реферат, рефераты скачать
 

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений


положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий

максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы [pic],

поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

[pic],

составляющие содержание леммы. Действительно, если [pic] то согласно (23)

[pic], поскольку включение [pic] означает, что[pic][pic]; отсюда и из (25)

получим, что [pic][pic],i=1,...,N, а поэтому и в (24) [pic][pic].

Убедимся в неотрицательности [pic]. В ортонормированном базисе

e1,...,en, в котором [pic], выходной сигнал i-го детектора в точке [pic]

(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид [pic],

p=1,...,n,

где [pic], [pic].

Так как матрица [pic] симметрическая и неотрицательно определенная

([pic]) она имеет n неотрицательных собственных значений[pic], которым

соответствуют n ортонормированных собственных векторов [pic], а поскольку

матричные элементы [pic], то согласно теореме Фробенуса-Перрона

максимальное собственное значение [pic] - алгебраически простое

(некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать

неотрицательным:

[pic]. Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного

множителя [pic], [pic]. (

Замечание 4.

Если [pic] , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того

же разбиения [pic]имеет постоянный цвет, то в теореме 3 [pic], [pic].

Наоборот, если [pic], то

[pic], т.е. [pic] определяется выражением (17), в котором [pic].

Итак, пусть в изображении g(() (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не

коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда

форма в широком смысле [pic] изображения (17) есть множество решений

уравнения

[pic],[pic], (27)

где [pic], fi - собственный вектор оператора Фi: [pic], отвечающий

максимальному собственному значению ri, i=1,...,N . В данном случае [pic],

если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения [pic] ,

естественно отождествить с формой в широком смысле изображения [pic] (17).

Заданы векторы цвета (1,..., (q, требуется определить разбиение

A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет

соответственно цвета (1,..., (q и оптимальные распределения яркостей

[pic][10].

Речь идет о следующей задаче наилучшего в [pic] приближения

изображения [pic]

[pic]. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы [pic]. Так как для

любого измеримого [pic]

[pic], (29)

и достигается на

[pic], (30)

то, как нетрудно убедиться,

[pic], (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x(X, в

которых выполняется равенство [pic] могут быть произвольно отнесены к

одному из множеств Ai или Aj.

Пусть [pic] - разбиение [pic], в котором

[pic] (32)

а F: Rn(( Rn оператор, определенный условием

[pic] (33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

[pic], (34)

где [pic] - индикаторная функция множества Ai (31), i=1,...,q и F

-оператор, действующий в [pic] по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

[pic]

[pic] (35)

имеет решение

[pic] (36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

[pic], (37)

где [pic] - индикаторная функция множества

[pic], (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F+:

Rn(( Rn, действующий согласно формуле

[pic] (39)

где

[pic], так что [pic],i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в [pic]приближения

изображения [pic] изображениями на искомых множествах A1,...,Aq разбиения X

заданные цветами (1,..., (q соответственно, дается равенством (34), искомое

разбиение A1,...,Aq определено в (31). Требование физичности наилучшего

приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение

формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) -

относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего

его цвет.

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов

(1,..., (q на некоторых множествах положительной меры A1,...,Aq разбиение

поля зрения можно назвать оператор [pic] (34), формой такого изображения

является оператор F+ (37). Всякое такое изображение g((), удовлетворяющее

условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению

F+g(()=g((), те из них, у которых ((Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные

имеют более простую форму. (

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения,

заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям

физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения [pic],

заданного распределением цвета [pic], при произвольном (физичном)

распределении яркости, например, [pic]. Для определения формы [pic]

рассмотрим задачу наилучшего в [pic] приближения изображения [pic] такими

изображениями

[pic], (41)

Теорема 5. Решение [pic] задачи (41) дается равенством

[pic], (42)

в котором [pic], где [pic] . Невязка приближения

[pic], (43)

( [pic] !) (

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета

[pic], назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

[pic]

или - проектор [pic] на [pic].

Всякое изображение g((), распределение цвета которого есть ((() и

только такое изображение содержится в [pic] и является неподвижной точкой

оператора

[pic]: [pic]g(() = g((). (#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением

цвета (((), не представлены на изображении f(() = f(()((() в той области

поля зрения, в которой яркость f(x)=0, x(X, будем считать, что [pic] -

форма любого изображения f(x) = f(x)((x), f(x)>0, x(X(mod(), все такие

изображения изоморфны, а форма всякого изображения g((), удовлетворяющего

уравнению (#), не сложнее, чем форма f(().

