Структура аффинного пространства над телом

[pic].

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства [pic]

понимается множество [pic].

Условившись об этом, выберем некоторую точку [pic] в [pic]. Барицентры

семейства с носителями в [pic] суть точки [pic], удовлетворяющие

соотношению вида

[pic],

(3)

где [pic] и [pic]. При этом соотношение (3) влечет за собой [pic] и

поэтому [pic] (см. предложение 3.7). Обратно, если [pic]- точка из [pic],

то найдутся точки [pic], принадлежащие [pic], и скаляры [pic] ( с суммой,

необязательно равной 1), такие, что [pic]; это соотношение также

записывается в виде

[pic] с [pic] и [pic];

таким образом, [pic] есть барицентр системы с носителем в [pic].

Определение 4.1. Подмножество [pic]? называется аффинно порождающим ?,

если [pic]?; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка

[pic] из [pic] единственным образом представляется в виде

[pic], где [pic] и [pic] при любом [pic].

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее,

называется аффинным репером.

Выбирая начало [pic] в [pic] и пологая [pic], легко видеть, что [pic]

аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только

тогда, когда [pic] свободное (соответственно множество образующих).

(Напомним, что [pic] не зависит от выбора [pic].) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество [pic] пространства ? было

аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы [pic] не содержалось ни

в какой аффинной гиперплоскости в ?.

Наконец, применяя предложение 3.7, получим

Предложение 4.7. Если ?- аффинное пространство конечной размерности

[pic], то любой его аффинный репер образован [pic] точками.

Обратно, для того, чтобы [pic] точек в ? образовали аффинный репер,

необходимо и достаточно, чтобы [pic] векторов [pic] [pic] образовали базис

[pic], или (эквивалентное условие) чтобы точки [pic] не принадлежали одной

аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если [pic] есть ЛАМ конечной размерности в ? и [pic]-

аффинный репер в [pic], то [pic] есть множество точек [pic] с [pic]. Этот

способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая,

соединяющая две точки [pic] в ?, есть множество точек [pic].

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в

школьном курсе геометрии как такого множества [pic] точек, что каждая

прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит [pic].

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть [pic] пространства [pic]

была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если [pic] - любая прямая, соединяющая две точки [pic], содержалась

в [pic];

b) если [pic]- эвибарицентр любых трех точек [pic] лежал в [pic].

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для

доказательства достаточности выберем в [pic] точку [pic] и покажем, что

[pic] есть ВПП пространства [pic].

a) Предположив, что [pic], установим прежде всего, что условия [pic] и

[pic] влекут [pic].

Действительно, по предположению существует точка [pic], такая, что [pic].

Точка [pic], определенная условием [pic], принадлежит прямой (АВ) и,

значит, [pic], откуда следует, что [pic].

Рассмотрим далее два любых вектора [pic] и [pic] в [pic] и выберем

[pic] (что возможно, так как [pic] не сводится к [pic]). Точки [pic] и

[pic] (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому

и [pic]. Следовательно, точка [pic] принадлежит [pic] , откуда [pic]. Итак

[pic] есть ВПП в [pic].

[pic]

Рис. 1

b) Если [pic], то тривиальным образом [pic] влечет [pic] (так как [pic]

может принимать только два значения 0, 1). Если [pic], [pic]- два

вектора из [pic], то точка [pic], определяемая условием [pic], есть

эквибарицентр [pic], откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ?, [pic]- два аффинных пространства,

ассоциированных соответственно с векторными пространствами [pic], [pic].

Отображение[pic]?[pic]называется полуаффинным (соответственно аффинным),

если в ? существует такая точка [pic], что отображение [pic], [pic]

полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ? существует точка [pic], удовлетворяющая

вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ? и отображение

[pic] не зависит от [pic].

Доказательство. Для любой пары [pic]? имеем в силу линейности [pic]

[pic],

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение [pic] обозначается [pic] и называется

полулинейной (соответственно линейной) частью [pic].

