Структура аффинного пространства над телом

[pic] с аффинной гиперплоскостью [pic] в [pic], в то время как ее

линейная часть [pic] позволяет отождествить [pic]с векторной

гиперплоскостью [pic]

Предложение 7.1. Пусть [pic]конченое семейство взвешенных точек [pic],

где точки [pic]отождествлены с элементами [pic]. Для того, чтобы элемент

[pic]из [pic]принадлежал [pic](соотв. [pic]), необходимо и достаточно,

чтобы [pic](соотв. [pic]).

Доказательство. Это вытекает из соотношения [pic] [pic]

Правило. Отождествление [pic] с подмножеством в [pic]позволяет без

предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации [pic]

элементов [pic]. Но такая комбинация представляет элемент из [pic]только

тогда, когда [pic]( этот элемент будет барицентром системы [pic]); если

же [pic]то [pic]представляет элемент из [pic]равный [pic]для любой точки

[pic].

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки [pic] из [pic] были

коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные

одновременно нулю скаляры [pic] такие, что

[pic] и [pic]

(1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению [pic];

они интересны своей симметричной формой относительно [pic] и

возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если [pic] то барицентром системы [pic] является точка пересечения с

[pic] векторной прямой с направляющей [pic] в [pic].

3). Для того чтобы семейство [pic] точек из [pic] было аффинно свободным

(соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство

[pic] было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном

пространстве [pic]

В частности, аффинный репер [pic] является базисом [pic]содержащимся в

[pic]

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от

теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть [pic], [pic]- два векторных пространства над

одним и тем же телом [pic]и [pic] (соответственно [pic]) – аффинная

гиперплоскость в [pic](соотв. [pic]), не проходящая через начало;

обозначим [pic](соответственно [pic]) векторную гиперплоскость,

параллельную [pic] (соответственно [pic]).

А) Если [pic] - линейное отображение, такое, что [pic], то ограничение

[pic] на [pic] есть аффинное отображение [pic] в [pic], линейная часть

которого есть ограничение [pic] на [pic].

Б) обратно, если [pic] - аффинное отображение, то существует единственное

линейное отображение [pic], ограничения которого на [pic] совпадает с

[pic].

Доказательство.

А) Если [pic] линейно и [pic], то для любых точек [pic]из [pic] имеем и

[pic]. Ограничения [pic] на [pic] аффинно с линейной частью [pic], [pic].

Б) Обратно, пусть[pic]- аффинное отображение. Фиксируем точку [pic] в

[pic] и обозначим через [pic] (соответственно [pic]) векторную прямую в

[pic](соответственно [pic]), порожденную [pic] (соответственно [pic])

(рис 4). Тогда [pic][pic], [pic], и искомое линейное отображение должно

удовлетворять следующим двум условиям:

1. [pic],

2. Ограничения [pic] на [pic] равно линейной части [pic].

Но существует единственное линейное отображение [pic] из [pic] в

[pic], удовлетворяющее этим условиям ([pic] определено своими

ограничениями на дополнительные ВПП [pic] и [pic] пространства [pic]);

тогда ограничение [pic] на [pic] - есть аффинное отображение с той же

линейной частью, что и [pic], и принимающее в [pic] то же значение, что и

[pic], а тем самым равное [pic], откуда вытекает доказываемый результат.

[pic]

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными

отображениями [pic] в [pic] и линейными отображениями [pic] в [pic],

удовлетворяющими условию [pic].

С другой стороны, если [pic], и [pic], это соответствие сохраняет

композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с

ограничением их композиции).

[pic]

Рис.4

Наконец, если [pic] - автоморфизм [pic] и [pic] - аффинная

гиперплоскость в [pic], то включение [pic] влечет равенства [pic]. В самом

деле, [pic] есть аффинная гиперплоскость в [pic], и достаточно применить

следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены

начала в [pic].

Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть [pic] - векторное пространство, [pic] - аффинная

гиперплоскость в [pic], не проходящая через начало. Существует изоморфизм

группы аффинных биекций [pic] на стабилизаторе [pic] в [pic] (подгруппу

[pic], состоящую из изоморфизмов [pic], для которых [pic]).

