Приложения производной

текущее потребление, изменится на 1%: [pic].

Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке

различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического

смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической

интерпретации математических теорем.

7.2. Применение производной в экономической теории.

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что

многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления,

спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если

дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или

наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то

производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для

производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных

издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если

MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R –

прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором

прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция

П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.

Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)

= MC(Qo).

Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее

экономичного производства, при котором средние издержки по производству

товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный

объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние

издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего

товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины

достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic],

откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в

экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей

доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства

дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса

(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска продукции, а

(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон

убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая

зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией,

выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности

U= U(x), где х - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень

субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная

для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:

с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его

единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно

переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой

вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной

точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен

ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.

Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может

превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут

наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на

концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки

максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день

минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной

мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как

дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции

нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции

в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от

объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать

потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100

функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема

производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем

накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства

приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,

которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за

определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],

Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]

Производная меньше нуля, если P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),

т.е. при P1/2 спрос убывает все

быстрее.

[pic]

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]

(Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции: [pic] положительна, если p1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (

несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения

[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к

сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.

[pic]

[pic] темп положительный [pic]темп отрицательный

На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее

повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом

для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9

выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном

увеличении цены.

Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим

график.

|p |(0, 1/2) |1/2 |[pic] |[pic] |[pic] |

|U'(p) |+ |0 |- |-0,47 |- |

|U''(p) |- | |- |0 |+ |

|U (p) |возрастает |0,3 |убывает |0,2 точка |убывает |

| |выпукла |max |выпукла |перегиба |вогнута |

Вывод:

На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.

Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее

повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным

темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >

0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном

увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке

[pic] график перегибается (см. на рисунке):

[pic]

8. Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или

наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.

Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец

находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает

падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с

постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены

нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте

2м?

[pic]

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=

4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: [pic],так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого [pic];

В этот момент [pic] по т. Пифагора, т.е. [pic]

Скорость его изменения [pic]

Ответ:[pic]

Задача 2

Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,

что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в

граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения

кинематическая энергия капли будет наибольшей?

Скорость капли [pic] , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]

Исследуем функцию [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]

[pic]=0 t1=0 t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно

кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

Задача 3

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением

r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно

сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была

наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть [pic] [pic]

выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic] P’(R) =

0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее

значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при

сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом

9. Применение производной в алгебре

9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств

основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и

знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция [pic]на некотором интервале [pic]имеет

производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает; если

же [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке [pic] выполняется неравенство [pic],

функция [pic]и [pic]непрерывны в точке [pic] и [pic], то на [pic]

выполняется неравенство [pic].

Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием

этих теорем.

Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]

Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную: [pic].

Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic] убывает так, что

при [pic] [pic]. Но [pic] [pic] Следовательно неравенство (1) [pic]

верно.

Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа, [pic] Тогда очевидно,

что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2)

верно а) при [pic]; б) при [pic]?

Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]

Отсюда видно, что при [pic]функция [pic]возрастает. В частности, она

возрастает на интервале [pic] Поэтому при [pic] неравенство (2)

справедливо.

б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и

[pic], для которых [pic], неравенство (2) неверно, а верно неравенство

противоположного смысла: [pic]

Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic] (3).

Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство [pic]: [pic]

на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic] где [pic], в данном случае

равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.

Задача 4. Доказать неравенство: [pic] [pic] (4).

Решение: [pic], [pic]; [pic]

Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.

Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic] (5).

Решение: Пусть [pic] Тогда

[pic]

Чтобы найти, при каких значениях [pic] функция [pic]положительная,

исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]

Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая, что [pic] и

[pic] непрерывна, получаем [pic], при [pic].

Поэтому [pic] возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку [pic]

непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.

Задача 6. Выясним, что больше при [pic]: [pic] или [pic].

Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].

Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].

Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [pic]. Для этого найдем ее

производную (по правилу дифференцирования дроби):

[pic]

[pic] при [pic].

В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic]. Поэтому, при

[pic] [pic] т.е. [pic]

[pic] при [pic].

При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно

доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто

целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква [pic]) считать

применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой

[pic], а значение остальных букв (в данном случае значение буквы [pic])

считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи

применить указанный прием несколько раз.

Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных [pic]

неравенство: [pic] (6).

Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию

[pic].

При [pic] имеем [pic].

Отсюда видно (теорема 1), что [pic] убывает на [pic] Поэтому при

[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:

[pic] (7).

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию [pic]. При [pic]

имеем: [pic]

Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит, [pic]

(8),

Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности

неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое

непосредственно вытекает из теоремы 1:

Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и пусть имеется такая

точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом х из

[pic] справедливо неравенство [pic] причем равенство имеет место лишь при

[pic].

Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее

неравенство: [pic][pic]

Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем

производную:

[pic].

Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу теоремы

3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при

[pic].

9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться

одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее

производная на этом интервале постоянно равна нулю:

[pic] на [pic] на [pic].

Задача 1. Проверить тождество:

[pic] (1)

Доказательство: Рассмотрим функцию

[pic]

Вычислим ее производную (по х):

[pic]

Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно тождеству

(1).

Задача 2. Проверить тождество:

[pic] (2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

[pic]

Докажем, что [pic]

Найдем ее производную:

[pic]

[pic][pic][pic]

Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении

постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по

которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить

возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и

тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и

тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет

значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она

легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного

выражения:

Задача 1 Упростить выражение: [pic]

Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].

Задача 2. Упростить выражение:

[pic]

Решение: Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:

[pic]

отсюда [pic].

и при [pic]получаем: [pic]

Так что [pic]

Задача 3. Упростить запись функции:

[pic] (2)

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к

относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться

производной:

[pic]

Отсюда [pic]

Найдём [pic]: [pic]

Таким образом функция (2) равна [pic]

Задача 4. Упростить запись многочлена:

[pic] (3)

Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно

первую и вторую производные этой функции:

[pic]

[pic]

Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],

[pic].

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:

[pic] (1)

Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и [pic] постоянными

фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],

будем иметь:

[pic]

Поэтому [pic] (2)

где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от

параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим

[pic] тогда [pic].

Получим [pic]

Задача 2. Разложить на множители выражение:

[pic] (3)

Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей

степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:

[pic]

[pic] получим:

[pic]

Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]

Задача 3. Разложить на множители выражение:

[pic]

Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]

постоянными, получим:

[pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в

этом тождестве [pic], получим [pic] и

[pic]

Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но

в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в

меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и

[pic]постоянными, будем иметь:

[pic]

отсюда: [pic]

[pic]

[pic]

Таким образом исходное выражение (4) равно

[pic]

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.

Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение

её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных

функций:

Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором

промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного

корня.

[pic] (1)

Решение: Область определения данного уравнения - промежуток [pic]

определение на этом промежутке функцию [pic], положив

[pic]

Тогда, на [pic]

[pic]

[pic] [pic] [pic] ( [pic],

и таким образом функция [pic]- возрастающая, так что данное уравнение (1)

не может иметь более одного решения.

Задача 2. При каких значениях [pic] имеет решения уравнение

[pic] (2)

Решение: область определения уравнения - отрезок [pic], рассмотрим функцию

[pic], положив [pic]

Тогда на открытом промежутке [pic]

[pic]

[pic], так что [pic]- единственная критическая точка функции [pic],

являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку [pic] [pic] то [pic]

примет наибольшее значение при [pic], а наименьшее значение - при [pic].

Так как функция [pic] непрерывна, то её область значений представляет

собой отрезок [pic], между её наименьшим и наибольшим значением. Другими

словами, исходное уравнение (2) имеет решения при [pic].

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в

математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но

громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для

учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и

повысит интерес к производной.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0

равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в

точке с абсциссой x0.

Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0

- это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность

изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или

относительно другого исследуемого фактора.

Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости

по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции

скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа,

позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических

понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью

математических формул.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то

есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная

выручка, предельная производительность труда или других факторов

производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе

базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения

оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по

экономической теории, физике, алгебре и геометрии.

[pic]

-----------------------

[pic]

Рис.5

Рис.2 (а)

+

–

50

Е’

E

[pic]

[pic]

+

–

1

E’

E

[pic]

Рис.4 (б)

Рис.4 (а)

Рис. 3

Рис.2 (б)

f(x)

[pic]

а

б

[pic]

[pic]

С

С

B

Q

C(t)

E

A

Страницы: 1, 2, 3