Истолкование. Фиксируем в ? некоторую точку [pic] и снабдим [pic],

[pic] векторными структурами, принимая за начало в ? точку [pic], а в [pic]-

точку [pic]. Тогда [pic] будет полуаффинным (соответственно аффинным) в

том и только том случае, если [pic]- полулинейное (соответственно линейное)

отображение ?А в [pic].

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных)

отображений пространства ? в себя, допускающих неподвижную точку [pic],

сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ?А в

себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см.

ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения

полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью

и образом одной точки.

Если [pic], [pic]- два векторных пространства, то полуаффинное

(соответственно аффинное) отображение [pic] и [pic] есть отображение вида

[pic], где [pic] полулинейно (соответственно линейно), а [pic]- постоянный

элемент.

Непосредственные следствия. Если[pic] ?[pic] полуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ? есть ЛАМ в [pic].

2) Прообраз ЛАМ в [pic] есть ЛАМ в ? или пустое множество.

3) Для любой системы [pic] взвешенных точек ? образ барицентра [pic]

есть барицентр [pic], где [pic] обозначает изоморфизм тел,

ассоциированных с [pic].

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ?, [pic]- аффинные пространства над телами

[pic],[pic], [pic]- изоморфизм [pic] на [pic], [pic]- аффинный репер в ? и

[pic]- семейство точек [pic], индексированное тем же множеством индексов

[pic].

Тогда существует единственное полуаффинное отображение [pic]

пространства ? в [pic], ассоциированное с изоморфизмом [pic], такое, что

[pic] для всех [pic].

Более того, [pic] биективно (соответственно инъективно, сюръективно)

тогда и только тогда, когда семейство [pic] есть аффинный репер

(соответственно свободное семейство, семейство образующих) для [pic].

Доказательство. Вернемся к теореме [pic], взяв одну из точек [pic] в

качестве начала в ?, а соответствующую точку [pic]- в [pic]; отображение

[pic] определяется равенством

[pic]

для любого конечного подмножества [pic] и любой системы скаляров [pic],

таких, что, [pic].

В частности, аффинное отображение ? в [pic] определяется заданием образа

аффинного репера из ?.

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ?- аффинное пространство над телом [pic]. Тогда

a) Если [pic] ?[pic] - непостоянное аффинное отображение, то [pic]-

аффинная гиперплоскость в ? с направлением [pic].

b) Обратно, если [pic]- аффинная гиперплоскость в ?, то существует

аффинное отображение [pic] ?[pic], такое, что [pic], и все аффинные

отображения ? в [pic] с этим свойством суть отображения [pic], где

[pic].

Если ?- аффинное пространство конечной размерности [pic], то каждое ЛАМ

размерности [pic] в ? определяется системой уравнений вида [pic] [pic], где

[pic]- аффинные отображения ? в [pic], линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ?[pic]- два аффинных пространства над одним и тем же

телом [pic]. Для того, чтобы отображение [pic]?[pic] было аффинным,

необходимо и достаточно, чтобы

a) при [pic]

[pic]?[pic]?[pic]

[pic];

b) при [pic] образ эквибарицентра любых трех точек ? был

эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a) При фиксированной точке [pic]? соотношение a) показывает, что для

любого вектора [pic] направляющего пространства [pic] имеем

[pic].

Отображение [pic] удовлетворяет, следовательно, условию [pic].

Чтобы доказать, что выполняется и условие [pic] для любых [pic],

выберем такие [pic], что [pic], [pic] и [pic], определим точки [pic], [pic]

условиями [pic], [pic]. Применяя условие a), получим тогда [pic],

откуда

[pic].

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ? в [pic]

является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую

аффинную прямую в ? аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных

отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если [pic]- полуаффинное отображение и множество [pic]

его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим

множеством [pic][pic], состоящим из неподвижных элементов отображения

[pic].

С другой стороны, если [pic] конечномерно и [pic]не имеет других

неподвижных элементов, кроме 0, то [pic]имеет единственную неподвижную

точку.[pic]

Доказательство. Если фиксировать точку [pic], условие

[pic]равносильно [pic]и, значит, условию [pic] где [pic]

. Если [pic]- неподвижная точка [pic]то [pic] равносильно [pic]откуда

вытекает первое утверждение.