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, [pic], [pic]

- векторные продолжения аффинных пространств [pic], [pic], а [pic], [pic] -

образы [pic], [pic] при канонических погружениях [pic], [pic]: всякое

аффинное отображение [pic] в [pic], отождествляется с линейным отображением

[pic] пространства [pic]в пространство [pic], удовлетворяющим требованию

[pic], и группа аффинных биекций [pic] отождествляется с подгруппой [pic],

сохраняющей аффинную гиперплосклость [pic]

Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство [pic] имеет конечную размерность [pic], то в

[pic] можно выбрать базис [pic] так, что [pic] при [pic] и [pic]. Тогда

[pic] есть декартов репер в [pic] с началом [pic] (рис 4).

В этом случае [pic] является множеством точек [pic]пространства

[pic], таких, что [pic]; следовательно, это аффинная гиперплоскость с

уравнением [pic] в базисе [pic]. Эндоморфизмы [pic] пространства [pic],

удовлетворяющие условию [pic], - это те эндоморфизмы, матрица которых в

базисе [pic]имеет вид

[pic], (2)

где [pic] - квадратная матрица порядка [pic]. Эндоморфизму [pic] с матрицей

(2) соответствует аффинное отображение [pic], координатное выражение

которого в декартовом репере [pic] имеет форму

[pic] , [pic] (3)

Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия

соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм

[pic] с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица

(2), и тогда выполняется и равенство [pic]. Таким образом, получается

Теорема 7.4. Группа аффинных биекций [pic]-мерного аффинного пространства

изоморфна подгруппе линейной группы [pic], образованной матрицами вида (2),

где [pic] принадлежит [pic].

В частности, группа аффинных биекций [pic] тела [pic] изоморфна подгруппе

в [pic], состоящей из матриц вида [pic].

8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.

Ниже мы обозначаем через [pic], [pic] два аффинных пространства,

ассоциированных соответственно с векторными пространствами [pic] над

произвольными телами [pic]. Мы дадим чисто геометрическую характеризацию

полуаффинных отображений [pic] в [pic]. Для ясности начнем со случая

инъективных отображений.

Теорема 8.1. Допустим, что [pic]. Для того, чтобы инъективное

отображение[pic] было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно

удовлетворяло следующим двум условиям:

1. Образ любой аффинной прямой из [pic] был аффинной прямой в [pic];

2. Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство

достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что [pic]

удовлетворяет условиям 1) и 2).

А). Образы при [pic] двух различных прямых [pic], [pic] из [pic] суть

также две различные прямые.

В самом деле, пусть [pic], [pic] - прямые в [pic], имеющие один и тот же

образ [pic], пусть [pic] - две различные точки их общего образа. Тогда

прообразы [pic] точек [pic] и [pic]принадлежат [pic] и [pic] одновременно и

различны (в силу иньективности [pic]), откуда следует, что [pic].

Б). Отображение [pic], [pic] не зависит от выбора [pic]в [pic].

В самом деле, пусть другая точка [pic] и [pic],[pic] таковы, что

[pic]. Если

[pic]- несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ

[pic]тоже настоящий параллелограмм, откуда

[pic], [pic]

Если точки [pic] принадлежат одной прямой [pic], то предположение [pic]

позволяет выбрать в [pic]точки [pic] так, что [pic]. Применяя предыдущий

случай, имеем

[pic]

откуда[pic].

Отображение [pic] обозначаем отныне просто [pic].

В). Отображение [pic] инъективно и удовлетворяет условию

[pic] [pic]. (1)

Инъективность [pic] сразу следует из инъективности [pic]. С другой

стороны, для любых данных [pic] выберем в [pic] такие точки [pic], [pic],

[pic],[pic] и [pic]. Тогда [pic].

Д). Существует отображение [pic], такое, что

[pic] [pic]. (2)

Доказательство. Достаточно найти [pic], удовлетворяющее условию (2) при

[pic]. Для заданной пары [pic] выберем [pic], [pic], [pic] в [pic] так, что

[pic], [pic]. Так как точки [pic], [pic] и [pic] коллинеарны, то

коллинеарны и векторы [pic]; отсюда вытекает существование некоторого

скаляра, скажем [pic], такого, что [pic]. Остается доказать, что [pic] не

зависит от вектора [pic] (по предположению ненулевого).

