Полный курс лекций по математике

по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

Решение: (х2)` = lim ?f / ?х

Из первого примера ?f = 2x*?x+?x2, подставим, получим

(x2)` = lim ?f / ?х = lim (2x*?x+?x2)/?x = lim [?x (2х + ?х)]/ ?x

= 2x

Пример 3. у = 1-х, Найти ?у при х=2, ? = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+?х) = 1 – (х+?х),

?у = у (х+?х) – у(х) = 1-х - ?х – (1 – х) = 1-х - ?х – 1 + х = - ?х

при х = 2, ?х = 0,1 ?у = -?х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.

Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *?х.

Решение: у` = (x2)` *?х + x2 *(?х)` = 2x ?х + x2 *?х ln?

ln ? = log?? = 1. y` = 2x?x + x2 * ?x

Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] / (х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2)

/ (x2+1)2

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (?(х))]` = f?`(?(x)) * ?`(x)

Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx *

cosx.

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/

Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х).

Производная от этой производной и называется производной второго порядка от

функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично

определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) =

(d3y) / (dx3).

производная четвертого порядка уIV = f IV(x) = (d4y) / (dx4).

производная n-oго порядка у(n) = f (n)(x) = (d n y) / (dxn).

Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом

вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства

неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на

интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для

любых х Є (-?, ?).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 –

100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором

интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F2(x) = F1(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции

отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на

интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и

обозначается [pic]f(x)dx, где [pic]- знак интеграла, f(x) – подинтегральная

функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

[pic]f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется

интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ([pic](f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла

равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному

выражению. d([pic]f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой

функции с точностью до постоянного слагаемого.

[pic]d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

[pic], где к - число

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

[pic](f(x) +?(x))dx = [pic]f(x)dx + [pic]?(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу

неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1. [pic]х? dx = [x?+1 / (? +1)] +C, ? ? -1, ? Є R

2. [pic]dx/x = ln|x|+C

3. [pic]ax = (ax/ln a)+C, [pic]exdx = ex+C

4. [pic]sinx dx = -cosx + C

5. [pic]cosx dx = sinx + C

6. [pic]dx/(cosx)2 = tgx + C

7. [pic]dx/(sinx)2 = -ctgx + C

8. [pic]dx /[pic]2-x2) = (arcsin x/a) + C

9. [pic]dx / [pic]2 – x2) = (-arccos x/a) +C

10. [pic]dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C

11. [pic]dx / a2 +x2 = - 1/a arcctg x/a +C

12. [pic]dx / a2 -x2 = 1/2a ln |x+a/x-a| +C

13. [pic]dx / [pic]a2 +x2) = ln |x+ [pic]2+x2)| +C.

Пример 1. Вычислить [pic](2х2 -3[pic] -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и

первой табличной формулой. [pic](2х2 -3[pic] -1)dx = 2[pic]х2 dx -

3[pic]х1/2 dx - [pic]dx=

= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 - 2[pic]3 – x +C.

Пример 2. [pic](2/[pic] -1/х + 4sinx)dx = [pic]2х –1/2dx – ln |х| -

4cosx + C =

= 2[(x1/2 *2)/1] – ln |x| - 4 cosx +C = 4[pic] -ln|x|- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы:

метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены

переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными

функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные

интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами

функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, [pic]e –x^2 dx, [pic]sinх2 dx, [pic]cosх2 dx, [pic]sinx/x dx,

[pic]cosx/x dx, [pic]dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не

существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) =

sinx2 и т.д.

Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п

элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На

каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и

положим

?хi = xi – xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сi найдем значение

функции f(Ci), составим произведения f(C1)?x1, f(C2)?x2, …, f(Ci)?xi, …,

f(Cn)?xn, рассмотрим сумму этих произведений:

f(C1)?x1 + f(C2)?x2 + … + f(Ci)?xi + … + f(Cn)?xn = ? f(Ci)?xi.

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на

отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения

отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом

элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

y = f(x)

S1 S2 S3

0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в

Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.

С1 ,С2 ,С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S1 = f1(C1) ?x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке

разбиения, ?х1 = х1-х0,

S2 = f2(C2) ?x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке

разбиения. ?х2 = х2-х1,

S3 = f3(C3) ?x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем

отрезке разбиения. ?х3 = х3-х2,

S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)?x1 + f2 (C2)?x2 + f3 (C3)?x3 = ? f(Ci)?xi.

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Понятие определенного интеграла.

Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ?хi, где

i=1,2,…п

Определение. Пусть предел интегральной суммы ? f(Ci)?xi при стремлении

max ?хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения

отрезка

[a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел

называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и

обозначается [pic], т.е [pic] = lim ? f(Сi)?xi при

max ?xi >0

Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) –

подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.

Некоторые свойства определенного интеграла.

10 . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения

переменной интегрирования, т.е.

[pic] = [pic] = [pic] и т.д.

20. [pic] есть число.

30. [pic] = - [pic], а 0, то

он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале

(а; b) и обозначается [pic], т.е. [pic] = lim [pic]

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в

противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

[pic]= lim [pic], если lim f(x) = (

Пример 4. Вычислить [pic] = 2х1/2 | = 2([pic] -lim[pic]) =2.