. Если [pic], то отображение [pic] инъективно и потому в случае конечной

размерности [pic] биективно; в [pic]существует единственная точка

[pic] такая, что [pic] откуда следует второе утверждение. [pic]

Важное замечание. Если [pic]- произвольное отображение и [pic]-

биекция, то [pic]

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если [pic] и [pic] - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то

[pic] также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и [pic]

Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с

векторным пространством [pic] Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции

[pic] на [pic] образуют группу, которую мы обозначаем [pic] (соотв.

[pic]). Отображение [pic] (линейная или полулинейная часть) есть

гомоморфизм [pic]на [pic]и [pic]на группу [pic]полулинейных биекций

[pic]на [pic].

Наконец, для любой точки [pic] в [pic] ограничение [pic] на группу

изотропии точки [pic]в [pic] (соотв. [pic]) является изоморфизмом этой

группы на [pic](соотв. [pic]).

Последнее утверждение получим, выбирая [pic]в качестве начала в [pic].

Следствие. Если [pic]подгруппа в [pic](соотв. в [pic]), то [pic] есть

подгруппа в [pic] (соотв. в [pic]); при этом если [pic]инвариантная

подгруппа, то такова же и [pic].

В частности, если [pic] то [pic] есть инвариантная подгруппа в [pic],

образованная трансляциями.

Если [pic]то [pic] есть инвариантная подгруппа в [pic], образованная

трансляциям и центральными симметриями.

Если [pic][pic]инвариантная подгруппа группы [pic], образованная

векторными гомотетиями, то [pic]есть инвариантная подгруппа в [pic],

называемая группой дилатаций.

Пусть [pic]дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда [pic]векторная

гомотетия вида [pic] где [pic] В этом случае [pic] имеет единственную

неподвижную точку [pic] определяемую из условия [pic] где

[pic]произвольная точка [pic]. Таким образом, [pic] выражается как [pic]

Такое отображение называется гомотетией с центром [pic] и коэффициентом

[pic]

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии [pic] составляют инвариантную

подгруппу группы [pic], называемую группой дилатаций [pic]. Мы обозначаем

ее [pic].

Если основное тело [pic] коммутативно, то группа [pic] является

инвариантной подгруппой группы [pic].

Проектирования

Назовем проектированием [pic]любое аффинное отображение [pic]

пространства [pic]в себя, удовлетворяющее условию [pic]

[pic]

Рис. 2

Для такого отображения любая точка [pic]является неподвижной; принимая

такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного

пространства [pic]. Отсюда вытекает существование таких отображений, а

также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение [pic] является проектированием, если

существует ВПП [pic] пространства [pic]и ЛАМ [pic] в [pic] с направляющим

подпространством [pic] дополнительным к [pic], такие, что для любой точки

[pic] ее образ [pic] есть точка пересечения [pic] с ЛАМ, проходящим через

[pic] с направлением [pic] (рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с

векторным пространством [pic]над телом [pic]характеристики [pic].

Для того, чтобы аффинное отображение [pic] было инволютивным,

необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную

точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией [pic]

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если [pic]и [pic], то образом середины отрезка [pic] будет

середина отрезка [pic] таким образом, эта точка инвариантна при отображении

[pic] и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. [pic]

Предложение 5.10. Отображение [pic] является аффинной симметрией,

если существуют ВПП [pic] пространства [pic] и ЛАМ [pic]с направлением,

дополнительным к [pic] такие, что для любой точки[pic] (см.рис.2)

1). [pic]

2). Середина [pic]принадлежит [pic].

Если [pic] сводится к одной точке [pic] то [pic] и [pic] есть центральная

симметрия с центром [pic]

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему [pic] есть ВПП в [pic] и [pic]- два аффинных

пространства в [pic], направляющие которых соответственно [pic]

дополнительны к [pic] Обозначим через [pic](соотв. [pic]) ограничение

проектирования [pic] на [pic] (соотв.[pic]) параллельно [pic] Тогда, как

легко видеть, [pic] является аффинной биекцией [pic] на [pic], обратная к

которой есть [pic]. Образ [pic] точки [pic] определяется условиями [pic] и

[pic] (см. рис. 3).

