реферат, рефераты скачать
 

Полный курс лекций по математике


-3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 [pic] + 5(-1)2+2 [pic] +(-1)3+2 [pic] =

-3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.

Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам

Крамера.

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1

а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2

а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные

числа аij (i = [pic], j = [pic]) называются коэффициентами системы. в1, в2,

в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от

нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю,

то система имеет вид:

а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0

а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0

а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0

и называется однородной.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы ? называется определитель, составленный из

коэффициентов системы:

? = [pic]

Если определитель системы ? не равен 0, то система имеет единственное

решение, которое находится по формулам:

Х1 = ?х1/ ?; х2== ?х2/ ?; х3== ?х3/ ?; где

?х1= [pic] ; ?х2= [pic]; ?х3= [pic].

Если определитель системы = ? равен нулю, и хотя бы один из определителей

?х1=?х2=?х3 отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ?=0, и ?х1=?х2=?х3=0, то система имеет

бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1) Вычислим определитель системы ? = [pic] = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) –

(1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ? = 30 ? 0.

2) Вычислим определители ?х, ?у, ?z.

?х = [pic] = 5; ?у = [pic] = 13; ?z = [pic] = 1.

3) По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ?х/? = 5/30 = 1/6; у = ?у/? = 13/30; z = ?z/? = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n

неизвестными.

Пример Решить систему уравнений.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1) Составим и вычислим определитель системы ?= [pic] = 0.

2) Вычислим определители ?х, ?у, ?z.

?х =[pic] = 0, ?у = [pic] = -2

Т.к. определитель ?у= -2 ? 0, мы делаем заключение: Система несовместна,

т.е. она не имеет решения.

Тема 7. Алгебра матриц.

Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей

размерности m*n,

а11 а12 а13…а1п

а21 а22 а23…а2п

……………… = Ам*п= //аij//

ам1 ам2 ам3…амп , где

m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами

матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит

элемент.

Разновидности матриц.

1. Матрица называется прямоугольной, если m?n.

2. Матрица называется квадратной, если m=n.

3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.

4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.

Например, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два

на три)

0 –1 5

2) 1 2 - квадратная матрица.

3 4

3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.

4) 7

12 матрица столбец.

5

3

5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц,

расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Например, 1 0 0 5 1 –3

2 6 0 или 0 4 2

-1 –2 8 0 0 -1

6) Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме

элементов главной диагонали, равны нулю.

Например, 1 0 0

0 –2 0

0. 0 5

7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной

матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.

1 0 0

Е = 0 1 0

0 0 1 .

Алгебра матриц.

1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны,

если равны соответствующие элементы этих матриц.

Ам*п = Вм*п ( аij = bij (i = [pic], j = [pic])

( этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только

тогда»,

обозначение (i = [pic]) применяется, если хотят сказать, что i пробегает

все значения от 1 до m.

2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij//

называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n +

Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.

Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5

3 1 –6 , 1

–6 4 , то

А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5

-2 0 9

3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6

6+4 4 –5 –2

3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число

надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

?А = //? aij//.

Например, вычеслить 4 А, если А =

4А = 4 *

4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется

матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу

«Строка на столбец»:

сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej

(i= [pic]; j= [pic]) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки

левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца

правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.

Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет

смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк

второго сомножителя.

Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ?ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А = В =

Решение: АВ=С

С= * =

=

|С11=1*3+2*2=7; |С12=1*4+2*(-1)=2 |С13=1*1+2*(-2)= -3 |С14=1*3+2*4=11 |

|С21=2*3+4*2=14; |С22=2*4+4*(-1)=4 |С23=2*1+4*(-2)= -6 |С24=2*3+4*4=22 |

|С31=3*3+1*2=11 |С32=3*4+1(-1)=11 |С33=3*1+1*(-2)=1 |С34=3*3+1*4=13 |

Ответ: А*В=С=

Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,

В = 2 1

3 4

1 3

Сравним эти произведения.

1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7

3 4 1 3 10 15

С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;

С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15

2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8

1 3 3 4 10 14

d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8

d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14

Мы убедились, что в нашем примере АВ?ВА.

Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=[pic] [pic]

Решение: АВ=(4 0 -2 1)*[pic] [pic] =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)

Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.

Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается

матрица из одного элемента – число.

5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то

новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и

обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и

обозначается символом Ш. А+Ш=А.

Основные свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (? +?)А = ?А+?А; ?(А+В) = ?А + ?В;

(А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (?А)В=?(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.

Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в

приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют

записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой,

а главное компактной форме.

Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов.

Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом

предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3

1 3 4 ,

Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15).

На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую

смену?

Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)

1 3 4

Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.

Второе – на 55 тыс. руб.

