Приложения производной

значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].

На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и

максимумов.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в

точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не

существует.

Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее

производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не

дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют

угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

|[pic] |

|Рис. 6 |

На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной

[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0

f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная

кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки

называются точками возврата кривой y=f(x).

Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума

функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0

производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

Этот признак не является достаточным условием существования экстремума

функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,

удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих

экстремума при x = x0.

Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта

функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия

экстремума функции.

Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)

неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом

интервале.

Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет

неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом

интервале.

Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная

f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при

переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке

экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак

меняется с "-" на "+").

Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума

функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается

в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0

функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,

если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее

окрестности.

6.3 .Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из

полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)

по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни

оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных

стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых

производная равна 0);

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной

стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то

данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна

слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка

есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как

слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни

максимума, ни минимума, функции;

5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает

максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или

минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в

число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых

определяется знак производной.

6.4.Точка перегиба графика функции.

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью

вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,

соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой,

проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).

|Рисунок 1 |

Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью

вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,

соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой,

проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).

Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0

следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не

совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) -

y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N

касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к

данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).

Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h),

не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) -

y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b),

если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с

увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в

точке с абсциссой x будет уменьшаться.

|[pic] |

|Рисунок 2. |

В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.

2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой

y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2

видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.

Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).

Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)

обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)

убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная

убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале

(a, b): f ''(x)?0.

|[pic] |

|Рисунок 3. |

Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2

непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в

интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная

f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b)

функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.

Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то

в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если

f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена

выпуклостью вниз.

Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой

y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).

Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде

y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

[pic] (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение

(1), получим:[pic] (3)

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.

Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что

кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.

Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то

высказанное выше утверждение доказано.

|[pic] |

|Рисунок 4. |

Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит

от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой

перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке

перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот)

имеется единственная касательная).

Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную

f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда

f ''(x0 ) = 0 или не существует.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая

y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в

выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 -

h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале

(x0, x0 +h) - больше нуля.

Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных

значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.

|[pic] |

|Рисунок 5. |

На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется

касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна

нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой

перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при

x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.

Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)

обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой

y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако

это условие не является достаточным.

Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при

x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x)

при условии, конечно, что в точке A существует касательная.

Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и

f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая

y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) -

выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка

перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

1. Находим область определения функции f(x)

2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим

их на чертеж.

3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей

координат и начала координат.

4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в

точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой

с максимальной и минимальной ординатами.

7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки

перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется

составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в

точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при

x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде

уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е.

в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания

перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а

уравнение записывается в виде [pic]

7.Экономическое приложение производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный»,

что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX

веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания

экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно

ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела

дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда

и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности

оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как

суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического

объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения

некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно

другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать

предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических

показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В

то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно

использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х -

количество продукции, тогда (x- прирост продукции, а (y - приращение

издержек производства.

В этом случае производная [pic] выражает предельные издержки

производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на

производство дополнительной единицы продукции [pic],где MC – предельные

издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q -

количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла

наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие

экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) —

это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к

(n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом [pic], ( MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции,

когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния

на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает

равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на

формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А.

Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.

Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,

имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и

полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем

наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную

полезность для конкретного потребителя.

В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта,

если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn,

можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных

производных: [pic]. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей

массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении

количества блага i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает

полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен

сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный

вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось

прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией

предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении

сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y

товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы

компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.

Они определяются так: [pic].

Т.к. dy отрицательно, знак "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой

безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по

абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой

безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который

имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на

потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как

правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения

равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и

больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими

исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией

склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как

предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume),

показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя

сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к

сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте

дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal

propensity to save): [pic].

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является

анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов

принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от

факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент

исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда

увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию -

предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это

дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений

труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic], т.к. dY

- результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.

Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный

продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при

неизменной величине труда:[pic].

Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].

MPk - характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных

задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения

относительного приращения функции y к относительному приращению переменной

x при (x(0:

[pic].

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится

функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой

коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов

увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)

его цены P на 1%: [pic].

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает,

на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных

колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает

коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько

процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на

Страницы: 1, 2, 3