Структура аффинного пространства над телом

Структура аффинного пространства над телом

Структура аффинного пространства над телом

1. Введение

Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся

сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного

пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло

путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно

полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на

некотором множестве.

Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем

Определение 1.1. Пусть [pic]- некоторая группа (с мультипликативным

обозначением операции) и [pic]- ее нейтральный элемент.

Говорят, что [pic] действует слева на множестве [pic], если

определенно отображение [pic], [pic], такое, что набор отображений [pic],

[pic] удовлетворяет условиям

[pic] и [pic] [pic].

(1)

Аналогично говорят, что [pic] действует на [pic] справа, если

определено отображение [pic], [pic], такое, что набор отображений [pic],

[pic] удовлетворяет условиям

[pic] и [pic] [pic].

(1/)

Соотношения (1) (соответственно (1/)) показывают, что [pic](

соответственно [pic])- это биекции [pic] на [pic]и что [pic]

(соответственно [pic]).

Например, любая группа [pic] действует сама на себе слева левыми

сдвигами: [pic] и справа правыми сдвигами: [pic].

Группа [pic] действует на себе слева также внутренними автоморфизмами:

[pic].

Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на

множестве понимается как действие слева.

Понятно, что для коммутативной группы [pic]оба действия совпадают;

следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на

множестве, в том числе и на себе, разными способами.

Определение 1.2. Пусть группа [pic] действует слева на множестве [pic]

с законом действия [pic]. Говорят, что [pic] действует на [pic]

транзитивно, если для любой пары [pic] элементов [pic] существует хотя бы

один элемент [pic], такой, что [pic]; далее, говорят, что действие [pic]

просто транзитивно, если этот элемент [pic] всегда единственный.

Пример. Линейная группа [pic] автоморфизмов [pic] действует транзитивно

на [pic], но это действие не является просто транзитивным, кроме случая

[pic].

Определение 1.3. Пусть группа [pic] действует слева на множестве [pic].

Стабилизатором подмножества [pic] множества [pic] называется множество

[pic].

Непосредственно ясно, что [pic]- подгруппа группы[pic]. Если множество

[pic] состоит из одного элемента [pic], то это подгруппа называется группой

изотропии элемента [pic].

Замечание. Стабилизатор [pic] является пересечением двух множеств [pic]

и [pic], которые не обязаны быть подгруппами [pic]. Например, если [pic]

действует на себе трансляциями и [pic]- положительная полуось, то [pic] не

является подгруппой, а [pic].

Определение 1.4. Пусть [pic]- группа, действующая слева на [pic];

орбитой элемента [pic] называется образ [pic] при отображении [pic].

Если [pic] действует на [pic] транзитивно, то орбиты всех элементов

совпадают с [pic].

Замечание. На [pic]можно определить отношение эквивалентности, полагая

[pic], если существует элемент [pic], такой, что [pic]; классы

эквивалентности являются орбитами элементов [pic]; фактормножество по этому

отношению назовем пространством орбит.

Однородные пространства

Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой

[pic], называется множество [pic], на котором определено транзитивное

действие группы [pic].

Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.

Пусть [pic]- группа, [pic]- ее подгруппа, [pic]- фактормножество,

образованное левыми смежными классами относительно [pic]: элементы [pic] из

[pic] объявляются эквивалентными, если существует элемент [pic], такой, что

[pic]; класс эквивалентности элемента [pic] есть множество [pic] элементов

вида [pic], где [pic].

Действие слева группы [pic] на [pic] определяется с помощью [pic]; это

действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество [pic] является однородным

пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи

биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть [pic]- однородное пространство, ассоциированное с

группой [pic], и для любого [pic] пусть [pic]- группа изотропии [pic].

Тогда существует единственная биекция [pic] факторпространства [pic] на

[pic], такая, что для всех [pic] выполнено [pic], где [pic]- каноническая

проекция и [pic]- действие [pic] на [pic].

Доказательство. Соотношение [pic] равносильно [pic] и, значит, [pic]

или [pic]; следовательно, отображение [pic], [pic] переносится на

фактормножество и представляется в виде [pic], где [pic]- биекция.

Специальный случай

Если группа [pic] действует на [pic] просто транзитивно, то группы

изотропии [pic] тривиальны; для каждой точки [pic] отображение [pic], [pic]

является биекцией, удовлетворяющей условию [pic].

Эта биекция [pic] позволяет перенести на [pic]структуру группы [pic],

которая, однако, будет зависеть от выбора точки [pic], т. е. образа

нейтрального элемента. Говоря нестрого, [pic] допускает структуру группы,

изоморфной [pic], при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть [pic]- векторное пространство над произвольным

телом [pic]. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic], называется

множество ?, на котором определено просто транзитивное действие абелевой

группы [pic].

