Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.

Пытьев Ю.П.

Московский государственный университет, Москва, Россия

1. Введение

Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при

различных условиях освещения и(или) измененных[1] оптических свойствах

объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает

значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации

изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий

регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения

неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на

произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче

совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных

спектральных диапазонах и т.д.

Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому

назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном

ориентированы для применения к черно-белым изображениям[2] и оказались

достаточно эффективными, [5-11].

Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на

целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных

изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний,

как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание

формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект

теней и влияние неопределенности в пространственном распределении

интенсивности спектрально однородного освещения.

2. Цвет и яркость спектозонального изображения.

Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых

многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной

классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов

излучения со спектральными чувствительностями [pic] j=1,2,...,n, где l(0,()

- длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения

со спектральной плотностью e(l)0, l((0,(), далее называемой излучением,

образуют вектор [pic], w(Ч)=[pic]. Определим суммарную спектральную

чувствительность детекторов [pic], l((0,(), и соответствующий суммарный

сигнал [pic] назовем яркостью излучения e(Ч). Вектор [pic] назовем цветом

излучения e(Ч). Если [pic] цвет e(Ч) и само излучение назовем черным.

Поскольку равенства [pic] и [pic] эквивалентны, равенство [pic] имеет смысл

и для черного цвета, причем в этом случае [pic] - произвольный вектор,

яркость оторого равна единице. Излучение e(Ч) назовем белым и его цвет

обозначим [pic] если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов

одинаковы:

[pic].

Векторы [pic] , и [pic] , [pic], удобно считать элементами n-мерного

линейного пространства [pic]. Векторы fe, соответствующие различным

излучениям e(Ч), содержатся в конусе [pic][pic]. Концы векторов [pic]

содержатся в множестве [pic], где П - гиперплоскость [pic].

Далее предполагается, что всякое излучение [pic] , где E - выпуклый

конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями [pic] все их

выпуклые комбинации (смеси) [pic] Поэтому векторы [pic] в [pic] образуют

выпуклый конус [pic], а векторы [pic].

Если [pic]то и их аддитивная смесь [pic]. Для нее

[pic] [pic] [pic]. (1)

Отсюда следует

Лемма 1. Яркость fe и цвет (e любой аддитивной смеси e(Ч) излучений

e1((),...,em((), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.

Подчеркнем, что равенство [pic], означающее факт совпадения яркости и

цвета излучений e(Ч) и [pic], как правило, содержит сравнительно небольшую

информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e(Ч) на

[pic] в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости

последней.

Далее предполагается, что вектор w(Ч) таков, что в E можно указать

базовые излучения [pic], для которых векторы [pic], j=1,...,n, линейно

независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного,

их яркости будем считать единичными, [pic], j=1,...,n. В таком случае

излучение [pic] характеризуется лишь цветом [pic], j=1,...,n.

Для всякого излучения e(Ч) можно записать разложение

[pic], (1*)

в котором [pic] - координаты [pic] в базисе [pic],

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - [pic], где [pic],

[pic], - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению (j((),

i, j=1,...,n. Матрица [pic] - стохастическая, поскольку ее матричные

элементы как яркости базовых излучений [pic] неотрицательны и [pic],

j=1,...,n. При этом яркость [pic] и вектор цвета [pic], [pic], j=1,...,n,

(конец которого лежит в П) определяются координатами (j и цветами излучений

[pic], j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава

излучения e(Ч).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из

базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым

всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: [pic].

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых (j0: [pic]. В такой форме равенство (1*)

представляет “баланс излучений”.

Определим в [pic] скалярное произведение [pic] и векторы [pic],

биортогонально сопряженные с [pic]: [pic], i,j=1,...,n.

Лемма 2. В разложении (1*) [pic], j=1,...,n, [pic]. Яркость [pic],

где [pic], причем вектор y ортогонален гиперплоскости П, так как [pic],

i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения [pic], то его естественно

определять так, чтобы выходные сигналы детекторов [pic] были координатами

fe в некотором ортонормированном базисе [pic]. В этом базисе конус [pic].

Заметим, что для любых векторов [pic] и, тем более, для [pic], [pic][4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости

R2, или на сетке [pic], [pic] спектральная чувствительность j-го детектора

излучения, расположенного в точке [pic] [pic]; [pic] - излучение,

попадающее в точку [pic]. Изображением назовем векторнозначную функцию

[pic]

[pic] (2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с

мерой m, C - (-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное)

изображение [pic]определим равенством

[pic] , (2)

в котором почти для всех [pic], [pic], - (-измеримые функции на поле зрения

X, такие, что

[pic].