1). Если [pic]два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и [pic],

[pic]; в противном случае образы двух прямых [pic], [pic], проходящих

через одну и ту же точку [pic] с направляющими [pic], совпадали бы, что

невозможно в силу А).

Для любого [pic]имеем

[pic],

откуда в силу неколлинеарности [pic], [pic]

[pic].

2). Если [pic], [pic]- коллинеарные ненулевые векторы, то предположение

[pic] позволяет выбрать [pic] так, что пары [pic] и [pic] свободны. Отсюда

находим, что

[pic] [pic].

Так для каждого [pic] отображение [pic], [pic] есть константа, мы

обозначим ее через [pic].

[pic]

Е). Отображение [pic] является изоморфизмом тел.

Выбрав [pic], мы увидим прежде всего, что соотношения [pic] и [pic]

влекут (с учетом [pic])

[pic] и [pic],

т.е. показывают, что [pic] - гомоморфизм тел.

Наконец, для любой точки [pic][pic] отображение [pic] есть биекция

[pic] на прямую [pic]; ограничение[pic] на [pic]есть биекция [pic]на прямую

[pic]. Следовательно, композиция [pic], [pic]биективна. Отсюда вытекает,

что отображение [pic] биективно.

Итак, [pic]изоморфизм тел, [pic]полулинейное отображение,

ассоциированное с [pic], и [pic]полуаффинное отображение. [pic]

Случай плоскости.

Если [pic]и [pic] двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия

1) и инъективности [pic]. Мы можем, таким образом, сформулировать

Следствие. Если [pic],[pic]аффинные плоскости и [pic]- инъективное

отображение, такое, что образ любой прямой в [pic]есть прямая в [pic], то

[pic]полуаффинное отображение.

Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если

[pic]инъективное отображение [pic]в себя, такое, что образ любой прямой

[pic] есть прямая, параллельная [pic]; тогда можно непосредственно

доказать, что [pic] дилатация.

9.Основная теорема аффинной геометрии.

Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных

многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую

теорему:

Теорема 9.1. Пусть [pic],[pic]аффинные пространства над телами [pic],

[pic], отличными от поля [pic]; для того, чтобы отображение [pic]было

полуаффинным, достаточно, чтобы

1). Образ любой прямой в [pic] был прямой в [pic], либо сводился к одной

точке.

2). Аффинное подпространство в [pic], порожденное [pic], имело размерность

[pic].

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из

них предполагается, что [pic] удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если [pic] есть ЛАМ в [pic], то [pic]- ЛАМ в [pic].

Доказательство. Пусть [pic] и [pic]- две различные точки в [pic].

Тогда прямая [pic] есть по условию 1) образ прямой [pic]; так как прямая

[pic]содержится в [pic], прямая [pic] содержится в [pic]. Результат теперь

вытекает из теоремы 4.8. [pic]

Лемма 2. Если [pic]- ЛАМ в [pic] и множество [pic] непусто, то оно

является ЛАМ в [pic].

Доказательство. Результат очевиден, если [pic] сводится к одной точке.

В противном случае для любой пары различных точек [pic], [pic] прямая [pic]

содержится в [pic] согласно 1). Таким образом, прямая [pic]содержится в

[pic] и теорема 4.8 показывает, что [pic] есть ЛАМ. [pic]

Лемма 3. Для любой непустой части [pic] пространства [pic]

[pic]. (1)

Доказательство. [pic] есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic]; по лемме 1,

[pic] есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic]. Отсюда следует включение

[pic].

Аналогично, по лемме 2, [pic]есть ЛАМ в [pic], содержащее [pic], а

потому и [pic]; имеет место включение [pic]; применение отображения [pic]

дает [pic].

Окончательно получаем равенство (1). [pic]

Лемма 4. Пусть [pic]- пара параллельных прямых в [pic]. Если [pic]сводится

к точке, то же имеет место и для [pic]. Если [pic] - прямая, то и [pic]-

прямая, параллельная [pic].