Это действие записывается обычно в виде

[pic]?[pic]?, [pic].

Для любого [pic] биекция [pic]?[pic] ?,[pic] называется трансляцией на

вектор [pic]; далее, для некоторой пары [pic] элементов ? единственный

вектор [pic], такой, что [pic], обозначается [pic].

Чтобы отличить элементы ? (называемые точками) от элементов [pic]

(называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки”

прописными буквами латинского алфавита, такими, как [pic], а ”векторы

-строчными, например [pic]; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных

определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic],

называется множество ?, снабженное семейством биекций [pic], таких, что

a) [pic]? и [pic][pic];

b) для любой пары [pic]?[pic]? существует единственный вектор [pic],

такой, что [pic].

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с [pic],

называется множество ?, снабженное отображением ?[pic]?[pic], обозначаемым

[pic], таким, что

a) для каждого [pic]? отображение ?[pic], [pic] биективно;

b) для любых точек [pic] из ? выполнено соотношение Шаля

[pic].

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки [pic]? мы

имеем [pic].

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через

[pic] единственную точку [pic], такую, что [pic], и заметив, что

соотношение Шаля равносильно [pic]. Переход от определения 2.2. к

определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот

факт, что для любой точки [pic]? отображение [pic]?, [pic] есть биекция;

эта биекция позволяет перенести на ? векторную структуру [pic].

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ? будет

называться векторной структурой с началом [pic]; множество ? с этой

структурой будет обозначаться ?A.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное

пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран.

Аффинные свойства ?- это те свойства векторного пространства ?A, которые не

зависят от выбора точки [pic].

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести

все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора

начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе

”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки,

позволяя яснее представить именно аффинные свойства ?. Так мы и поступим,

не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором

начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным

пространством [pic]. По определению, размерность ? равна размерности [pic].

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную

аффинную структуру размерности [pic], ассоциированную с нулевым векторным

пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным

пространством [pic]. Каждое векторное подпространство [pic] пространства

[pic] образует подгруппу группы [pic], действующую на ? трансляциями. По

определению, орбиты действия [pic] на ? называются линейными аффинными

многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением [pic]. Группа [pic],

действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым

на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с [pic]; поэтому мы

называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ?.

Если [pic] есть ЛАМ с направляющим подпространством [pic] и [pic]-

точка [pic], то [pic] допускает структуру векторного пространства с началом

[pic] и [pic] есть векторное подпространство в ?A. Обратно, любое ВПП

пространства ?A есть ЛАМ, проходящее через [pic]; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ?, проходящие через точку

[pic], суть векторные подпространства векторного пространства ?A.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ [pic]

пространства ? полностью определяется заданием множества точек [pic].

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно

следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество [pic] аффинного пространства ?

называется линейным аффинным многообразием, если в [pic] существует точка

[pic], такая, что [pic] является векторным подпространством в [pic].

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть [pic]- непустое подмножество в ? и [pic]- точка

[pic], такая, что [pic] есть векторное подпространство в [pic]. Тогда для

любой точки [pic] из [pic] множество [pic] совпадает с [pic].

Доказательство. [pic] есть множество векторов [pic], где [pic]; таким

образом, [pic] есть образ [pic] при биекции [pic], [pic], и поскольку

[pic], то [pic].

Установив это, легко убедиться, что [pic] наделено структурой аффинного

пространства, ассоциированного с векторным пространством [pic], которое не

зависит от точки [pic].

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры [pic], можно

использовать отношение эквивалентности, связанное с действием [pic] на

[pic]: ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к

следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть [pic]- векторное подпространство в [pic] и [pic]-

отношение эквивалентности, определяемое на ? с помощью

[pic];

аффинными многообразиями с направлением [pic] называются классы

эквивалентности по отношению [pic].

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ?, но нам

кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу

изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство [pic] канонически снабжено аффинной

структурой, так как [pic] действует на себе трансляциями; в этом случае

нулевой вектор [pic] называется также ”началом” [pic] и

[pic] [pic] .

ЛАМ пространства [pic], проходящие через [pic], суть векторные

подпространства в [pic]; ЛАМ, проходящие через точку [pic], суть образы

векторных подпространств [pic] при параллельном переносе [pic].

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться

собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в [pic]).

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ?;

предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как

размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной

прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ

размерности [pic] суть точки ?.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство

которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть [pic]- семейство аффинных подпространств в ? и

[pic] для каждого [pic]- направляющее подпространство для [pic].

Если пересечение [pic] непусто, то оно является аффинным подпространством в

[pic] с направляющим [pic].

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же

обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение [pic] двух ЛАМ в ? было

непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки [pic] и

[pic] , что [pic], и тогда

[pic] [pic] [pic].

Доказательство. Если [pic], то для любых [pic], [pic] имеем [pic] и

[pic]. Таким образом, [pic].