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

1. На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по

Колмогорову)?

1: 2

2: 4

3: 1

4: 5

2. К какому времени относится начало периода элементарной математики?

1-: XV в

2: I век н.э.

3: VI-V век до н.э.

4: XII в.

3. Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?

1: функция

2: число

3: совокупность чисел

4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).

4. Перечислите основные черты математического мышления.

1: логические рассуждения, математическая интуиция;

2: доказательство;

3: математическая интуиция;

4: умение правильно считать.

5. Какие два вида умозаключений преобладают в математике?

1: моделирование, дедукция.

2: индукция, интуиция;

3: абстрагирование, интуиция;

4: индукция, дедукция;

6. Является ли математика искусством вычислять или наукой?

1: наука,

2: искусство вычислять.

Тесты к тема 2

1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?

1: Определение основных понятий данной науки.

2: Утверждение, требующее доказательства.

3: Утверждение, принимаемое без доказательств.

4: Некоторое логическое рассуждение.

2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из

представленных?

1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью

дедуктивного метода?

2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.

3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли

доказательства составной частью дедуктивного метода?

3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?

1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.

2: Аксиоматическое построение геометрии.

3: Мифы Древней Греции.

4: Учение о параллельных прямых.

4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к

созданию неевклидовой геометрии?

1: Гаусс, Бойяй

2: Лагранж, Ферма

3: Пуассон, Эйлер

4: Коши, Буняковский

5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?

1; 1804

2: 1800

3: 1850

4: 1900.

Тесты к теме 3.

1 Что представляет собой мнимая единица ?

1: корень кв. из -1,

2: –1

3: ( i )^2

4: (-1)^2

2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0

1: Х1=1/2; Х2=3/2

2: Корней нет

3: Х1,2=1/2+-3/2i

4: Х1=2, Х2=-1

3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.

1: Z=1-i

2: Z= -1+i

3: Z=2+3i

4: Z=1+2i

4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.

1: Z= 4

2: Z=-8+3i

3: Z= -2+6i

4: Z=4-i

5. Найти Z”, если Z=2-i.

1: Z= -2-i

2: Z= -2+i

3: Z= 2+i

4: Z= 2

6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его

вещественную и мнимую части.

1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3

2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0

3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3

4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3

7. Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0

1: Х=2

2: Корней нет

3: Х1,2=+-2i

4: Х= -2

8. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу

ему соответсвующие.

1; (-3;2)

2: (3,2)

3: (3, -2)

4: (-3,0)

9. Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.

1: Z=1/5-3i

2: Z=4/13 – 7/13i

3: Z=1/26-3i

4: Z=1-i

Тесты к теме 4.

1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).

Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0

1: М1(3,1);

2: М2(2,3);

3: М3(6,0);

4: М4(-3,-1).

2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату

этой точки.

1: у=-1,

2: у=0,

3: у=1,

4: у=5.

3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу

этой точки.

1: х=0,

2: х=4,

3: х=1,

4: х= -4.

4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.

1: АВ=2.

2: АВ=4,

3: АВ=8,

4: АВ=4 * корень кв. из 2,

5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.

|2х+3у-1=0 |х+у+5=0 |х+5=0 |х-2у+3=0 |

|4х+6у+1=0 |х-у-3=0 |2х+5у=0 |2х-у-1=0 |

|1: 2х+3у-1=0 | | |

|4х+6у+1=0 | | |

|2: х+у+5=0 |

|х-у-3=0 |

|3: х+5=0 |

|2х+5у=0 |

|4: х-2у+3=0 |

|2х-у-1=0 |

6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1

Найти среди них уравнение прямой.

1: у^2=х,-

2: х - у=0,

3: у=х^2+1

4: х^2+у^2=1

7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение

прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси

ординат.

1: в= -1

2: в=1

3: в=1/2

4: в=0

8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку

параллельно прямой 2х - у+3=0

1: х=2у

2: 2х - у=0;

3: х+у - 2=0;

4: 2х - у+4=0;

9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.

1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у

1: х+у-5=0, у=+х+2

2: х+у-5=0, 2х=у

3: у=х+2, у=2х

4: у=х+2, 3х-3у+1=0.

10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.

1: А(1,1);

2: А(-5,0);

3: А(5,0);

4: А(0,5)

Тесты к теме 5.

1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом

равным 2.

1: х^2 + у^2 = 4

2: х^2 + у^2 = 2

3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4

4: х^2 = 2

2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на

этой окружности: М1 (0, 0), М2 (1, 2), М3 ( - 1, 3); М4 (0, 2).

1: М2(1, 2),

2: М1(0, 0),

3: М3( - 1, 3),

4: М4(0, 2),

3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.

1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9

1: нет уравнения эллипса

2: х/25 + у/16 = 1

3: х^2/9 + у^2/4 = 1

4: х^2 + у^2 = 9

4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:

1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1

1: х^2 + 2у^2 = 1

2: х/16 - у/9 = 1,

3: х^2 + у^2 = 1,

4: х^2 – у^2 = 1,

5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между

фокусами F1 F2= 8.