Третье – на 90 тыс. руб.

Тема 8. Понятие множества.

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через

более простые.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых

объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или

точками, этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа,

множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными.

Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не

является элементом множества А, то пишут в Є А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и

обозначается Ш. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0

есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает

с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается

В С А.

Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество

студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А,

т.е. В С А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же

элементов.

Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из

всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

С=АUВ.

Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d,

е, f, с, к}

Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех

элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А?В.

Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А?В = {2, 3}. 2) если

А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А?В = Ш.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех

элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.

Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.

Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти

объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

А?В = {6, 8}

А \ В = {1, 3}

Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа

элементов, в противном случае оно называется бесконечным.

Множества элементами, которых являются действительные числа, называются

числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество

действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых

чисел, N – множество натуральных чисел.

Очевидно, что N С Z C Q C R

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками

числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано

начало отчета, положительные направления и единица масштаба.

Рис.1

Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует

взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу

соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке

прямой – определенное вещественное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ? x ? в,

называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х

удовлетворяют неравенству а0). Решениями этого неравенства будут

точки открытого интервала (а – ?, а+?), или а - ?0),

называется ? – окрестностью точки а. Рис.2 (? – эсилон, буква греческого

алфавита).

Рис.2

а – ? а а+?

Тема 9. Функция. Классификация функций.

Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть

любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому

закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у

множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = f(х), (или

отображение множества Х во множество У).

Множество Х называется областью определения функции f, а элементы у = f(х)

образуют множество значений функции – У.

х – независимая переменная (аргумент).

у – зависимая переменная,

f – закон соответствия, знак функции.

Пусть Х и У множества вещественных чисел.

Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1

Областью определения функции является множество Х = (-?, ?), область

значений является множество У = [0, ?).

Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).

Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.

х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью

определения является объединение таких множеств: (-?, 2) U (2, 3) U (3, ?).

Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).

Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ?) – область

определения функции.

Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в

точках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | -

1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область

определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается

в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.

Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.

Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 - 2 =

3а4 – 5а2 + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.

Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.

а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все

функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.

б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей,

содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица

логарифмов.

в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество

точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а

ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).

Например, у = х2 (Рис.1); у = [pic] (Рис.2)

у

у

0 х

0 х

Рис. 1.

Рис. 2.

Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления,

например, функция Дирихле:

1, если х – рациональное число.

f(х) =

0, если х – иррациональное число.

Основные элементарные функции.

Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные.

Перечислим их:

1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются

степенными.

2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ? 1.

3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ? 1

4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у =

arctg х,

у = arcctg х.

Сложная функция. (суперпозиция функций).

Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на

множестве U с областью значений – У, а переменная u = ?(х) функция от

переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда

заданная на множестве Х функция у = f(?(x)) называется сложной функцией

(функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х

можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных

функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются

элементарными.

Например, у = [pic])/(sin2х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график

представлен на рис. 3.

У

Рис.3

Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.

1 класс алгебраических функций:

а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п –

степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, … , Ап –

вещественные числа, коэффициенты многочлена.

б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно –

рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.

в) Иррациональная функция, например, у = [pic] + х2.

2 класс трансценденных функций.

а) у = ах, а > 0, а ?1, показательная функция,

б) у = logах, а> 0, а ?1, логарифмическая функция,

в) все тригонометрические функции,

г) все обратные тригонометрические функции,

д) функции вида у = хL , где L – иррациональное число. Например, у = х?.

Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Понятие о непрерывности функции.

Определение. ? – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-?,

а+?) (? – эпсилон буква греческого алфавита), или |х - а|< ?.

Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой

точке а, кроме, может быть, самой этой точки.

Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для

любого сколь угодно малого, наперед заданного ?>0 существует такое ?>0, что

для всех х таких, что |х-а|0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя.

Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции.

Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее

изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается

через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) –

производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой

переменной (аргумента) ?х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и

таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в

точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет

производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в

интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (x?)` = ? x? – 1, ? Є R

4. (ax)` = ax lnx, a>0 , a?1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = - sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)2

9. (ctg x)` = - 1/(sin x)2

10. (arcsin x)` = 1/[pic]2)

11. (arccos x)` = - 1/[pic]2)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x2)

13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x2)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив

соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ?х = 0,1

Решение: f(х) = х2, f(х+?х) = (х+?х)2

Найдем приращение функции ?f = f(x+?x) – f(x) = (x+?x)2 – x2 =

x2+2x*?x+?x2 – x2 = 2x*?x + ?x2/

Подставим значения х=1 и ?х= 0,1, получим ?f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01

= 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х

Страницы: 1, 2, 3


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.