаточно | |

|но т-ки |2)Теорема Ролля.|(6) пр-ную ее |близкой к х0. | |

|x_((0;1):f(x_)=0|Пусть на отрезке|разностным |Ф-ция h | |

|, т-ки x*, хотя |[a,b] определена|отношением |непрерывна на | |

|sup(x((0;1))x=1 |ф-ция f(x) |(f(x0)/(x и |[x0;x], | |

|Док-во т-мы 1. |причем: f(x) |будем иметь |поскольку | |

|Используем метод|непрерывна на |Ef(x)(x((f(x)/(x|lim(t(x0)h(t)=li| |

|деления отрезка |[a,b]; f(x) диф.|)/f(x)=((f(x)/f(|m(t(x0)[f(t)-Ag(| |

|пополам. |на (a,b); |x))/((x/x). В |t)]=lim(t(x0)-A | |

|Начинаем от |f(a)=f(b). Тогда|числителе стоит |lim(t(x0)g(t)=0=| |

|противного; f |( т-ка с((a,b), |относит. Прирост|h(0)=> непр. | |

|неогр. на [a,b],|в которой |ф-ции f в т-ке |t=x0 По т-ме | |

|разделим его, |f‘(c)=0. |x, в знаменателе|Логранджа | |

|т.е. тогда |3)Теорема |относ. прир. |(x0,x)( | |

|отрезки |Логранджа. Пусть|аргумента. => |c:h‘‘(c)=0 | |

|[a;c][c;b] f(x) |на отрезке [a,b]|эл-ность ф-ции |Производная | |

|неогр. |определена f(x),|показывает на |обратной ф-ции | |

|Обозн. [a1,b1] и|причем: f(x) |сколько % |Т-ма. Для диф. | |

|педелим отрез. |непр. на [a,b]; |изменяется |ф-ции с пр-ной, | |

|[a2,b2], где |f(x) диф. на |пок-ль y=f(x) |не равной нулю, | |

|f-неогр. |[a,b]. Тогда ( |при изменении |пр-ная обратной | |

|Продолжая |т-ка c((a,b) |перем. х на 1%. |ф-ции равна | |

|процедуру |такая, что |Эластичность – |обратной | |

|деления неогр. |справедлива ф-ла|пок-ль реакции |обратной | |

|получаем послед.|(f(b)-f(a))/b-a=|1-й переменной |величине пр-ной | |

|влож. отрезки |f‘(c). |на изменение |данной ф-ции. | |

|[an;bn] котор. |4)Теорема Коши. |другой. |Док-во. Пусть | |

|оттяг. к т-ке d |Пусть ф-ции f(x)|Пр-р. р-рим |ф-ция y=f(x) | |

|(d=c с |и g(x) непр. на |ф-цию спроса от |диф. и | |

|надстройкой) из |[a,b] и диф. на |цены, пусть |y‘x=f‘(x)(0. | |

|отрезка [a,b], |(a,b). Пусть |D=f(p)=-aP+b – |Пусть (у(0 – | |

|общее для всех |кроме того, |линейная ф-ция |приращение | |

|отр. Тогда с |g`(x)(0. Тогда (|спроса, где а>0.|независимой | |

|одной стороны |т-ка с((a,b) |Найдем |переменной у и | |

|f(x) неогр. в |такая, что |эластичность |(х – | |

|окр-ти т-ки d на|справедл. ф-ла |спроса по цене. |соответствующее | |

|конц. отрезка |(f(b)-f(a))/(g(b|Ed(P)=P(D‘/D=P((|приращение | |

|[an,bn], но с |)-g(a))=f‘(c)/g‘|-a)/(-aP+b)=aP/(|обратной ф-ции | |

|др. стороны f |(c). |aP-b)=> эл-ность|x=((y). Напишем | |

|непр. на [a,b] и|Правило |линейной ф-ции |тождество: | |

|=> в т-ке d и по|Лопиталя. |не постоянна |(x/(y=1:(y/(x | |

|св-ву она непр. |Раскрытие 0/0. | |(2) Переходя к | |

|в некоторой |1-е правило | |пределу в рав-ве| |

|окрестности d. |Лопиталя. Если | |(2) при (у(0 и | |

|Оно огран. в d |lim(x(a)f(x)= | |учитывая, что | |

|=> получаем |lim(x(a)g(x), то| |при этом также | |

|против. |lim(x(a)f(x)/g(x| |(х(0, получим: | |

|Поскольку в |)= | |lim((y(0)(x/(y=1| |

|любой окр-ти |lim(x(a)f‘(x)/g‘| |:lim((x(0)(y/(x | |

|т-ки d нах-ся |(x), когда | |=> x‘y=1/y‘x. | |

|все отрезки |предел ( | |Где х‘у – пр-ная| |

|[an;bn] с |конечный или | |обратной ф-ции. | |

|достаточно |бесконечный. | |Производная | |

|большим 0. |Раскрытие (/(. | |обратной ф-ции | |

|Док-во т-мы 2. |Второе правило. | |Т-ма. Для диф. | |

|Обозначим E(f) –|Если | |ф-ции с пр-ной, | |

|множиством |lim(x(a)f(x)= | |не равной нулю, | |

|значений ф-ии |lim(x(a)g(x)=(, | |пр-ная обратной | |

|f(x) на отр. |то | |ф-ции равна | |

|[a,b] по предыд.|lim(x(a)f(x)/g(x| |обратной | |

|т-ме это мн-во |)= | |обратной | |

|огран. и сл-но |lim(x(a)f‘(x)/g‘| |величине пр-ной | |

|имеет конечные |(x). Правила | |данной ф-ции. | |

|точные грани |верны тогда, | |Док-во. Пусть | |

|supE(f)=supf(x)=|когда | |ф-ция y=f(x) | |

|(при |x((,x(-(,x(+(,x(| |диф. и | |

|х([a,b])=M(-().|0(, (-(, 0^0, | |приращение | |

|Для опр. докажем|1^(, (^0. | |независимой | |

|[a,b] f(x) |Неопр. 0(, (-( | |переменной у и | |

|достигает макс. |сводятся к 0/0 и| |(х – | |

|на [a,b], т.е. (|(/( путем | |соответствующее | |

|х*:f(x)=M. |алгебраических | |приращение | |

|Допустим |преобразований. | |обратной ф-ции | |

|противное, такой|А неопр. 0^0, | |x=((y). Напишем | |

|т-ки не ( и |1^(, (^0 с | |тождество: | |

|сл-но f(x) x‘y=1/y‘x. | |

|согластно т-ме 1| | |Где х‘у – пр-ная| |

|g(x)- огран. | | |обратной ф-ции. | |

|т.е. ( c>0 | | | | |

|!0 | | | | |

|1(c(M-f(x)) => | | | | |

|f(x) (M-1/c | | | | |

|(x([a,b] | | | | |

|Однако это | | | | |

|нер-во | | | | |

|противор., т.к. | | | | |

|М-точная верхн. | | | | |

|грань f на [a,b]| | | | |

|а в правой части| | | | |

|стоит “C” | | | | |

|Следствие: если | | | | |

|f(x) непр. | | | | |

|[a,b]тогда она | | | | |

|принимает все | | | | |

|знач. заключ. | | | | |

|Между ее max и | | | | |

|min, т.е. | | | | |

|E(f)=[m;M], где | | | | |

|m и M –max и min| | | | |

|f на отрезке. | | | | |

Страницы: 1, 2