реферат, рефераты скачать
 

Основы теории систем и системный анализ (лекции)


  +6000

  +1000

                Таблица 3.8

         Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента) будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за некоторое число ходов будет максимальным.

         Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с использованием S1, а другую половину — с S2.  Конечно, мы не можем знать, какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется рассматривать два крайних случая его поведения.

         Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш составит   0.5·(-3000)+0.5·(+6000) = 1500 гривен.

         Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит    0.5·(+7000)+0.5·(+1000) = 4000 гривен.

         Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также смешанной стратегии?  Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш  не менее 1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты смешанных стратегий конкурента.

         Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая смешанная стратегия  (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента? Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно — оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Методы поиска таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе. 

         Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР —  системный подход не может дать рецепта для безусловного получения выигрыша.

         Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и применить оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском возможного проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень большом числе ходов). 

         Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска наилучшей смешанной стратегии.

         Пусть мы применяем стратегию S1 с  частотой  e,   а стратегию S2 с частотой  (1 - e)

Тогда мы будем иметь выигрыш    

         W(C1) = e · (-3000) + (1-e) · (+6000) = 6000 - 9000·e 

при применении конкурентом стратегии C1  

или  будем иметь выигрыш

         W(C2) = e · (+7000) + (1-e) · (+1000) = 1000 + 6000·e                     

при применении конкурентом стратегии C2.

         Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия     W(C1) = W(C2);                                                                {3 - 16}

что приводит к наилучшему значению e=1/3  и  математическому ожиданию выигрыша величиной в (-3000)·(1/3)+(+6000)·(2/3)=3000 гривен.


3.10   Моделирование в условиях противодействия, модели торгов

         К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием (конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью —  "правила игры" не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается.

         При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже, заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы моделирования ситуаций в торгах.

         Наиболее часто встречаются два вида торгов:

         · закрытые торги, в которых два или более участников независимо друг от друга предлагают цены (ставки) за тот или иной объект; при этом участник имеет право лишь на одну ставку, а ведущий торги принимает высшую (или низшую) из предложенных;

         · открытые торги или аукционы, когда два или более участников подымают цены до тех пор, пока новой надбавки уже не предлагается.

         Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A)  и наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам   суммарной  стоимости  C1 + C2.

         Мы располагаем свободной суммой  S  и нам известно, что точно такой же суммой располагает наш конкурент. При этом S< C1 + C2, то есть купить оба объекта без торгов не удастся.

         Мы должны назначить свои цены A1, A2 за первый и второй объекты в тайне от конкурента, который предложит за них же свои цены   B1, B2После оглашения цен объект достанется предложившему большую цену, а если они совпали — по жребию.         Предположим, что и мы и наш конкурент владеем методом выбора наилучшей стратегии (имеем соответствующее образование).

         Так вот — можно доказать, что при равных свободных суммах с нашей и с противоположной стороны существует одна, оптимальная для обеих сторон стратегия назначения цен.

         Сущность ее (скажем, для нас) определяется из следующих рассуждений. Если нам удастся купить первый объект, то наш доход составит (C1 - A1)  или же, при  покупке второго,  мы  будем иметь доход  (C2 - A2).         Значит, в среднем мы можем ожидать прибыль

         d = 0.5·(C1 + C2 —  A1 —  A2) = 0.5·(C1 + C2 —  S).      {3 - 17}

         Таким образом, нам выгоднее всего назначить цены

         A1 = C1 — d = 0.5 · (C1 —  C2 + S);

         A2 = C2 — d = 0.5 · (C2  — C1 + S).                           {3 - 18}

         Если же одна из них по расчету окажется отрицательной — выставим ее нулевой и вложим все деньги в цену за другой объект.

          Но и наш конкурент, имея ту же свободную сумму и рассуждая точно так же, назначит за объекты точно такие же цены.  Как говорится, боевая ничья!  Ну,  если  конкурент не  владеет профессиональными

 знаниями? Что ж, тем хуже для него — мы будем иметь доход больше, чем конкурент.