Замечание 5. Пусть (1,..., (N[pic] - исходный набор цветов, [pic],

A1,...,AN - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4

и

[pic], (34*)

- наилучшее приближение f((). Тогда в равенстве (24)

[pic], (24*)

если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1,...,AN

- заданное в теореме 3 разбиение X и f1,...,fN - собственные векторы

операторов Ф1,...,ФN (23) соответственно, отвечающие максимальным

собственным значениям, то f1,...,fN [pic] и будет выполнено равенство (24),

если в (34*) определить (i как цвет fi в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого

Ai, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N, на

практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно

повысить как путем перехода к более мелкому разбиению [pic], так и допустив

некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai, i=1,...,N, например,

выбрав вместо (17) класс изображений

[pic] (17*)

в котором [pic] в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(() изображениями этого

класса предстоит найти [pic] , векторы [pic] при любом i=1,...,N, можно

считать ортогональными, определив

[pic], (*)

из условия минимума невязки по [pic]. После этого для каждого i=1,...,N

векторы [pic] должны быть определены из условия

[pic] (**)

при дополнительном условии ортогональности

[pic]. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть [pic] ортогональные собственные векторы оператора Фi

(23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

[pic].

Тогда решение задачи (**) дается равенствами [pic].

Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi - самосопряженный

неотрицательно определенный оператор, его собственные значения

неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы

они образовали ортогональный базис в Rn. Пусть Pi - ортогонально проецирует

в Rn на линейную оболочку [pic] собственных векторов [pic] и

[Pi Фi Pi] - сужение оператора Pi Фi Pi на [pic]. Тогда левая часть (*)

равна следу оператора [Pi Фi Pi]

[pic], где [pic] - j-ое собственное значение оператора [pic] (см.,

например, [10]). Пусть [pic]. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], [pic],

откуда следует утверждаемое в лемме. (

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в

рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(()

изображениями (17*) имеет вид

[pic],

Где [pic]: ортогональный проектор на линейную оболочку [pic],

собственных векторов задачи

[pic].

Невязка наилучшего приближения равна

[pic]. (

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(Ч)

изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы [pic], и

надлежит определить измеримое разбиение [pic] и функции [pic], как решение

задачи

[pic] (30)

При любом разбиении [pic]минимум в (30) по [pic] достигается при

[pic], определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

[pic] (31)

где точки [pic], в которых выполняется равенство [pic] могут быть

произвольно включены в одно из множеств : либо в [pic], либо в [pic]. Это

соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть [pic] заданные векторы Rn. Решением задачи (30)

является изображение

[pic],

где ортогональный проектор [pic] определен равенством (25), а [pic] -

индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего

приближения равна

[pic]. (

Замечание 5. Так как при [pic]

[pic],

то условия (31), определяющие разбиение [pic], можно записать в виде

[pic], (32)

показывающем, что множество [pic] в (32) инвариантно относительно любого

преобразования изображения [pic], не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные

условия наилучшего приближения изображения f(() изображениями (17),

при котором должны быть найдены [pic] и (i0 , i=1,...,N, такие, что

[pic].

Теорема 7. Для заданного изображения f(() определим множества [pic]

равенствами (32), оператор П - равенством (24), [pic] - равенствами (25).

Тогда [pic],

определено равенством (32), в котором [pic] - собственный вектор оператора

Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) [pic],

наконец, [pic] будет дано равенством (20), в котором [pic], где [pic] -

собственный вектор оператора [pic], отвечающий наибольшему собственному

значению [pic]; наконец,

[pic]. (

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании

[pic]: Для изображения f(() зададим [pic] и по теореме 5 найдем [pic] и

[pic], затем по теореме 3, используя [pic] найдем [pic] и [pic]. После

этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по [pic] найдем [pic] и [pic] и т.д.

Построенная таким образом последовательность изображений [pic] очевидно

обладает тем свойством, что числовая последовательность [pic], k=1,2,.…..

монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего

определенного нельзя сказать о сходимости последовательности [pic].

Формы [pic] (10) и [pic] (9) удобно задавать операторами Пf и П*f

соответственно.

Теорема 7. Форма [pic] в широком смысле изображения [pic]определяется

ортогональным проектором П*f :

[pic] ,

при этом [pic] и [pic].

Доказательство. Так как для [pic] [pic], то получаем первое

утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую

задачу на минимум [pic], решение которой определяется условиями (см.,

например, [11]) [pic]. Отсюда следует, что [pic] и тем самым доказано и

второе утверждение (

Замечание. Так как [pic], где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора

в точке [pic], причем fi(x)(0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет [pic]

реальных изображений непременно имеет неотрицательные [pic], то для

реальных изображений [pic], условия [pic] и [pic], эквивалентны. Если же

для некоторого [pic], то условие [pic] не влечет [pic]. Заметим также, что

для изображений g((), удовлетворяющих условию [pic], всегда [pic].

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k

детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне

видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение

объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение

можно представить разложением

[pic] (40)

В котором

[pic]. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по

сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача

приближения изображениями f(() , в которых f1(() - любая неотрицательная

функция из [pic], (1(() - фиксированное векторное поле цвета, f2(() -

термояркость, (2(() - термоцвет в точке [pic]. Форма П*f видимой компоненты

f(() (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

[pic], в данном случае

[pic], причем П*f действует фактически только на "видимую компоненту"

g((), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(() в ноль.

Форма ИК компоненты f(() может быть определена лишь тогда, когда

известно множество возможных преобразований (2(() f2(().

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения,

неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями

масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа

изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения

и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности

освещения.

