Полный курс лекций по математике

Полный курс лекций по математике

МАТЕМАТИКА

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

математики.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида –

образец научного метода. История создания неевклидовой геометрии.

Тема 3. История развития науки о числе . Комплексные числа и действия с

ними. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на

плоскости.

Тема 5. Кривые второго порядка.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы

вычисления определителей. Решение систем линейных алгебраических уравнений

по формулам Крамера.

Тема 7. Матрицы. Алгебра матриц.

Тема 8. Понятие множества. Пересечение множеств, объединение множеств,

множества на числовой прямой.

Тема 9. Математический анализ. Функция. Классификация функций.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах функций. Замечательные пределы.

Понятие о непрерывности функции.

Тема 11. Производная и дифференциал.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства

неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница.

Тема 14. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций.

Тесты.

Литература

Базовая учебная литература к курсу:

1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.:

Наука, 1975г.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:Наука, 1975г

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

математики.

Целью изучения математики является – повышение общего кругозора,

культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных

формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

зарождение математики, элементарная математика, математика переменных

величин, современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей

эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал.

Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней

Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с

достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для

удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается

арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел,

выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное

исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся

решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной

геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге

«Начала» (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию

методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения

величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных

величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и

интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие

«бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых

(математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится

основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям

математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта –

метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет

изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны

метод координат открыл возможность геометрической интерпретации

алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке

задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных

форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы.

Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате

запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности

математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая

геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках

позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой

математики, «математизация» различных областей науки, проникновение

математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс

вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин,

например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и

другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод.

В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые

аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические

следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются

математические доказательства – строгие логические рассуждения.

Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для

правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения

необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же

математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга

реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может

описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для

математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между

ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не

основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок

следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-

технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики

в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма

четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее

общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без

современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом

был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных

задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида

– образец аксиоматического построения научной теории. История создания

неевклидовой геометрии.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки

является одним из величайших достижений математической мысли. Оно

потребовало работы многих поколений ученых.

Основные черты дедуктивного метода.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота

этого построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1) к перечислению основных понятий,

2) к изложению определений,

3) к изложению аксиом,

4) к изложению теорем,

5) к доказательству этих теорем.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть

рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает

логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О

смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти

вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность

аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно

высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического

материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения,

которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является

элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом

(около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде –

«Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать

между, принадлежать, движение – основные отношения.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп.

В пятой группе одна аксиома – аксиома о параллельных (V постулат Евклида).

Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую

данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность

доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более

2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента,

когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную

безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятого

постулата является строго доказанным математическим фактом.

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в

данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку

можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической

строгостью вывел стройную систему теорем, составляющих содержание

неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как

логические системы равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг

от друга пришли к одним результатам – недоказуемости пятого постулата и к

созданию неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Янош Бойяй (1802-1860)

Судьба открытия Лобачевского.

В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200

летие своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно

связано с Казанским Университетом и составляет его гордость.

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807

году поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил

его. 19 февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-

математическому факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои

идеи, которые излагал в трудах «Начала геометрии», «Воображаемая геометрия»

и других. За год до смерти он опубликовал свою работу «Пангеометрия»

(1855г.).

Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как

профессор, главный библиотекарь, декан, а позднее – ректор Университета,

при нем развернулось строительство Университетского прекрасного

архитектурного ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись

признания своих идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными

математиками того времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое

время, но все развитие науки подготовило их неизбежное торжество. Через

пятнадцать лет после его смерти его открытие стало общеизвестным и

определило на столетие вперед развитие геометрической науки, оказало

сильнейшее влияние на другие разделы математики, явилось одной из

предпосылок глубокого преобразования физических представлений о

пространстве и времени.

Тема 3. История развития науки о числе.

Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности

используемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне

довольствовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им

несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической алгеброй для

описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на

пять главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное

множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа,

отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые

числа и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е.

числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной

дробью, такие как ? , [pic], [pic] и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в

рассмотрение «мнимое число» [pic].

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам

по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy

для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i =[pic], iІ = –1, х и у – вещественные числа

Само число z = x + i y называется комплексным, а i =[pic], мнимой

единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.

«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в

1702 году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат.

Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике,

технике.

Пример. Найти корни уравнения хІ+x+1=0.

1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения

х[pic] = (-1+[pic])/2 = (-1+i[pic])/2;

х[pic] = (-1-[pic])/2 = (-1-i[pic])/2;

Это уравнение имеет комплексные корни, где i =[pic].

Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez -

называется вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой

частного числа, х и у - вещественные числа.

Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3

мнимая часть числа.

2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 -

мнимая часть числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его

вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 Rez = х=0, Im z =у=0.

( - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только

тогда», необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число,

т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно

равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z[pic] = х[pic]+iy[pic],

z[pic] = х[pic]+iy[pic], z[pic] = z[pic] если х[pic] = х[pic] и y[pic]=

y[pic].

4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух

комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя

комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково

удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) уІ= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)

2) хІ= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

0

РИС.4

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале

координат 0.

Парабола уІ = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

1) уІ = 4х; 2) уІ = -4х; 3) хІ =4у; 4) хІ =-4у; а так же их фокусы и

директрисы и написать уравнения директрис.

Ответ:

1)

0

0

yІ = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

3)

0

Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)

У = -1 – уравнение директрисы.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R;

(рис.6)

Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1,

2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?

Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение

примет вид:

х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0

2)

-1

2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не

удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ? 0.

Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы

вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по

формулам Крамера.

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом

[pic] и определяемое равенством [pic] = а11а22-а12а21.

Например, Вычислить определитель [pic] = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель

второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом [pic]

и определяемое равенством [pic] = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 –

(а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).

Например, [pic] = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) =

-12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.

2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух

любых строк или столбцов.

3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца

одинаковы.

4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки

(столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца),

умноженные на произвольное число.

Например, [pic] = [pic]

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного

путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на

пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка

на единицу ниже исходного.

Например, в определителе, [pic] Минором к элементу 4 является М13= [pic]= =

10+2=12.

Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е.

Аij = (-1)i+j Mij

В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * [pic] = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.

6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки

(столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.

Например, [pic] = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства

называется разложением определителя по элементам первой строки.

7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к

элементам другой строки равна нулю.

Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.

Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого

порядка.

Пример. Вычислить определитель [pic] двумя способами.

первый способ. [pic] = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 +

+(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.

Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. [pic] =

Страницы: 1, 2, 3