Компонентный и факторный анализ

    h= 0,940  h=0,219  h=0,415    h=0,172  h=0,940

b)      метод среднего коэффициента корреляции

        

    h= 0,3977  h=0,1175  h=0,2627    h=0,10025   h=0,4117                         

      с)  метод триад

В j – ом столбце  или строке отыскивают два наибольших значения ко­эффициентов корреляции  и , тогда

        h= 0,2314 h=0.0821  h=0,1717   h=0,0306   h=0,1956

d) метод первого центроидного фактора

       h= 0,6562   h=0,8181   h=0,9407   h=0,2054  h=0,4315

       Запишем матрицу , используя метод среднего коэффициента корреляции:

              h= 0,3977  h=0,1175  h=0,2627    h=0,10025   h=0,4117  

       Построим матрицу Rh – редуцированную корреляционная матрица.

         Для получения первого вектора коэффициентов первого главного фактора необходимо найти наибольшее собственное число матрицы  и по нему построить соответствующий собственный вектор, затем нормировать его и умножить все компоненты этого вектора на  ( для того, чтобы длина этого вектора была ), тогда получим искомый вектор .Затем необходимо найти матрицу рассеивания , обусловленную влиянием первого общего фактора, и матрицу остатков, которая содержит в себе связи, обусловленные влиянием всех общих факторов, начиная со второго. Далее переходим по той же схеме к поиску собственных чисел матрицы . Но, оказывается, что собственные числа и собственные вектора матриц  и  совпадают, начиная со второго, а это означает, что достаточно найти собственные числа матрицы , ранжировать их и найти собственные вектора.

       Получим следующие собственные числа:

1=1.658  2=0.21  3=0.069  4=-0.105  =-0.542

       Процесс выделения главных факторов прекращают как только сумма собственных чисел соответствующих выделенным главным факторам превысят след матрицы Rh.  В нашем случае при выделении первых трех главных факторов , а То есть в нашем случае выделения трех главных факторов достаточно для объяснения корреляционных связей между признаками.

          Положительное, максимальное собственное число 1=1,568, построим собственный вектор соответствующий данному

     собственному числу: =, - ненормированный вектор полученный из =0

Найдем:  , 1=.

      Рассмотрим второе положительное максимальное  собственное число и третье, а также соответственные собственные собственные вектора                                    2=, для 2=0,21

3=, для =0,069

Матрица факторного отображения:

Произведем экономическую интерпретацию полученных общих факторов на основании матрицы факторных нагрузок А.

Первый главный фактор имеет тесную взаимосвязь с первым (X5 – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X7 – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно его можно обозначить как «Эффективность основного производства». Второй общий фактор наиболее тесную взаимосвязь имеет со вторым исходным признаком, обозначим его как «Удельный вес покупных изделий». Третий главный фактор имеет очень низкую взаимосвязь со всеми исходными признаками 

       

3.2 Графическая классификация предприятий по двум общим факторам

      Чтобы графически произвести классификацию объектов, необходимо найти наблюденные значения первых двух общих факторов. Это можно сделать по формуле: , где

         - транспонированная матрица факторных нагрузок;

  - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят харак      терности соответствующих общих факторов;

- матрица центрированно-нормированных  значений исходных признаков.

Матрица наблюденных значений общих факторов приведена в Приложениях.

Отобразим объекты наблюдения в пространстве первых двух общих факторов.

3.3 Переход к обобщенным факторам с помощью варимаксного вращения

         В факторном анализе при решении практических задач широко применяется ортогональное вращение. Конечной целью факторного анализа является получение содержательно интерпретируемых факторов, которые воспроизводили бы выборочную корреляционную матрицу между переменными. Например, в методе главных факторов это достигается путем вращения.

Поскольку из множества положений системы координат надо выбрать одну, нужен критерий, который давал бы возможность судить о том, что мы близко подошли к своей цели. Таких критериев предложено много. Остановимся на наиболее часто используемом методе варимаксного вращения. Метод Варимакс рассчитывает Vj критерий качества структуры каждого фактора:

       При помощи метода «варимакс» достигают максимального упрощения в описании столбцов матрицы факторного отображения. Возможно раздельноеулучшение структуры факторов. Наилучшим  будет максимальное значение критерия. Если после очередного вращения Vj растет – переходим к вращению. Рассчитаем  Vj  для имеющейся матрицы А:V1=0.307, V2=0.168

Рис.3: Классификация признаков.

  

   Наша цель не только снизить размерность признакового пространства, но и предать выделенным факторам  какой-то экономический смысл. Мы можем перейти с помощью вращения  от факторов f1 и f2  к факторам f1 и f2 с помощью соотношения  В=Т*А. Исходя из геометрических соображений, повернем систему координат по часовой стрелки на угол равный 15. Матрица вращения будет иметь вид:

Т=

Известно, что sin15=0.259 cos15=0.966. Найдем матрицу В=Т*А

*=

Рассчитаем Vj  для матрицы В , полученной после вращения: V1=0,240, Vj=0,156. Значение Vj  не возросло ни по одному из факторов.

Попытки производить вращения на другие углы не приводят к возрастанию значения  Vj  следовательно нет необходимости во вращении.

3.4 Построение функции регрессии на выделенные обобщенные факторы

  Используя данные о «наблюденных» значениях общих факторов, построим функцию регрессии  на выделенные обобщенные факторы с помощью программы «Stadia».Получим уравнение регрессии следующего вида для i-го объекта наблюдения:

  Подробное описание уравнения регрессии дано в Приложениях

Список использованных источников

1 Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика,1998.- 352с.

2 Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике: Учебное пособие для вузов- М.:ЮНИТИ-ДАНА, 1999.-598 с.

Приложение 1

Наблюденные значения исходных признаков