Экстремумы функций

(x10 x10 x20 x20 xn0

xn0 )

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f(x1,x2,…,xn))

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак

равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой

точки (x10,x20,…,xn0) выполнялось строгое неравенство

f(x1,x2,…,xn))

то говорят, что в точке (x10,x20,…,xn0) имеет место собственный

максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют

несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной

переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0)

имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные

производные

fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в

нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием

существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ;

тогда у нас получится функция от одной переменной x1 :

u=f(x1, x20,…,xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует

экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в

частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ )

точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство

f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10

будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0)

и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в

которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их

координаты можно найти, решив систему уравнений

fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

……………………. (5.1)

f ’xn(x10,x20,…,xn0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки

называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в

случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :

d f(x1,x2,…,xn)=0

так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были

dx1,dx2,…,dxn всегда

f(x1,x2 d,…,xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это

условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1’,

fx2’,…, f ’xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные)

частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие

функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек.

Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные

производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то

время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже

следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со

стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить

характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи

непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум

или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только

одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума

функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции

могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им

соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).

5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак

экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это

значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе

не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких

переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции

одной переменной.

Пусть функция f(x1,x2,…,xn) определена, непрерывна и имеет

непрерывные производные первого и второго порядковокрестности

некоторой стационарной точки (x10,x20,…,xn0).Разлагая разность

= f(x1,x2,…,xn)-f(x10,x20,…,xn0)

по формyле Тейлора, получим

= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3

’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj

где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (00, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,…, a21 a22… a2n

a31 a32 a33

…………………

an1 an2… ann

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака

всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то

отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается

цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением

смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для

существования экстремума условия :

Если второй дифференциал,т. е. квадратичная форма

aik xi xk (5.6)

со значениями (5.2) коэффициентов – оказывается определенной

положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке

(x10,x20,…, xn0) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x12+…+ xn2

между точками (x10,x20,…,xn0) и (x1,x2,…,xn). Вынося в (5.5) за

скобку и полагая

xi (i=1,2,…,n)

перепишем выражение для в виде

= { aik Ei Ek+ ik Ei Ek}

(5.7)

Числа Ei зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма

(5.7) – положительная, первая сумма в скобках в формуле (5.7) иммет

всегда положительный знак. Больше того, так как

Ei=1

(5.8)

то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех

возможных значениях Ei будет

aik Ei Ek>m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию

от аргументов Ei во всем пространстве,в частности же и в множестве М

тех точек(E1,…, En), которые удовлетворяют соотношению (5.8)

(«сферическая поверхность»). Но множество это, как нетрудно видеть,

замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме

Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение ,

необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны, ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для

достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше

m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой

сфере, с центром в точке (x10,x20,…,xn0) разность будет

положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция

f(x1,x2,…,xn) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5.6) будет

определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно

определенной, необходимо и достаточно, чтобы

a11 a12 a11 a12 a13

a11 a12… a1n

a112

Пример №1.

2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4

5 6 3 1 22 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 22 7 –19 -13

0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6

4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14

2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8

1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-

33*5=

= -242 –165= -407

Пример №2.

3. 0 2 1 5

0. 4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0

1. 2 3 5 1 33 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5

0. 3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5

1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5

12 3 9 18 -30 66 -264-108

1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162

33 9 8 -2 8 33*122 66 78 120-108

6 7 11 10

-30 66 -372 30*105-66*69

30*66+69*372

1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66

-30*12+66*372

33*122 66 78 12 33*122*(-30)

1 3150-4554 1980+25668 1

-1404 27648

33*122*(-30) -2340-4356 -360+24552 33*122*(-30) –6696 24192

-1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208

33*122*(-30) 33*122*30

31311360-182476800 15116544 15116544

33*122*30 33*122 3888

=3888

Вычесленные в порядке получения определителий n,

n-1, …, 2 их верхние левые угловые элементы a1,a2,…,an являются

критерием Сильвестера в части знаков, т.е.

sign a11=sign a1

sign a11=sign a2=sign a11 a12

a21 a22

…………………………….

a11… a1n

sign a11=sign an=sign ………..

an1… ann

По сути метод дает возможность вычисления определителей .

Однако нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно

упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x1,x2,…,xn). имеющую экстремум,а именно

максимум в точке М0(x10,x20,…,xn0).Это значит,что все коэффициенты a1,

a2,…, an должны быть положительными. Поэтому процесс определения

максимума функции в точке М0 заканчивается на любом этапе понижения

определителя ,если после положительных a1, a2,…, ak коэффициент аk+1

стал отрицательным или нулевым.

Если же в точке М0 – минимум, то коффициенты a1, a2,…, an

образуют знакочередующуюся последоватнльность, а именно

a10, a30, то все последующие элементы а2,а3,…,аn

должны быть положительными,если в точке М0 действительно максимум

б)если а110 и a11>0, то (1;1) – точка минимма функции, причем

zmin = -1.

Пример №4.

Исследовать на экстремум функцию w=x2/3+y2/3+z2/3

Ищем критические точки

2 2

2

w`x= ------ w`y= --------- w`z= ----------

3 3 x 3 3 y 3

3 z

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких

значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность) в

точке P0(0;0;0). Точка P0 лежит внутри области определения функции w,

которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства.

