реферат, рефераты скачать
 

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений


Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного,

изображения f(Ч) в том случае, когда допустимы произвольные изменения

яркости [pic] при неизменном цвете ((x) в каждой точке [pic]. Множество,

содержащее все такие изображения

[pic] (9)

назовем формой в широком смысле изображения [pic], у которого f(x)(0, (-

почти для всех [pic], [ср. 2]. [pic] является линейным подпространством

[pic], содержащем любую форму

[pic], (10)

в которой включение [pic]определяет допустимые значения яркости. В

частности, если [pic]означает, что яркость неотрицательна: [pic], то [pic]

- выпуклый замкнутый конус в [pic], принадлежащий [pic].

Более удобное описание формы изображения может быть получено на

основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма

определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе

дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего

приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего

приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными

(мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму

изображения [pic] в том случае, когда считается, что [pic] для любого

преобразования [pic], действующего на изображение [pic] как на вектор [pic]

в каждой точке [pic] и оставляющего [pic] элементом [pic], т.е.

изображением. Форма в широком смысле [pic] определяется как оператор [pic]

наилучшего приближения изображения [pic] изображениями [pic]

[pic]

где [pic]- класс преобразований [pic], такой, что [pic]. Иначе можно

считать, что

[pic] (10*)

а [pic] - оператор наилучшего приближения элементами множества [pic], форма

которых не сложнее, чем форма [pic]. Характеристическим для [pic] является

тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого [pic].

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых

постоянны на подмножествах разбиения [pic] поля зрения X.

Задано разбиение [pic], требуется определить яркость и цвет

наилучшего приближения на каждом [pic]. Рассмотрим задачу наилучшего

приближения в [pic] цветного изображения f(() (2) изображениями (4), в

которых считается заданным разбиение [pic] поля зрения X и требуется

определить [pic] из условия

[pic]

[pic] (11)[pic]

Теорема 1. Пусть [pic]. Тогда решение задачи (11) имеет вид

[pic], i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

[pic] . (13)

Оператор [pic] является ортогональным проектором на линейное

подпространство (4****) [pic] изображений (4), яркости и цвета которых не

изменяются в пределах каждого Ai , i=1,...,N.

Черно-белый вариант [pic] (4*) цветного изображения [pic](4) является

наилучшей в [pic] аппроксимацией черно-белого варианта [pic] цветного

изображения f(Ч) (2), если цветное изображение [pic](4) является наилучшей

в [pic] аппроксимацией цветного изображения f(Ч) (2). Оператор [pic],

является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых

изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого [pic].

В точках множества [pic] цвет [pic](4**) наилучшей аппроксимации

[pic](4) цветного изображения f(Ч) (2) является цветом аддитивной смеси

составляющих f(Ч) излучений, которые попадают на [pic].

Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно

определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку

в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(Ч) на

[pic]. Второе утверждение следует из равенства

[pic], вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

[pic][pic][pic],i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором

индекс k следует заменить на x(X. (

Замечание 1. Для любого измеримого разбиения [pic] ортогональные

проекторы [pic] и [pic] определяют соответственно форму в широком смысле

цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах

каждого [pic], различны для различных [pic], ибо [pic], и форму в широком

смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом [pic]

и различна для разных [pic],[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения

следует считать проектор [pic] на выпуклый замкнутый конус [pic] (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор

[pic] на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [pic] [2].

Дело в том, что оператор [pic] определяет форму [pic] изображения (4), а

именно

[pic] - множество собственных функций оператора [pic]. Поскольку [pic]f(()

- наилучшее приближение изображения [pic] изображениями из [pic], для

любого изображения [pic] из [pic] и только для таких [pic]- [pic]. Поэтому

проектор [pic] можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(()

[pic],[7] [2]. И проектор [pic] можно отождествить с формой изображения

(4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего

приближения элементами [pic] и [pic], которая известна как транзитивность

проецирования. Именно, если [pic] оператор наилучшего в [pic] приближения

злементами выпуклого замкнутого (в [pic] и в [pic]) конуса [pic], то

[pic]. Иначе говоря, для определения наилучшего в [pic] приближения [pic]

элементами [pic] можно вначале найти ортогональную проекцию [pic]

изображения [pic] на [pic], а затем [pic] спроецировать в [pic] на [pic].

