Приложения производной

Приложения производной

Лицей информационных технологий

Реферат

Производная и ее приложения

Выполнил: ученик 11А класса

Новиков А.

Проверила: Шекера Г.В.

г.Хабаровск

2004

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………….…3

1. Понятие производной……………………………………………………....………………....4

2. Геометрический смысл производной…………………….………………….......……..4

3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5

4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6

5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции………………..…………………...…….11

6.3 .Правило нахождения экстремума………………………………………………….....12

6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………...…...12

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………...……….16

7.2. Применение производной в экономической теории...………………………..……..19

7.3. Использование производной для решения задач по экономической

теории….…...21

8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………....25

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….…...28

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических

и тригонометрических выражений……………………………………………….……29

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной…………………...30

9.5. Применение производной в вопросах существования корней

уравнений………....31

Заключение……………………………………………………………………………………...32

Список литературы……………………………………………………………………………..33

Введение

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не

возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие

фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического

развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой

математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от

изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной

зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед

математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами

математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,

отличные от методов элементарной математики.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий

математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он

не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией

изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким

образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных

терминах это определение связано с понятием множества и звучит так:

«Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во

множество В = {в}, по которому каждому элементу а[pic]А поставлен в

соответствие определенный элемент в[pic]В. Уже в этом определении не

накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может

быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в

этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А и В

понимаются при этом элементы произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается

изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось

оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в

математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших

преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы

дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального

исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с

помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов:

определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов

функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений

квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в

1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых

излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,

объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику,

превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические,

экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,

включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,

аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,

содержащие производные, называются дифференциальными.

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях

производной.

1. Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей

знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического

процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют

производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и

обозначают символом

[pic]

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую

функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех

шагов:

1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее

приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);

2) составляем отношение[pic]

3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через

f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь

от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x

называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот

предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, [pic], или [pic]

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,

что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не

дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки

x0

[pic]

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -

точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).

Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;

tg?=?y/?x .

Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при

параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному

направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет

приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.

Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая

касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]

или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному

направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k - угловой

коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

3. Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в

любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость

за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного

за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.

lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.

а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции

y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной

функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от

времени.

((t) = x'(t) - скорость,

a(f) = ('(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно

найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

? = ?(t) - изменение угла от времени,

? = ?'(t) - угловая скорость,

? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно

найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x ( [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических

колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.

Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника

х"(t) + ?2x(t) = 0,

где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний

(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений

является функция

у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где

А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,

?0 - начальная фаза.

4. Правила дифференцирования

|(C)’= 0 С=const |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|(cos x)'=-sin x |[pic] |

|(sin x)'=cos x |[pic] |

|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |

|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |

|[pic] | |

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Производная степенно-показательной функции

[pic], где [pic].

[pic].

Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом

предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].

Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]

очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти

производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где

ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее

производную

[pic] (1)

Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из

формулы (1) получаем

[pic]. Или [pic]

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].

5. Производные высших порядков

Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается

символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или

производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем

написать [pic]

Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что

функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.

Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется

третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего

порядка и обозначается символами [pic].

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)

обозначается символами [pic]

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную

второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную

третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших

порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1) [pic]; [pic]; [pic]; ...;

[pic]; [pic].

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.

Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –

переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное

количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков

выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной

6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),

если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения

функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

|[pic] |

|Рис.1 (а) |

|[pic] |

|Рис.1 (б) |

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)

функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют

одинаковые знаки.

График возрастающей функции показан на рисунке1(а).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?

f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример

такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она

сохраняет постоянное значение C

Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )

если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения

функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )

функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные

знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1),

то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример

такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она

сохраняет постоянное значение C.

Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале

( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого

интервала неотрицательную производную.

Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале

( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого

интервала неположительную производную.

Пусть данная непрерывная функция убывает при

возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1

до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2

до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую

функцию колеблющейся.

График колеблющейся функции показан на рисунке 3.

Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к

убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция

переходит от убывания к возрастанию, называются точками

поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их

абциссы - критическими значениями аргумента x

В той точке, где функция переходит от возрастания к

убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую

сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат,

соседних с ней справа и слева и достаточно к ней

близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса

которой равна x0, больше значений функции в точках,

абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f

(x0+?x).

На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная

в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она

возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет

постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале

[ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких

к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют

нестрогому неравенству f (x0)?f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное

неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто

максимумом.

Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)

этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x,

достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .

В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината

меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и

слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и

достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,

абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы

которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).

На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале

( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] -

сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )

- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения

функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).

Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное

неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто

минимумом.

Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)

этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x,

достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой

достаточно малой окрестности точки x0 .

Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .

По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]

является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала

[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением

функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для

которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f

(x).

Из этих определений следует, что функция может достигать своего

наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и

на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были

определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой

окрестности точки x0 .

Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то

говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или

экстремального значения).

Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала

[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше

какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)

на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого

интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это

наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из

значений функции на концах интервала.

Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего

Страницы: 1, 2, 3