Можно ли считать f(() и g(() изображениями одной и той же сцены,

возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием

теней?

В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться

теоремой 5, а именно, f(() и g(() можно считать изображениями одной и той

же сцены, если существует распределение цвета [pic], для которого v(((())

содержит f(() и g((). Если [pic], и [pic], то, очевидно, существует [pic],

при котором f(x)(v(((()), g(x)(v(((()), а именно, [pic], [pic], если [pic],

[pic], если [pic], и, наконец, [pic] - произвольно, если [pic].

На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий

одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов.

Можно ли, например, считать g(() изображением сцены, представленной

изображением f(()? Ответ следует считать утвердительным, если

[pic].

Здесь ((() - распределение цвета на изображении f((), символ ~0 означает,

что значение ((g(()) можно объяснить наличием шума, каких-либо других

погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов

объясняющим несовпадение g(() и f(() с точностью до преобразования

распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g(()

по сравнению с распределением цвета f((), представлены в [pic].

2).Идентификация при произвольном изменении распределения

интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава

освещения.

Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении

f((), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации,

например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального

состава освещения?

Пусть П - форма в широком смысле изображения f((), определенная в

теореме @, П* - форма f((). Тогда ответ на поставленный вопрос можно

считать утвердительным, если [pic]. Если изменение g(() обусловлено не

только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или)

исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим

последним обстоятельством будут представлены на [pic].

3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.

Пусть f(() - заданное изображение, A(X - подмножество поля зрения,

(A(() - его индикатор, (A(()f(() -назовем фрагментом изображения f(() на

подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на

f((). Пусть g(() - изображение той же сцены, полученное при других

условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически

искаженное по сравнению с f((). Задача состоит в том, чтобы указать на g(()

фрагмент изображения, представляющий на f(() фрагмент сцены и совместить

его с (A(()f(().

Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно

моделировать группой преобразований R2->R2, преобразование изображения

[pic] назовем сдвигом g(() на h. Здесь

Q(h): Rn->Rn, h(H, - группа операторов. Векторный сдвиг на h((H даст

[pic].

В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент

сдвинутого на h изображения g(() в “окне” A:

[pic] (100)

причем, поскольку [pic] где [pic] то в (100) [pic] - ограничение на сдвиг

“окна” А, которое должно оставаться в пределах поля зрения X.

Если кроме цвета g(() может отличаться от f((), скажем, произвольным

преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и

[pic] - форма фрагмента f((), то задача выделения и совмещения фрагмента

сводится к следующей задаче на минимум

[pic].(101)

При этом считается, что фрагмент изображения g((), соответствующий

фрагменту (A(()f((), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига

h=h*, совпадает с (A(()f(() с точностью до некоторого преобразования

распределения яркости на нем. Это означает, что

[pic].

т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.

4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа

спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в

первом канале и “не видны” в остальных.

Рассмотрим два изображения [pic] и [pic]. Определим форму в широком

смысле [pic] как множество всех линейных преобразований [pic]: [pic] (A -

линейный оператор R2->R2, не зависящий от x(X). Для определения проектора

на [pic] рассмотрим задачу на минимум

[pic]. [*]

Пусть [pic], [pic], тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr

A*AS - 2trAB ~ [pic]. Ее решение [pic] (знаком - обозначено

псевдообращение).

[pic]=[pic]

[pic]=[pic]

[pic]

Рис.1.

fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e((), (e -

его цвет; (1,(2,(3, - векторы (цвета) базовых излучений, ( - белый цвет,

конец вектора ( находится на пересечении биссектрис.

Литература.

[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, -

Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.

[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983,

т. 296, №5, сс. 1061-1064.

[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, -

Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса,

ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.

[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, -

Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image

Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для

морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и

дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.

[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля

изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс.

2456-2458.

[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для

морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-

120.

[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации

сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических

изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-

хххх.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using

Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE -

Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350,

pp. 163-167.

[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая

школа, 351 стр., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения.

М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института,

вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart

1985.

-----------------------

[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года

и т.п.

[2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в

работе[3].

[3] вектор fe будет иметь отрицательные координаты, если он не

принадлежит выпуклому конусу

[pic]

[4]черта символизирует замыкание, [pic] - выпуклый замкнутый конус в

Rn.

[5] Если [pic] - более детальное изображение , то некоторые A(() могут

“ращепиться” на несколько подмножеств A((((), на каждом из которых цвет

[pic] постоянный, но различный на разных подмножествах A((((). Однако,

поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f((), v(f(())

не может содержать изображения, которые более детально характеризуют

изображенную сцену.

[6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой

точке поля зрения Х.

[7][pic]- класс неотрицательных функций [pic] принадлежащих [pic].

[8]Одна и та же буква F использована как для оператора [pic], так и

для оператора [pic]. Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто

используется в работе.

[9]Если m(As)=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и

распределение яркости на As можно считать произвольными, поскольку их

значения не влияют на величину невязки s.

[10]Векторы (1,..., (q выбираются, например, сообразно цветам

объектов, представляющих интерес.

Страницы: 1, 2, 3


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.