Экстремумы функций

Экстремумы функций

Содержание.

1. Введение………………………………………………3

2. Историческая справка………………………………..4

3. Экстремумы функций одной переменной.

3.1. Необходимое условие……………………………6

3.2.1. Достаточное условие. Первый признак………8

3.2.2. Достаточное условие. Второй признак……….10

3.3. Использование высших производных………….12

4. Экстремумы функций трех переменных.

4.1. Необходимое условие…………………………...13

4.2. Достаточное условие…………………………….14

5. Экстремумы функций многих переменных.

5.1. Необходимое условие……………………………19

5.2. Достаточное условие…………………………….21

5.3. Метод вычисления критериев Сильвестера……24

5.4. Замечание об экстремумах на множествах…….33

6. Условный экстремум.

6.1. Постановка вопроса……………………………..35

6.2. Понятие условного экстремума…………………36

6.3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного

экстремума…………………………………..38

6.4. Стационарные точки функции Лагранжа………42

6.5. Достаточное условие…………………………….49

7. Заключение……………………………………………54

8. Библиография..………………………………………..55

Цель данного дипломномного проекта заключается в рассмотрении

экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании

методов их нахождения.

Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных

условий существования максимума и минимума функции, выборе метода

нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании.

Гипотезой дипломного проекта является рассмотрение и описание

экстремумов функции трёх переменных, формулировании необходимого и

достаточного условия их существования, а также рассмотрение метода

вычисления критериев Сильвестера.

В качестве объекта для исследования и описания использовались

функции одной и многих переменных.

1. Введение.

Вмире не происходит ничего, в чем бы не был виден

Смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Л.Эйлер.

В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума

началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования

математического анализа были созданы первые методы решения и

исследования задач на экстремум.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и

техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые

старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию

задач, которые также не поддавались средствам вариационного

исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории,

получившей название теории оптимального управления. Основной метод в

теории оптимально управления был разработан в пятидесятые –

шестидесятые годы советскими математиками – Л.С. Понтрягиным и его

учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила

новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и

многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при

этом.

Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных

заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в

старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного

проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения.

В дипломном проекте с большей логической стройностью и без

повторений приведено изложение темы – функции одной и многих

переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые

при изучении физики и ряда инженерных дисциплин.

2.Историческая справка.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью

принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение.

Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При

этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

В математике исследование задач на максимум и минимум началось

очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на

отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов. Но

примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического

анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования

задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло

наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту,

что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x).

Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в

левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей,

которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В

действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-

x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие.

Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f(x

h)f(x0))

Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум

(минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из

значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности

этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума)

предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при

x=x0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x0)

то говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум

(минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1 , то, применяя к

промежутку [x0,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего

своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке

x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя

минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на

практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное

число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует

и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются

локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0.

Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений

относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами

функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х1 и х3 локальные максимумы, а

в точках х2 и х4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения

функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента,

доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет

играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b)

существует конечная производная. Если в точке х0 функция имеет

экстремум, то, применяя к промежутку (х0- ,х0+ ), о

которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f (x)=0 этом

состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать

только в тех точках, где производная равна нулю.

С геометрической точки зрения это означает, что касательная к

графику функции в его вершине или впадине параллельна оси ОХ (рис.2)

.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой

производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное

только что необходимое условие неявляется достаточным.

3.2.1.Достаточное услоие.Первый признак.

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются

стационарными ; а точки, где производная не существует называются

критическими.

Итак, если точка х0 есть стационарная точка для функции f(x)

или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной

производной, то точка х0 представляется, так сказать лишь

“подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит а проверке достаточных условий для

существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х0

(по крайней мере, для х=х0) существует конечная производная и как

слева от х0 , так и справа от х0 (в отдельности) сохраняет

определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I f’(x)>0 при хх0, т. е. производная f’(x)

при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае,

в промежутке [х0- ,х0] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х0,х0+

] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х0-

,х0+ ] , т. е. в точке х0 функция имеет собственный максимум.

II f’(x)0 при х>х0 , т. е. производная

f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом

случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный

минимум.

III f’(x)>0 как при хх0 либо же f’(x) и слева и

справа от х0 , т. е. при переходе через х0 , не меняет знака. Тогда

функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой

юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)f(x0) так что в точке х0 никакого

экстремума нет.

Графическая иллюстрация простейших возможностей дана на рисунке

3 (а,б,в).

Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного”

значения х0 : подставляя в производную f’(x) сначала хх0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа

от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то

налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ;

если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в

промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число

стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a0 , то

функция имеет в точке х0 минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f’(x)-f’(x0)

f’’(x0)=lim-------------

x-x0

По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому

f’(x)

f’’=lim----------

x-x0

Допустим , что f’’(x)0 , если х-х0х0, и f’(x)0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака

существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет

максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает

минимум функции f(x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для

дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0

находим стационарные точки функции f(x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0

подвергаем испытанию:

- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;

- если f’’(x)1).

Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в

х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий

локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум,

если f (n)(x0).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)

где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при

доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)

Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак

fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе

через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей

правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при

n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой

окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства

(3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :

- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в

точке х0 – локальный минимум;

- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0) ,т. е. в точке х0 локальный

минимум.

ч.т.д.

4.Экстремумы функций трех переменных.

4.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0)

будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет

максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x,y,z))

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак

равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой

точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство

f(x,y,z))

то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный

максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют

несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной

переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0)

имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные

производные

fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в

нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием

существования экстремума.

С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда

у нас получится функция от одной переменной х :

v=f(x, y0,z0)

Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0) существует

экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в

частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ )

точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство

f(x, y0,z0)0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,

a31 a32 a33

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака

всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то

отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается

цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением

смысла неравенств через одно (начиная с первого).

a11 a12 a11 a12 a13

a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0

a31 a32 a33

Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0) на

экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку

М(x0,y0,z0), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до

второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0,y0,z0)

является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.

f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0) f(x0,y0,z0)

--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0

x y z

Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :

1) f(x,y,z) имеет максимум , если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

2 f(x0,y0,z0) 2

---------------0

x2 x2 y2

x y

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- --

x2 x2 z2

y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y

z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y

z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

x z y2

2) f(x,y,z) имеет минимум, если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0) 2

--------------->0 , -------------------------------- - --------

------- >0

x2 x2 y2

x y

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- --

x2 x2 z2

y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y

z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y

z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0

x z y2

3)если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- --

x2 x2 z2

y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y

z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- +

x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y

z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- =0

x z y2

то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае

требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума ,

ни минимума.

5.Экстремумы функций многих переменных.

5.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и

(x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0)

имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

Страницы: 1, 2