Доказательство. Мы можем предположить, что [pic]. Тогда [pic] есть ЛАМ

размерности 2 в [pic], порожденное двумя точками [pic], [pic]одной из

прямых и точкой [pic] другой прямой; по леммам 2и 3, [pic] есть ЛАМ

размерности [pic].

А). Покажем сначала, что [pic]либо [pic].

Допустим, что [pic] и [pic] действительно имеют общую точку. Тогда

найдутся точки [pic] и [pic], такие, что [pic]. Выбирая [pic] и полагая по-

прежнему [pic], получим с помощью леммы 3, что

[pic]

и аналогично

[pic],

откуда [pic].

Поскольку сформулированное утверждение при [pic]очевидно, будем далее

полагать [pic], т.е. считать, что [pic]и [pic] не имеют общих точек.

Б). Предположим, что [pic]- прямая в [pic]и [pic]; тогда [pic] имеет

размерность 2.

Если бы на прямой [pic]существовали две точки [pic], такие, что

[pic], то для любой точки [pic]мы имели бы [pic]и [pic], и тогда [pic]не

было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что [pic]- прямая.

Значит, [pic]и [pic] - две прямые без общих точек, лежащие в одном

ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.

В). Если [pic] сводится к одной точке, то меняя ролями [pic]и[pic]и

применяя результат Б), мы видим, что [pic]также сводится к точке.

Лемма 5. Если [pic]пара точек в [pic], таких, что множества [pic],

[pic]

непусты, то [pic] и [pic]- ЛАМ с общим направлением.

Доказательство. По лемме 2, [pic] и [pic] суть ЛАМ в [pic].

Предполагая, что [pic], фиксируем точку [pic]в [pic]и точку [pic]в [pic];

параллельный перенос на вектор [pic] обозначим через [pic]. Для любой точки

[pic] прямая [pic]параллельна прямой[pic], и поскольку образ прямой

[pic]сводится к одной точке [pic], то образ прямой [pic]сводится к одной

точке [pic]. Таким образом, [pic]влечет [pic]и имеет место включение [pic].

Меняя ролями [pic] и [pic], получим включение [pic], откуда [pic].

Итак, [pic], [pic] имеют общее направление. [pic]

Лемма 6. Обозначим через [pic] общее направление непустых ЛАМ в [pic]

вида [pic], где [pic], и пусть [pic]- факторпространство [pic] по отношению

эквивалентности [pic], определенному условием [pic].

Тогда [pic]имеет единственную аффинную структуру, такую, что

каноническая проекция [pic] является аффинной.

Доказательство. Выбор начала [pic] в [pic] сводит дело к случаю

факторпространства векторного пространства [pic] По его векторному

подпространству [pic], и оказывается, что достаточно применить теорему

II.4.3, приняв точку [pic] за начало в [pic].[pic]

Отметим, что [pic]является пространством орбит действия группы

трансляций [pic] на [pic]; это есть множество ЛАМ с направлением [pic].(см.

§2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение [pic]представляется в

виде [pic], где [pic]- инъективное полуаффинное отображение; отсюда

вытекает, что [pic] полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность [pic] вытекают из того,

что соотношение [pic]равносильно [pic](см. лемму 5), и тем самым [pic]. Для

доказательства полуаффинности [pic]покажем, что оно удовлетворяет условиям

теоремы 8.1.

Пусть [pic]– произвольная аффинная прямая [pic], порожденная двумя

различными элементами [pic]из [pic]. Без труда проверяется, что [pic] есть

ЛАМ в [pic], порожденное [pic].

По лемме 3, [pic]есть ЛАМ, порожденное [pic]; итак (в силу

инъективности [pic]), [pic]является аффинной прямой [pic].

Наконец, [pic]не может сводиться к одной точке или прямо, так как

тогда к точке или прямой сводилось бы и [pic], что противоречит условию 2).

Поэтому [pic].