Поэтому P0 критическая точка.

Исследуя знак разности w(P)-w(P0)= x2/3+y2/3+z2/3 вблизи точки

P0, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях x,y,z она

сохраняет положительный знак. Поэтому P0 есть точка минимума,

wmin=w(P0)=0

5.4.Экстремумы на множествах.

Следует обратить внимание на то, что мы указали необходимые и

достаточные условия экстремума функции лишь во внутренней точке

области определения. Таким образом, при отыскании абсолютного

максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними

критическими точками функции исследовать также точки границы области

определения, поскрльку максимальное или минимальное значение функция

может принять в одной из таких граничных точек.

Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и

непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и

наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно, например,

найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения

функции и выбрать, если, конечно это возможно (а теоретически возможно

это, например, когда число стационарных точек конечно), точки, в

которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения из всех

значений в стационарных точках. После этого следует сравнивать эти

значения со значениями, которые функция принимает на границе открытого

множества G, например, найдя, если это удается сделать, наибольшее и

наименьшее значения функции f на границе области G. Сравнив наибольшее

и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим

значениями на границе множества G, мы можем, очевидно, найти искомый

максимум и минимум f на G.

В случае, когда G – плоская область и ее граница является

кривой, заданной некоторым представлением

x=x(t), y=y(t), 0, что при

всех 0 00 ,

что на окрестности

V={y=(y1, y2,…, ym+1) : y1- f0(x(0)) < , yj< ,j=2,3,…,m}

(рис.5) определено обратное к Ф отображение и , следовательно , в

любую точку этой окрестности отображается какая-то точка из Q m+1.

В частности , поскольку при любом n,0 f(x(0)) , fk(x`)=0, k=1,2,…,n , x` Q n

и

f0(x``)= f0(x(0))-n> f(x(0)) , fk(x``)=0, k=1,2,…,n , x`` Q n

В силу произвольности 0>0,00, y>0, t>0, z>0.

Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную

функцию

Ф=xyzt+ (x+y+z+t)

И составим условия

Фx =yzt+ =0

Фy =xzt+ =0

Фz =yxt+ =0

Фt =yzx+ =0

откуда

yzt=xzt=xyt=xyz

так что

x=y=z=t=c.

6.4.Стационарные точки функции Лагранжа.

В этом пункте будет дано описаие стационарных точек функции

Лагранжа (6.10) посредством фукции 0(xm+1,xm+2,…,xn), введенной в

пункте 6.2 (см.(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из

линейной алгебры.

Пусть задана система линейных однородных уравнений

ai1x1+…+ ainxn=0 i=1,2,…,m (6.16)

и еще одно линейное однродное уравнение

b1x1+…+ bnxn=0

(6.17)

Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16)

уравнения (6.17), будем называть расширенной системой (6.16)-(6.17).

Лемма: Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была

равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы

уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы

(6.16).

Следствие:Для того чтобы уравнение (6.17) было линейной

комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор

b==(b1,…,bn)

(6.18)

был линейной комбинацией векторов

ai ==(ai1,…,ain) i=1,2,…,m

(6.19)

необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось

решением уравнения (6.17).

Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (aij) коэффициентов

системы (6.16) равен m0 . Очевидно , что m00

выполняется неравенство d2F(x(0) ) >0 (соответственно d2F(x(0) ) <0)

Пусть точка x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и

является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй

дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно

(отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn,

при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из

(6.36) и (6.37) следует, что x(0) является стационарной точкой для

функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x(0)

является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой

переменных dxm+1,…,dxn, и, следовательно, функция имеет в точке x(0)

строгий минимум (максимум) , а значит, функция f0(x) имеет в точке

x(0) условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи

(6.3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 6.3: Если x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и

является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй

дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно

(отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn

при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x(0)

является точкой строгого минимума (максимума) для функции f

относительно уравнений связи (6.3).

Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции

Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на

определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал

функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3)

(когда дифференциалы dxi, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При

этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции

Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно)

определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым ,

конечно, и при их выплнении.

.

7.Заключение.

Математический анализ это совершенно естественная, простая и

элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”,

чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно

входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы

классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики

и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну

остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные

программы неизбежно приведет к перестройке и других областей

математического образования – изменится содержание конкурсных задач,

кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь

уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из

ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые

основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться

ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические

сведения подтвердились практическим доказательством и математическим

обоснованием.

8. Библиография.

1.А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович Краткий курс математического

анализа.-М.: Наука, 1973.

2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М.:Государственное

учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,

1960.

3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому

анализу.-М.: Высшая школа,1966.

4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.

5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М.:

Наука, 1984.

6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и

функционального анализа.-М.: Наука, 1981.

7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М.: Высшая школа,

1981.

8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ.-М.:

Высшая школа, 1990.

9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-

М.: Наука, 1978.

10.К.А.Рыбников История математики.-М.:Издательство Московского

университета, 1994.

11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М.:Наука,

1986.

12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.:

Наука, 1968.

13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального

исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.

Страницы: 1, 2