1: x^2/64+y^2/9=1

2: x^2/16+y^2/9=1

3: x^2/8+y^2/9=1

4: x^2/25+y^2/9=1

6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет

Е=0,5.

1: x^2/6+y^2/2=1

2: x^2/6+y^2/9=1

3: x^2/36+y^2/27=1

4: x^2+y^2=1

7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.

1: y=+-х

2: у=+-1/2х;

3: y=+-1/18 х

4: y=1/3х

8.На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6

1: М(0,6)

2: М(6,6)

3: М(6,0)

4: М1(6,6) и М2(6,-6)

9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.

1: F(3/2;0)

2: F(3,0)

3: F(0,6)

4: F (0,3)

10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.

1: x/81 - y/4=1

2: x^2/9+y^2/4=1

3: x^2/81 - y^2/16=1

4: x^2 - y^2=9

Тесты к теме 6.

1. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1: -2,

2: 22,

3: 2,

4: 7,

2. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1:-5,

2: 10,

3: 1,

4: 0,

3. Справедливо ли равенство !2 8 10! !1 4 5!

!1 3 -1! =2 !1 3 –1!

?

!2 0 !1 !2 0

1!

1: Нет,

2: Да,

4. Дан определитель !1 5 3! Найти минор М21 к элементу а21 = 6.

!6 1 0!

!3 0 –1!.

1: М21= 0,

2: М21= -2,

3: М21= 1,

4: М21= 4,

5.Дан определитель !1 5 3! Найти алгеброическое дополнение А21 к

!6 1 0! элементу

а21 = 6.

!3 0 –1!.

1: А21= 2,

2: А21= -2,

3: А21= 1,

4: А21= 4,

6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие

алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим:

1: отрицательное число,

2: ноль,

3: любое число,

4: величину определителя,

7. Дана система уравнений х+у=3

2х-3у=1.

Имеет ли эта система единственное решение?

1: Да,

2: Нет.

8. Дана система уравнений х - у=1

4х-4у=4

1: система не имеет решения,

2: система имеет единственное решение,

3: система неопределенная,

9. Дана система 2х-3у+5z=1

х+у-z =2

3х-у-2z=3

Указать свободные члены:

1:(5, -1, -2);

2: (2, 1, 3);

3: (-3, 1, -1);

4: (1, 2, 3);

10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца?

1: Да.

2: Нет,

Тесты к теме 7.

1. Выберите правильное утверждение:

1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.

2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.

3) Матрица не может состоять из одной строки.

4) Матрица не может состоять из одного столбца.

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

2. Может ли матрица состоять из одного элемента?

1: Да,

2: Нет,

3: Да, если это элемент не равен нулю.

3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, Ѕ) на число (-2):

1: -7

2: (1, -1, 3, -1)

3: (-2, -1, 3, Ѕ)

4: (-2, 2, -6, -1)

4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?

1: Нет

2: Да.

5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?

1: Нет.

2: Да.

6. Транспонирование матриц – это:

1) Перестановка местами двух столбцов.

2) изменение знака у всех элементов,

3) Перестановка местами двух строк,

4) перестановка местами строк и столбцов,

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная

матрица будет иметь размерность:

1: 6*6

2: 6*7

3: 7*6

4: 7*7

8. Единичная матрица – это:

1: Матрица, у которой все элементы равны 1.

2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули

3: Матрица, определитель которой равен 1.

4: Матрица, содержащая только один элемент.

9. Если А=(1,3, -2), В= (-1)

(0 )

(2 ) , то А*В равно

1: -5

2: (-1 0 –4)

3: (-1)( 0 )(-4)

4: Перемножить нельзя

Тесты к теме 8.

1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его

подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4,

…};

Д= {1, 0, 1}?

1: В,

2: А,

3: С,

4: Д,

2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}.

Ответ: пустое множество,

1: {1}

2: {1,2,3,4,5,6,7,8}

3: {0}

3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.

1: AUB = {0}

2: AUB = 0

3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

4: AUB = {2,4,6,8}

4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.

1: А\B = {3, 4}

2: A\B = {0,3,4}

3: A\B = {0,1,2}

4: A\B = {1,2,3}

5. Если /х/a

f(a)=b

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х>а

х> -2

х> -2

х> -2

х> -2

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 0

х> 00

х> 0

х> 0

х> 0

х> 0

х> 0

х> 0

х> 0

х> 0

х> 00

х> 0

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 00

х> 0

х> 0

х> 00

х> -3

х> 1

х> 00

0

У = f(х)

?х

х

?x>0

?x>0

?x>0

?x>0

n

I=1

3

I=1

n

i=1

i=1

n

x

b

c

a

1

0

?/2

2

?/6

-1

t>?

?

x>?

2

?

x>?

?

1

1

b> -?

0

x> -?

-?

?

x> -?

0

х>в-0

?>0

?>0

х>а+0

?>0

?>0

Страницы: 1, 2, 3

МЕНЮ

Полный курс лекций по математике

ИНТЕРЕСНОЕ