Обратно, если существуют [pic] и [pic], такие, что [pic], то можно

представить [pic] в виде [pic], где [pic], [pic]. Тогда точка [pic],

определяемая условием [pic] , принадлежит [pic] и, как легко видеть, [pic].

Это доказывает, что [pic] принадлежит также [pic], а тем самым [pic] не

пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а

также

Предложение 3.5. Если [pic], [pic]- аффинные подпространства в ?,

направляющие которых взаимно дополняют друг друга в [pic], то [pic] и [pic]

имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий [pic],

[pic] вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее

подпространство: [pic].

Более общо, говорят, что [pic] параллельно [pic], если направляющие

пространства [pic], [pic] многообразий [pic], [pic] удовлетворяют

включению [pic].

Можно проверить, что отношение ”[pic] вполне параллельно

(соответственно параллельно) [pic] ” равносильно существованию трансляции

[pic] пространства ?, такой, что [pic] (соответственно [pic]).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством [pic]пространства ?

Предположение 3.6. Если [pic]- непустое подмножество в ?, то существует

единственное аффинное подпространство в ?, обозначаемое [pic], содержащее

[pic] и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ?, содержащее [pic], содержит и [pic].

Говорят, что [pic] порождено [pic].

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение

предложения 3.3.: [pic] есть пересечение всех ЛАМ, содержащих [pic].

Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство

”всех ЛАМ, содержащих [pic]”, о котором мало что известно и которое обычно

даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в [pic]

начальной точки [pic], что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного

подпространства в ?A, содержащего [pic] (поскольку ЛАМ, содержащее [pic],

являются ВПП в ?). Таким образом, [pic] есть ВПП в ?A, порожденное [pic];

при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора

точки [pic] в [pic]. Если мы заметим, что направляющее подпространство для

[pic] есть ВПП в [pic], порожденное векторами [pic], то получим также

Предложение 3.7. Пусть [pic]- непустое подмножество в ?; для каждой

точки [pic] положим [pic]. Тогда векторное пространство [pic] не зависит от

выбора [pic] и [pic] есть ЛАМ, проходящее через [pic] с направлением [pic].

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное

доказательству предложения 3.2.

В частности, если [pic]- конечное множество, то векторное пространство

[pic] не зависит от [pic] и, следовательно, совпадает с

[pic] и [pic].

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного

[pic] точками [pic] пространства ? не превосходит [pic]; его размерность

равна [pic] тогда и только тогда, когда [pic] векторов [pic] ([pic])

образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ? всегда обозначает аффинное пространство,

ассоциированное с левым векторным пространством [pic] над, вообще говоря,

некоммутативным телом [pic]. ”Взвешенной точкой” называется элемент

[pic]?[pic].

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) [pic]

взвешенных точек, такого, что [pic], существует единственная точка [pic],

удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий

a), b), c):

a) [pic],

b) [pic]?[pic] [pic],

c) [pic]?[pic] [pic].

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы [pic]. Мы

обозначим ее [pic].

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью

соотношения Шаля.

Свойства. a) Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого [pic] имеем

[pic]

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть [pic]- разбиение [pic], т.е. совокупность

непустых попарно непересекающихся подмножеств [pic], таких, что [pic] .

Если для любого [pic] скаляр [pic] отличен от нуля и мы положим [pic],

то

[pic].

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю,

когда ”полная масса” системы [pic], т.е. [pic] равна 1. В этом и только в

этом случае можно положить

[pic].

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что

соотношение [pic] равносильно каждому из следующих утверждений:

[pic] и [pic]?[pic] [pic],

(1)

[pic]?[pic] [pic],

(2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества [pic] пространства ? называется

точка [pic]. Она существует только тогда, когда характеристика [pic] не

является делителем числа [pic].

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за

некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар

точек.

Предложение 4.4. Пусть [pic]- конечное семейство взвешенных точек,

таких, что [pic] для всех [pic], [pic] и [pic].

Если характеристика [pic] отлична от 2, то существует разбиение [pic]

множества [pic], такое, что

[pic] и [pic].

Доказательство. Если одна из сумм [pic]отлична от нуля, то достаточно

положить [pic] и [pic].

Если все суммы [pic] равны нулю, то все [pic] равны одному и тому же

элементу [pic], такому, что [pic], где [pic].

Если характеристика [pic] отлична от 2, то [pic], и, поскольку [pic] не

равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая [pic] как двухэлементное

подмножество, а [pic] как подмножество из [pic] элементов.

Следствие. Если характеристика [pic] не равна 2, то построение

барицентра [pic] точек приводится к последовательному построению [pic]

барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если [pic]- непустое подмножество в ?, то [pic] есть

множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в

Страницы: 1, 2, 3