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация

того факта, что установленное

[pic]

Рис.3

указанным способом соответствие между [pic] и [pic] является аффинным.

В частности, если [pic][pic] векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой

фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных

им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова [pic]- аффинное пространство, ассоциированное с векторным

пространством [pic]. Как мы уже видели, выбор начала в [pic] позволяет

отождествить [pic] с [pic] теперь мы докажем, что [pic]канонически

отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства [pic]

изоморфного [pic]

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке [pic] отображения

[pic]

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть [pic] левое векторное пространство над телом [pic] а

[pic]произвольное множество. Тогда множество [pic] отображений [pic] в

[pic]есть левое векторное пространство над [pic] по отношению к обычным

операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

[pic] и [pic]

В силу доказанного искомое векторное пространство [pic] будет ВПП в

[pic], порожденным отображениями [pic] Поэтому мы начнем с изучения этого

пространства [pic]

Предложение 6.1. Пусть [pic]- векторное подпространство в [pic],

порожденное функциями [pic] пуст, далее, [pic] элемент из [pic]. Тогда

А). Сумма [pic] зависит только от функции [pic] и притом линейно, т.е.

является линейным отображением [pic] в [pic] которое мы обозначим [pic]

Б). Если [pic] то существует единственная точка [pic], такая, что [pic].

В). Если [pic] то [pic] постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так

как могут существовать различные системы взвешенных точек [pic], такие, что

[pic] но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары [pic]

выполнено соотношение

[pic],

(1)

которое доказывает существование и линейность функции [pic]

Б). Если [pic] выберем в [pic] произвольную точку [pic] Соотношение (1)

показывает, что в [pic] существует единственная точка [pic] такая, что

[pic] она определяется условием [pic] Из (1) также видно, что эта точка –

единственная, для которой [pic] Таким образом, барицентр семейства [pic]

зависит только от функции [pic]

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). [pic]

Следствие. [pic] является теоретико-множественным объединением

векторного пространства постоянных функций и множества функций вида [pic]

Предложение 6.2. Пусть [pic] отображение [pic] и пусть

[pic]отображение [pic] в [pic] которое любому вектору [pic] ставит в

соответствие постоянную функцию, равную [pic] на [pic].

Тогда [pic] аффинно с линейной частью [pic]и потому инъективно; при

этом [pic] есть аффинная гиперплоскость[pic] в [pic] с уравнением [pic]

Доказательство. Для любой пары [pic] разность [pic]есть постоянная

функция [pic]; положим [pic]. Таким образом, [pic] аффинно, [pic] и [pic]

инъективно, как и [pic]

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции

[pic] суть элементы [pic] удовлетворяющие условию [pic].[pic]

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству [pic], ассоциированному с

векторным [pic]-пространством [pic], можно канонически присоединить:

. Векторное пространство [pic] изоморфное [pic],

. Ненулевую линейную форму [pic] на [pic],

. Аффинную инъекцию [pic], такую, что [pic] - аффинная гиперплоскость в

[pic]с уравнением [pic]

Доказательство. Остается только установить изоморфизм между [pic] и

[pic]. Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка[pic],

отображение [pic], [pic]линейно и биективно. Установленный таким путем

изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки [pic].

Заметим, что аффинная гиперплоскость [pic] имеет в качестве направляющей

векторную гиперплоскость [pic] постоянных функций, которая

отождествляется с [pic].

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве [pic] можно определить

непосредственно, не прибегая к векторному пространству [pic], но это

связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое

погружение [pic] единственным образом определяемое заданием[pic].

Обозначения. Векторное пространство [pic], построенное таким образом,

называется векторным продолжением [pic] и обозначается [pic].

Если [pic] имеет размерность [pic] то размерность [pic] равна [pic].

Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие

вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям §6. Инъекция [pic]позволяет нам отождествить

Страницы: 1, 2, 3