         Конкретный пример. Сумма свободных средств составляет по 10000 гривен у каждого, цена первого объекта равна 7500, второго 10000 гривен. 

         Назначим цену за первый объект в 0.5·(7500-10000+10000)=3750 гривен, а за второй  0.5·(10000-7500+10000) = 6250 гривен.

         Наш доход при выигрыше первого или второго объекта составит 3750 гривен. Такой же доход ожидает и конкурента, если он выбрал такую же, оптимальную стратегию. Но, если он так не поступил и  назначил цену за первый объект 3500, а за второй 6000 гривен (пытаясь сэкономить!), то в таком случае мы можем выиграть торги по двум объектам сразу и будем иметь доход уже в 7500 гривен — приобретая имущество общей стоимостью в 17500 за цену в 10000 гривен!

         Конечно, если стартовые суммы участников торгов неодинаковы, число объектов велико и велико число участников, то задача поиска оптимальной стратегии становится более сложной, но все же имеет аналитическое решение.

                           

         Рассмотрим теперь второй вид задачи — об открытых торгах (аукционах). Пусть все те же два объекта (с теми же стоимостями) продаются с аукциона, в котором участвуем мы и наш конкурент.

         В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и  SB  , причем  каждая из них меньше (C1 + C2)  и, кроме того,  отношение нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2.

         Пусть мы знаем "толщину кошелька" конкурента и, поскольку ищем оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших финансовых возможностях.

         Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним, требует этого).

         Здесь возможны варианты:

         · мы хотим иметь максимальный доход;

         · мы стремимся минимизировать доход конкурента;

         · мы желаем максимизировать разницу в доходах — свой побольше, а конкурента поменьше.

         Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию, обеспечивающую

        DA — DB = Max.                                                               {3-19}

         Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное предложение цены X  за этот объект со стороны конкурента.

         Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:

         · стремиться уступить первый объект конкуренту — за наибольшую цену, надеясь купить второй;

         · стремиться купить     первый объект  — за минимальную цену, уступив конкуренту второй.

          Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку D), то первый объект достанется конкуренту.         При этом у конкурента в запасе останется сумма  SB - X. Доход конкурента составит при этом (без учета D)          DB = С1 - X.

         Мы наверняка купим второй объект, если  у  нас в кармане

 SA = (SB - X) + D,  то есть немного больше, чем осталось у конкурента.

         Значит, мы будем иметь доход  DA = C2 - (SB - X)  и разность доходов в этом случае составит

         DA - DB = C2 - C1 - SB + 2·X .                                                       {3-20}

         Ясно, что эта разность  будет положительна только тогда, когда мы уступим первый объект за цену

           X > ,                                                                       {3-21}

         но никак не меньше.

         · Будем повышать цену за первый объект до суммы X+ D  с целью  купить его.

         Наш доход составит при этом   

          DA = C1 - (X + D).

          Второй объект достанется конкуренту за сумму

          SA - (X + D) + D,  

          так   как  ему придется  поднять цену за этот объект до уровня, чуть большего остатка денег у нас.

         Доход конкурента составит  

         DB  = C2 - (SA - (X + D) + D),

        а  разность доходов составит (без учета D)    

         DA - DB =  (C1 - X) - (C2 - SA + X) = С1 - С2 + SA - 2X .             {3-22}


         Эта разность будет положительна при условии

         X <  ,                                                           {3-23}

         Мы нашли две "контрольные" суммы для того, чтобы знать —  когда надо пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения  {3-21} и {3-23}. Среднее этих величин составит

         K =  +                                                                 {3-24}

и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше.

         Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.

         · Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3-20}

         DA - DB = C2 - C1 - SB + 2K = 0.5(SA - SB).

         · Если же мы купили первый объект на этой границе, то по {3-22}

         DA - DB =  С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB).

         Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными суммами  и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах):  SA= 100 < 175;  SB = 110 < 175;  C1 = 75;  C2 = 100;

 0.5 <  (SA/ SB < 2  и примем  разрешенную надбавку к цене равной  1.

