| |||||
МЕНЮ
| Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображенийНетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(Ч) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости [pic] при неизменном цвете ((x) в каждой точке [pic]. Множество, содержащее все такие изображения [pic] (9) назовем формой в широком смысле изображения [pic], у которого f(x)(0, (- почти для всех [pic], [ср. 2]. [pic] является линейным подпространством [pic], содержащем любую форму [pic], (10) в которой включение [pic]определяет допустимые значения яркости. В частности, если [pic]означает, что яркость неотрицательна: [pic], то [pic] - выпуклый замкнутый конус в [pic], принадлежащий [pic]. Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения. 5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения. Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения [pic] в том случае, когда считается, что [pic] для любого преобразования [pic], действующего на изображение [pic] как на вектор [pic] в каждой точке [pic] и оставляющего [pic] элементом [pic], т.е. изображением. Форма в широком смысле [pic] определяется как оператор [pic] наилучшего приближения изображения [pic] изображениями [pic] [pic] где [pic]- класс преобразований [pic], такой, что [pic]. Иначе можно считать, что [pic] (10*) а [pic] - оператор наилучшего приближения элементами множества [pic], форма которых не сложнее, чем форма [pic]. Характеристическим для [pic] является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого [pic]. 5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения [pic] поля зрения X. Задано разбиение [pic], требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом [pic]. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в [pic] цветного изображения f(() (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение [pic] поля зрения X и требуется определить [pic] из условия [pic] [pic] (11)[pic] Теорема 1. Пусть [pic]. Тогда решение задачи (11) имеет вид [pic], i=1,...,N, j=1,...,n, (12) и искомое изображение (4) задается равенством [pic] . (13) Оператор [pic] является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) [pic] изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого Ai , i=1,...,N. Черно-белый вариант [pic] (4*) цветного изображения [pic](4) является наилучшей в [pic] аппроксимацией черно-белого варианта [pic] цветного изображения f(Ч) (2), если цветное изображение [pic](4) является наилучшей в [pic] аппроксимацией цветного изображения f(Ч) (2). Оператор [pic], является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого [pic]. В точках множества [pic] цвет [pic](4**) наилучшей аппроксимации [pic](4) цветного изображения f(Ч) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(Ч) излучений, которые попадают на [pic]. Доказательство. Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(Ч) на [pic]. Второе утверждение следует из равенства [pic], вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств [pic][pic][pic],i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на x(X. ( Замечание 1. Для любого измеримого разбиения [pic] ортогональные проекторы [pic] и [pic] определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого [pic], различны для различных [pic], ибо [pic], и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом [pic] и различна для разных [pic],[2]. Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор [pic] на выпуклый замкнутый конус [pic] (4***) Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор [pic] на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [pic] [2]. Дело в том, что оператор [pic] определяет форму [pic] изображения (4), а именно [pic] - множество собственных функций оператора [pic]. Поскольку [pic]f(() - наилучшее приближение изображения [pic] изображениями из [pic], для любого изображения [pic] из [pic] и только для таких [pic]- [pic]. Поэтому проектор [pic] можно отождествить с формой изображения (4). Аналогично для черно-белого изображения a(() [pic],[7] [2]. И проектор [pic] можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3]. Примечания. Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами [pic] и [pic], которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если [pic] оператор наилучшего в [pic] приближения злементами выпуклого замкнутого (в [pic] и в [pic]) конуса [pic], то [pic]. Иначе говоря, для определения наилучшего в [pic] приближения [pic] элементами [pic] можно вначале найти ортогональную проекцию [pic] изображения [pic] на [pic], а затем [pic] спроецировать в [pic] на [pic]. При этом конечномерный проектор [pic] для каждого конкретного конуса [pic] может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П . Форма в широком смысле [pic] (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением [pic], последнее, в свою очередь определяется изображением [pic], если векторы [pic] попарно различны. Если при этом [pic], то форма в широком смысле [pic] может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на [pic], определенный равенством (13). Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство [pic] (10*) для произвольного изображения [pic]. Пусть [pic] - множество значений [pic] и [pic] - измеримое разбиение X , порожденное [pic], в котором [pic] - подмножество X , в пределах которого изображение [pic] имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором [pic], если [pic]. Однако для найденного разбиения условие [pic], вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на [pic]. Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение [pic] можно представить в виде предела (в [pic]) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений [pic] (*) где [pic] - индикатор множества [pic], принадлежащего измеримому разбиению [pic] В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям - [pic]- C - измеримо, [pic]; - N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого [pic], найдется i=i(j),[pic], такое, что [pic]; - минимальная (-алгебра, содержащая все [pic], совпадает с C. Лемма (*). Пусть [pic] - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и [pic]- то множество из [pic], которое содержит [pic]. Тогда для любой C- измеримой функции [pic] [pic] и (-почти для всех [pic] [pic] [ ]. ( Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения [pic]. Пусть [pic] - минимальная (-алгебра, относительно которой измеримо [pic], т.е. пусть [pic], где [pic] - прообраз борелевского множества [pic], B - (-алгебра борелевских множеств [pic]. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на [pic] и выберем эту, зависящую от [pic], исчерпывающую последовательность ([pic] - измеримых) разбиений в лемме (*). Теорема (*). Пусть [pic], [pic]- исчерпывающая последовательность разбиений X, причем [pic]- минимальная (-алгебра, содержащая все [pic] и П(N) - ортогональный проектор [pic], определенный равенством [pic], [pic] Тогда 1) для любого [pic]-измеримого изображения [pic] и почти для всех [pic], [pic], 2) для любого изображения [pic] при [pic] [pic] (в [pic]), где П - ортогональный проектор на [pic]. Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения [pic]. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) - продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: [pic] и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как [pic] - множество всех [pic]-измеримых изображений и их пределов (в [pic]), а в силу леммы (*) для любого [pic]-измеримого изображения [pic] [pic], то для любого изображения [pic] [pic]и для любого [pic] [pic], ибо [pic]-измеримо, N=1,2,... ( Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте. Заданы векторы f1,...,fq, требуется определить разбиение [pic], на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f(Ч), в которой задано не разбиение [pic] поля зрения X, а векторы [pic] в [pic], и требуется построить измеримое разбиение [pic]поля зрения, такое, что цветное изображение [pic] - наилучшая в [pic] аппроксимация f(Ч). Так как [pic][pic], (14*) то в Ai следует отнести лишь те точки [pic], для которых [pic], [pic]=1,2,...,q, или, что то же самое, [pic][pic]=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись [pic] [pic] , (14) означает, что множества (14) не пересекаются и [pic]. Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение [pic], в котором [pic] (15) и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F, действующий из [pic] в [pic] по формуле [pic], [pic], i=1,...,q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения [pic] и [pic], i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. [8] Теорема 2. Пусть [pic] - заданные векторы Rn. Решение задачи [pic] наилучшего в [pic] приближения изображения f(Ч) изображениями [pic] имеет вид [pic], где [pic] - индикаторная функция множества [pic]. Множество [pic] определено равенством (15). Нелинейный оператор [pic], как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2=F, т.е. является пректором. Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа [pic], i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию [pic], то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств [pic] где [pic], и имеет мало общего с разбиением (14). Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: [pic], i=1,...,q. Тогда [pic]. (16) Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение [pic] изображения f(Ч) инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например [pic]), в частности, относительно образования теней на f(Ч). Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов [pic] оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения [pic] соответственно на измеримых множествах [pic] (любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в [pic]) точкой F: [pic], если [pic], все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из [pic] - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму. Иначе говоря, в данном случае формой изображения [pic] является множество всех изображений, принимающих заданные значения [pic] на множествах положительной меры [pic] любого разбиения X, и их пределов в [pic]. Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(() изображениями [pic], в котором требуется определить как векторы [pic], так и множества [pic] так, чтобы [pic]. Следствие 1. Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn (15), П - ортогональный проектор (13), [pic], где [pic]. Тогда необходимые и достаточные условия [pic] суть следующие: [pic], где [pic], [pic]. Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть [pic] - исходные векторы в задаче (14*), [pic] - соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего приближения и [pic] - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения [pic] оптимальные векторы [pic]. Согласно выражению (13) [pic], и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение f((), чем F(1): [pic]. Выберем теперь в теореме 2 [pic], определим соответствующее оптимальное разбиение [pic] и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда [pic]. На следующем шаге по разбиению [pic] строим [pic] и оператор П(3) и т.д. В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего [pic]-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции [pic]. Выберем произвольно попарно различные векторы [pic]из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn [pic]. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества [pic], j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями [pic] множеств из [pic]. Последовательность соответствующих разбиений X [pic], i=1,...,N(q), q=1,2... [pic] -измеримы и [pic] является продолжением [pic] 5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения [pic] поля зрения X. Задано разбиение [pic], требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N. Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса. Запишем изображение (5) в виде [pic] (17) где [pic]. Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X, [pic] - индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в [pic] приближения изображения [pic] изображениями (17), не требуя, чтобы [pic] [pic] (18) Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения [pic] изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из [pic], в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3). Так как [pic] то минимум S (19) по [pic] достигается при [pic], (20) и равен [pic] (21) Задача (18) тем самым сведена к задаче [pic]. (22) В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор [pic] [pic] . (23) Максимум (неотрицательной) квадратичной формы [pic] на сфере [pic]в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению [pic]>0, [pic], и равен [pic], т.е. [pic]. Следовательно, максимум в (22) равен [pic] и достигается, например, при [pic] Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения [pic][pic] изображениями g(()[pic] (17) является изображение [pic] (24) Операторы [pic],i=1,...,N, и [pic] - нелинейные (зависящие от f(()[pic]) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы [pic][pic] на линейное подпространство [pic], натянутое на собственный вектор [pic] оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri, [pic]; (25) П проецирует в [pic] изображение [pic][pic] на минимальное линейное подпространство [pic], содержащее все изображения [pic] Невязка наилучшего приближения [pic] (19*). Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri - наибольшее. Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f((): [pic] [pic] (26*) Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами. Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить [pic] следует решить задачу на собственные значения для оператора [pic]: [pic]. Поскольку rank[pic]=1, [pic] имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому [pic]. Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для [pic] ( Лемма 4. Для любого изображения [pic] решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом [pic]. Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|