При этом конечномерный проектор [pic] для каждого конкретного конуса [pic]

может быть реализован методом динамического программирования, а для многих

задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается

использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле [pic] (4***) изображения (4) полностью

определяется измеримым разложением [pic], последнее, в свою очередь

определяется изображением

[pic],

если векторы [pic] попарно различны. Если при этом [pic], то форма в

широком смысле [pic] может быть определена и как оператор П ортогонального

проецирования на [pic], определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении

формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на

линейное подпространство [pic] (10*) для произвольного изображения [pic].

Пусть [pic] - множество значений [pic] и [pic] - измеримое разбиение X ,

порожденное [pic], в котором [pic] - подмножество X , в пределах которого

изображение [pic] имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором

[pic], если [pic].

Однако для найденного разбиения условие [pic], вообще говоря,

невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить

ортогональный проектор П на [pic]. Покажем, что П можно получить как предел

последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале,

что любое изображение [pic] можно представить в виде предела (в [pic])

должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

[pic] (*)

где [pic] - индикатор множества [pic], принадлежащего измеримому разбиению

[pic]

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую

последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

- [pic]- C - измеримо, [pic];

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого [pic],

найдется i=i(j),[pic], такое, что [pic];

- минимальная (-алгебра, содержащая все [pic], совпадает с C.

Лемма (*). Пусть [pic] - исчерпывающая последователь-ность разбиений

X и [pic]- то множество из [pic], которое содержит [pic]. Тогда для любой C-

измеримой функции [pic]

[pic]

и (-почти для всех [pic] [pic] [ ]. (

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле

П произвольного изображения [pic]. Пусть [pic] - минимальная (-алгебра,

относительно которой измеримо [pic], т.е. пусть [pic], где [pic] - прообраз

борелевского множества [pic], B - (-алгебра борелевских множеств [pic].

Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность

разбиений, C на [pic] и выберем эту, зависящую от [pic], исчерпывающую

последовательность ([pic] - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть [pic], [pic]- исчерпывающая последовательность

разбиений X, причем [pic]- минимальная (-алгебра, содержащая все [pic] и

П(N) - ортогональный проектор [pic], определенный равенством [pic], [pic]

Тогда

1) для любого [pic]-измеримого изображения [pic] и почти для всех [pic],

[pic],

2) для любого изображения [pic] при [pic] [pic] (в [pic]), где П -

ортогональный проектор на [pic].

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы

(*) и определения [pic]. Для доказательства второго утверждения заметим,

что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то

последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: [pic] и

потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так

как [pic] - множество всех [pic]-измеримых изображений и их пределов (в

[pic]), а в силу леммы (*) для любого [pic]-измеримого изображения [pic]

[pic], то для любого изображения [pic] [pic]и для любого [pic] [pic], ибо

[pic]-измеримо, N=1,2,... (

Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая

последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.

Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение [pic], на

множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно

значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения

f(Ч), в которой задано не разбиение [pic] поля зрения X, а векторы [pic] в

[pic], и требуется построить измеримое разбиение [pic]поля зрения, такое,

что цветное изображение [pic] - наилучшая в [pic] аппроксимация f(Ч). Так

как

[pic][pic], (14*)

то в Ai следует отнести лишь те точки [pic], для которых [pic],

[pic]=1,2,...,q, или, что то же самое, [pic][pic]=1,2,...,q. Те точки,

которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким

множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая

это, условимся считать, что запись

[pic] [pic] , (14)

означает, что множества (14) не пересекаются и [pic].

Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического

анализа, рассмотрим разбиение [pic], в котором

[pic] (15)

и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим

оператор F, действующий из [pic] в [pic] по формуле [pic], [pic],

i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения

[pic] и [pic], i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8]

Теорема 2. Пусть [pic] - заданные векторы Rn. Решение задачи

[pic]

наилучшего в [pic] приближения изображения f(Ч) изображениями [pic] имеет

вид [pic], где [pic] - индикаторная функция множества [pic]. Множество

[pic] определено равенством (15). Нелинейный оператор [pic], как всякий

оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является

пректором.

Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте,

то есть заданы числа [pic], i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными

согласно условию [pic], то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит

из множеств

[pic]

где [pic], и имеет мало общего с разбиением (14).

Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: [pic],

i=1,...,q. Тогда

[pic]. (16)

Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными

гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что

соответствующее приближение [pic] изображения f(Ч) инвариантно относительно

произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например

[pic]), в частности, относительно образования теней на f(Ч).

Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов

[pic] оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения,

принимающего значения [pic] соответственно на измеримых множествах [pic]

(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в

[pic]) точкой F: [pic], если [pic], все они изоморфны между собой. Если

некоторые множества из [pic] - пустые, или нулевой меры, соответствующие

изображения имеют более простую форму.

Иначе говоря, в данном случае формой изображения [pic] является

множество всех изображений, принимающих заданные значения [pic] на

множествах положительной меры [pic] любого разбиения X, и их пределов в

[pic].

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия

наилучшего приближения изображения f(() изображениями [pic], в котором

требуется определить как векторы [pic], так и множества [pic] так, чтобы

[pic].

Следствие 1.

Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный

проектор (13), [pic], где [pic]. Тогда необходимые и достаточные условия

[pic] суть следующие: [pic], где [pic], [pic].

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений,

получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную

задачу. Пусть [pic] - исходные векторы в задаче (14*), [pic] -

соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего

приближения и [pic] - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для

найденного разбиения [pic] оптимальные векторы [pic]. Согласно выражению

(13) [pic], и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)

обеспечит не менее точное приближение f((), чем F(1): [pic]. Выберем теперь

в теореме 2 [pic], определим соответствующее оптимальное разбиение [pic] и

построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда [pic]. На следующем

шаге по разбиению [pic] строим [pic] и оператор П(3) и т.д.

В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении

исчерпывающего [pic]-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции

[pic]. Выберем произвольно попарно различные векторы [pic]из f(X) и

построим по формуле (15) разбиение Rn [pic]. Для каждого q=1,2,... образуем

разбиение E(N(q)), множества [pic], j=1,...,N(q), которого образованы всеми

попарно различными пересечениями [pic] множеств из [pic].

Последовательность соответствующих разбиений X [pic], i=1,...,N(q),

q=1,2... [pic] -измеримы и [pic] является продолжением [pic]

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах

разбиения [pic] поля зрения X.

Задано разбиение [pic], требуется определить цвет и распределение

яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет

класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых

подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений

изображениями такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

[pic] (17)

где [pic].

Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X, [pic] - индикаторная функция

Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в [pic] приближения изображения

[pic] изображениями (17), не требуя, чтобы [pic]

[pic] (18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения [pic]

изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из [pic],

в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из

заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3).

Так как

[pic]

то минимум S (19) по [pic] достигается при

[pic], (20)

и равен

[pic] (21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

[pic]. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно

определенный оператор [pic]

[pic] . (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы [pic] на сфере [pic]в

Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе

yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению [pic]>0,

[pic],

и равен [pic], т.е. [pic]. Следовательно, максимум в (22) равен [pic] и

достигается, например, при [pic]

Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9]

m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения

[pic][pic] изображениями g(()[pic] (17) является изображение

[pic] (24)

Операторы [pic],i=1,...,N, и [pic] - нелинейные (зависящие от

f(()[pic]) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы [pic][pic] на линейное

подпространство [pic], натянутое на собственный вектор [pic] оператора Фi

(23), отвечающий наибольшему собственному значению ri,

[pic]; (25)

П проецирует в [pic] изображение [pic][pic] на минимальное линейное

подпространство [pic], содержащее все изображения [pic]

Невязка наилучшего приближения

[pic] (19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из

(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23).

Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то

задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi

неотрицательны и среди них ri - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем

обозначения, указывающие на зависимость от f(():

[pic]

[pic] (26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов

Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их

действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному

собственному значению ri. Чтобы определить [pic] следует решить задачу на

собственные значения для оператора [pic]:

[pic].

Поскольку rank[pic]=1, [pic] имеет единственное положительное собственное

значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует

единственный собственный вектор fi. Поэтому

[pic].

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для [pic] (

Лемма 4. Для любого изображения [pic] решение (24) задачи (18)

наилучшего приближения единственно и является элементом [pic].

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до

Страницы: 1, 2, 3


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.