Отсюда следует, что [pic]удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным

на [pic], при условии замены [pic]на [pic]. Лемма 4 показывает тогда, что

образы при отображении [pic]двух параллельных прямых [pic], [pic] из [pic]-

две параллельные прямые. Наконец, [pic]удовлетворяет всем условиям теоремы

8.1 (после замены [pic]на [pic]). Следовательно,[pic] полуаффинно и так же

обстоит дело с [pic].[pic]

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. [pic]

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела [pic] и

[pic]совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного

(например, когда [pic] или [pic]при [pic]: в этом случае мы получаем чисто

геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга [pic] пространства

[pic] в [pic].

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии

условия 2): ведь любое отображение [pic]на прямую тривиальным образом

удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае [pic] условие 1) выполнено для любого отображения

[pic] в [pic](поскольку каждая прямая в [pic] и [pic]состоит из двух

точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или

точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже

при условии, что биективно.

Например, [pic], [pic] есть биекция векторного пространства [pic]над

[pic]в векторное пространство [pic]над [pic], и образ каждой прямой из

[pic]при отображении [pic]содержится в фнекоторой прямой пространства

[pic], но [pic]не является полулинейным (поскольку [pic] и [pic]не

изоморфны).

Лемма 6. Обозначим через [pic] общее направление непустых ЛАМ в [pic]

вида [pic], где [pic], и пусть [pic]- факторпространство [pic] по отношению

эквивалентности [pic], определенному условием [pic].

Тогда [pic]имеет единственную аффинную структуру, такую, что

каноническая проекция [pic] является аффинной.

Доказательство. Выбор начала [pic] в [pic] сводит дело к случаю

факторпространства векторного пространства [pic] По его векторному

подпространству [pic], и оказывается, что достаточно применить теорему

II.4.3, приняв точку [pic] за начало в [pic].[pic]

Отметим, что [pic]является пространством орбит действия группы

трансляций [pic] на [pic]; это есть множество ЛАМ с направлением [pic].(см.

§2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение [pic]представляется в

виде [pic], где [pic]- инъективное полуаффинное отображение; отсюда

вытекает, что [pic] полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность [pic] вытекают из того,

что соотношение [pic]равносильно [pic](см. лемму 5), и тем самым [pic]. Для

доказательства полуаффинности [pic]покажем, что оно удовлетворяет условиям

теоремы 8.1.

Пусть [pic]– произвольная аффинная прямая [pic], порожденная двумя

различными элементами [pic]из [pic]. Без труда проверяется, что [pic] есть

ЛАМ в [pic], порожденное [pic].

По лемме 3, [pic]есть ЛАМ, порожденное [pic]; итак (в силу

инъективности [pic]), [pic]является аффинной прямой [pic].

Наконец, [pic]не может сводиться к одной точке или прямо, так как

тогда к точке или прямой сводилось бы и [pic], что противоречит условию 2).

Поэтому [pic].

Отсюда следует, что [pic]удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным

на [pic], при условии замены [pic]на [pic]. Лемма 4 показывает тогда, что

образы при отображении [pic]двух параллельных прямых [pic], [pic] из [pic]-

две параллельные прямые. Наконец, [pic]удовлетворяет всем условиям теоремы

8.1 (после замены [pic]на [pic]). Следовательно,[pic] полуаффинно и так же

обстоит дело с [pic].[pic]

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. [pic]

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела [pic] и

[pic]совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного

(например, когда [pic] или [pic]при [pic]: в этом случае мы получаем чисто

геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга [pic] пространства

[pic] в [pic].

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии

условия 2): ведь любое отображение [pic]на прямую тривиальным образом

удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае [pic] условие 1) выполнено для любого отображения

[pic] в [pic](поскольку каждая прямая в [pic] и [pic]состоит из двух

точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или

точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже

при условии, что биективно.

Например, [pic], [pic] есть биекция векторного пространства [pic]над

[pic]в векторное пространство [pic]над [pic], и образ каждой прямой из

[pic]при отображении [pic]содержится в некоторой прямой пространства [pic],

но [pic]не является полулинейным (поскольку [pic] и [pic]не изоморфны).

[pic]

Страницы: 1, 2, 3