         В этом конкретном случае граница "сражения" за первый объект проходит через сумму

         K =  +  = -12.5 + 52.5 = 40 $

         Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем довольствоваться разностью доходов не в свою пользу: DA - DB =  С1 - С2 + SA - 2K = 0.5(SA - SB) = -5.

         Что делать — у конкурента больший стартовый капитал.

         Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна.

         Тогда все зависит от того, на какой сумме он "отдаст" нам первый объект или, наоборот, до какой границы он будет "сражаться" за него .  Следующая таблица иллюстрирует этот вывод.


                                                                          Таблица 3.9

Граница        1 торга  за  объект

 Владелец   

1  объекта

Доход    DA

Доход     DB

Разность

DA - DB

20 

A

   55 

20   

35 

30  

A  

   45 

30   

 10 

35  

A

   40 

35

40  

A

   35  

40  

-5 

40

B

   25

35

-5

45 

B

   35

30

5

50

B

   40

25

15

55

B

   45

20

25

60

B

   50

15

40

75

B

   75

0

75


         Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что  в реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии поведения оказывается весьма сложной.

         Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух, а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям при моделировании "вручную", но не играет особой роли при использовании компьютерных программ моделирования.        

         Дело в другом — большей частью ситуация усложняется неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж, прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным моделям, или со средними значениями, найденными  по итогам наблюдений или   статистических экспериментов.


3.11   Методы анализа больших систем, планирование экспериментов


         Еще в начале рассмотрения вопросов о целях и методах системного анализа мы обнаружили ситуации, в которых нет возможности описать элемент системы, подсистему и систему в целом аналитически, используя системы уравнений или хотя бы неравенств.

         Иными словами — мы не всегда можем построить чисто математическую модель на любом уровне — элемента системы, подсистемы или системы в целом.

         Такие системы иногда очень метко называют "плохо организованными" или "слабо структурированными".

         Так уж сложилось, что в течение почти 200 лет после Ньютона в науке считалось незыблемым положение о возможности "чистого" или однофакторного эксперимента. Предполагалось, что для выяснения зависимости величины Y=f(X) даже при очевидной зависимости Y  от целого  ряда других переменных всегда можно стабилизировать все переменные, кроме X, и найти "личное" влияние X на Y.

         Лишь сравнительно недавно (см. работы В. В. Налимова) плохо организованные или, как их еще называют — большие системы вполне "законно" стали считаться особой средой, в которой неизвестными являются не то что связи внутри системы, но и самые элементарные процессы.

         Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит и экономических) возможен при единственном, научно обоснованном подходе — признании скрытых, неизвестных нам причин и законов процессов. Часто такие причины называют латентными факторами, а особые свойства процессов — латентными признаками.

         Обнаружилась и считается также общепризнанной возможность анализа таких систем  с использованием двух, принципиально различных подходов или методов.

         · Первый из них может быть назван методом многомерного статистического анализа.  Этот метод был обоснован и применен видным английским статистиком Р.Фишером в 20..30 годы этого столетия. Дальнейшее развитие многомерной математической статистики как науки и как основы многих практических приложений считается причинно связанным с появлением и совершенствованием компьютерной техники. Если в 30-е годы, при ручной обработке данных удавалось решать задачи с учетом 2..3 независимых переменных, то 1965 году решались задачи с 6 переменными, а к  70..80 годам их число уже приближалось к 100.

         · Второй метод принято называть кибернетическим или "винеровским", связывая его название с отцом кибернетики Н.Винером. Краткая сущность этого метода — чисто логический анализ процесса управления большими системами. Рождение этого метода было вполне естественным — коль скоро мы признаем существование плохо организованных систем, то логично ставить вопрос о поиске методов и средств управления ими. Совершенно нелепо ставить вопрос о распределении токов в электрической цепи — это процессы в хорошо организованной (законами природы) системе.

         Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное различие между собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе одних и тех же систем.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.