Цветные изображения образуют подкласс функций [pic] лебеговского класса

[pic] функций [pic]. Класс цветных изображений обозначим LE,n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент [pic]

называется цветным изображением, а условие

[pic] (2*)

условием физичности изображений f(().

Если f(Ч) - цветное изображение (2), то [pic], как нетрудно

проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. [pic], [pic]. Изображение

[pic], назовем черно-белым вариантом цветного изображения f(Ч), а цветное

изображение [pic], f(x)0, x(X - цветом изображения f(Ч). В точках множества

В={x(X: f(x)=0} черного цвета j(x), x(В, - произвольные векторы из [pic],

удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом цветного

изображения f(Ч) будем также называть цветное изображение b((), имеющее в

каждой точке Х ту же яркость, что и f(Ч), b(x)=f(x), x(X, и белый цвет,

((x)=b(x)/b(x)=(, x(X.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму

изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных

относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих

меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться

освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном

составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения

сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием

[pic], в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения [pic] в

каждой точке [pic]при неизменном распределении цвета. При этом в каждой

точке [pic]у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется

неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения

сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но -

пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой

сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом ( нет взаимно

однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения

f(x) в терминах преобразования его цвета (((). Для этого определим

отображение A(():[pic], ставящее в соответствие каждому вектору цвета

[pic]подмножество поля зрения [pic]в точках которого изображение [pic],

имеет постоянный цвет [pic].

Пусть при рассматриваемом изменении освещения [pic]и, соответственно,

[pic]; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что

цвет [pic] преобразованного изображения должен быть также постоянным на

каждом множестве A((), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от (.

Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство [pic] влечет

[pic]. Если [pic] - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря,

на различных множествах A((() и A(() цвет изображения [pic] может оказаться

одинаковым[5].

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик

сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна

относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна

определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого

класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f(() на [pic]

удобно ввести частичный порядок ( , т.е. бинарное отношение,

удовлетворяющее условиям: 1)[pic], 2) [pic], [pic], то [pic], [pic];

отношение ( должно быть согласованным с определением цветного изображения

(с условием физичности), а именно, [pic], если [pic]. Отношение (

интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой

морфологии[2], а именно, [pic] означает, что изображения f(Ч) и g(Ч)

сравнимы по форме, причем форма g(Ч) не сложнее, чем форма f(Ч). Если

[pic] и [pic], то f(Ч) и g(Ч) назовем совпадающими по форме (изоморфными),

f(Ч) ~ g(Ч). Например, если f(Ч) и g(Ч) - изображения одной и той же сцены,

то g(Ч), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее

(подробнее, детальнее), чем f (Ч), если [pic].

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений [pic], если

между множествами A((),[pic] и A((((),[pic] существует взаимно-однозначное

соответствие, т.е., если существует функция [pic], такая, что A(((((())=

A((),[pic], причем[pic], если [pic]. В этом случае равенства [pic] и [pic]

эквивалентны, [pic] и [pic] изоморфны и одинаково детально характеризуют

сцену, хотя и в разных цветах.

Если же [pic] не взаимно однозначно, то A(((()=U A(() и [pic]. В этом

случае равенство [pic] влечет [pic] (но не эквивалентно) [pic], [pic]

передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в [pic].

Пусть, скажем, g(Ч) - черно-белый вариант f(Ч), т.е. g(x)=f(x) и

g(x)/g(x)=(, x(X. Если преобразование [pic] - следствие изменившихся

условий регистрации изображения, то, естественно, [pic]. Аналогично, если

f(Ч), g(Ч) - изображения одной и той же сцены, но в g(Ч), вследствие

неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то [pic].

Пусть F - некоторая полугруппа преобразований [pic], тогда для любого

преобразования F(F [pic], поскольку, если некоторые детали формы объекта не

отражены в изображении f(Ч), то они, тем более, не будут отражены в g(Ч).

Формой [pic] изображения f(Ч) назовем множество изображений [pic],

форма которых не сложнее, чем форма f`(Ч), и их пределов в [pic](черта

символизирует замыкание в [pic]). Формой изображения f(Ч) в широком смысле

назовем минимальное линейное подпространство [pic], содержащее [pic]. Если

считать, что [pic] для любого изображения [pic], то это будет означать,

что отношение ( непрерывно относительно сходимости в [pic] в том смысле,

что [pic].

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых

характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении

может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего

поле зрения X в виде [pic] здесь [pic] - индикаторные функции

непересекающихся подмножеств Аi, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения

Х, на каждом из которых функции [pic], [pic], j=1,...,n, i=1,...,N,

непрерывны. Поскольку согласно лемме 2

[pic] [pic][pic] , (3)

то цветное изображение fe(Ч), такого объекта характеризует его форму

непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве Ai,

i=1,...,N. Для изображения [pic], [pic] где [pic], также характерно

напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai, если [pic], -

непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость [pic] постоянны на Ai, i=1,...,N, то

это верно и для всякого изображения [pic], если [pic] не зависит явно от

[pic]. Для такого изображения примем следующее представление:

[pic], (4)

его черно-белый вариант

[pic] (4*)

на каждом Ai имеет постоянную яркость [pic], и цвет изображения (4)

[pic] (4**)

не меняется на Ai и равен [pic], i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие

физичности (2*), [pic], то форму изображения (4), имеющего на различных

множествах Аi имеет несовпадающие яркости [pic] и различные цвета [pic],

определим как выпуклый замкнутый в [pic]конус:

[pic] [pic]. (4***)

v(a), очевидно, содержится в n(N мерном линейном подпространстве

[pic] [pic], (4****)

которое назовем формой a(() в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a((), у которого не

обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai

,i=1,...,N, определим как линейное подпространство [pic], натянутое не

вектор-функции Fa((),F(F, где F - класс преобразований [pic], определенных

как преобразования векторов a(x)(Fa(x) во всех точках x(X; здесь F - любое

преобразование [pic]. Тот факт, что F означает как преобразование [pic],

так и преобразование [pic], не должен вызывать недоразумения.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем

форма a(() (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же

значение яркости или(и) цвета на различных множествах Аi, i=1,…………..,N.

Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и

приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше

деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание

касается и L(a(()), если речь идет о форме в широком смысле.

Лемма 3. Пусть {Аi} - измеримое разбиение X: [pic].

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :

( постоянную яркость [pic] и цвет [pic] , если и только если выполняется

равенство (4);

( постоянный цвет [pic], если и только если в (3)

[pic];

( постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только если в (3) [pic] не

зависит от [pic], i=1,…...,N.

Доказательство . На множестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны

соответственно[6]

[pic] , [pic], i=1,.…..,N.

Если выполнено равенство (4), то [pic] и [pic] от [pic] не зависят.

Наоборот, если [pic] и [pic], то и [pic], т.е. выполняется (4).

Если [pic] , то цвет [pic] не зависит от [pic] . Наоборот, пусть

[pic] не зависит от [pic]. В силу линейной независимости [pic] координаты

j(i)(x) не зависят от [pic] , т.е. [pic] и, следовательно, [pic] где

[pic] - яркость на A i и [pic]. Последнее утверждение очевидно (

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами

поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего

электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для

регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения,

покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и

собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего

излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет

изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а

яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на

практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное

значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и

произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai ,

i=1,...,N, поля зрения X.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

[pic] , (5)

где, [pic] - индикаторная функция Ai, [pic], функция gi(Ч) задает

распределение яркости

[pic] (6)

в пределах Ai при постоянном цвете

[pic], i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета ((i), i=1,.…..,N, считаются попарно

различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям [pic]

i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности

можно принять условие нормировки [pic], позволяющее упростить выражения

(6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки

распределение яркости на Ai задается функцией [pic] а цвет на Ai равен

[pic] (7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

[pic] (8)

[pic],

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах

каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(Ч)

(5), поскольку в изображении [pic] на некоторых различных подмножествах Ai,

i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в

изображении f(Ч) (5). Совпадение цвета [pic] на различных подмножествах Ai,

i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения [pic] по сравнению с формой

f(Ч) (5). Все изображения [pic], имеющие различный цвет на различных Ai,

i=1,...,N, считаются изоморфными f(Ч) (и между собой), форма остальных не

сложнее, чем форма f(Ч). Если [pic], то, очевидно, [pic].

Если в (8) яркость [pic], то цвет [pic] на Ai считается произвольным

(постоянным), если же [pic] в точках некоторого подмножества [pic], то цвет

[pic] на Ai считается равным цвету [pic] на [pic], i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по

условию задачи все изображения [pic], форма которых не сложнее, чем форма

[pic], должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у [pic] то следует

потребовать, чтобы [pic], в то время, как яркости [pic] остаются

произвольными (если [pic], то цвет [pic] на Ai определяется равным цвету

f(Ч) на Ai, i=1,...,N).

Страницы: 1, 2, 3