Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась [pic]?

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами

умножения и таблицами обратных величин таблицы квадратов чисел и квадратных

корней из чисел? При этом они умели находить приближенное значение

квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения

квадратного корня можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в

одной из найденных при раскопках клинописных табличек: Найти квадратный

корень из 1700.

Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:

[pic],

первое из которых является полным квадратом. Затем указывается, что

[pic]

Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы

извлечь корень из числа [pic], разлагают его на сумму [pic] ([pic]должно

быть достаточно малым в сравнении с [pic]) и вычисляют по приближенной

формуле:

[pic]

Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заимствован

греками. Так, например, у Герона Александрийского находим:

[pic]

Для обозначения высших степеней употреблялись позже составные

выражения "биквадрат" или "квадрато-квадрат" для четвертой степени, или

"кубоквадрат" для пятой и т.д. Современные названия предложены голландским

ученым С.Стевином (1548-1620), который обозначал степени в виде 2, 3 и т.д.

Он же начал систематически употреблять дробные показатели степени для

обозначения корней.

В настоящее время для извлечения корня употребляется два обозначения:

знак радикала и дробные показатели. Предпочтительнее использовать

обозначения со знаком радикала - обозначения с дробными показателями

являются скорее данью традиции. Степени с отрицательными показателями ввел

английский математик Д.Уоллис.

Неравенства встречаются в математике еще в глубокой ревности.

Рассмотрим некоторые из них.

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел [pic]меньше их

среднего арифметического (Евклид).

2. Архимед установил неравенства

[pic]

3. Если [pic]- наибольший квадрат, содержащийся в числе, а [pic]-

остаток, то

[pic] при [pic]

[pic] при [pic]

(Аль-Кальсади, Трактат "Раскрытие тайн науки Габар", XV век).

Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел

привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и

поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются

элементами поля [pic], они не содержатся в поле [pic], и поле [pic]является

расширением поля [pic].

2. Неравенства и их основные свойства

Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные

числа и число [pic]. Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную

вправо и числа на ней.

При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в

порядке их возрастания. Ясно, что [pic]. Но [pic], так как точка,

изображающая [pic], расположена правее точки, изображающей [pic]. Таким

образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения

неравенства:

Пусть [pic]и[pic]- какие-нибудь два действительных числа,

изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева

направо. Тогда [pic] в том и только том случае, когда точка, изображающая

число [pic], лежит правее точки, изображающей число [pic].

Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим

правилом, если принять понятие положительного числа за основное:

Пусть [pic]и [pic]- какие-нибудь два действительных числа. Тогда

[pic]в том и только том случае, когда [pic]положительно. В частности всякое

положительное число больше нуля, ибо разность [pic]положительна. Поэтому

неравенство [pic]употребляется для символической записи утверждения, что

число [pic]положительно. Отрицательное число определяется как число,

противоположное положительному числу относительно точки [pic]на числовой

прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если

[pic]отрицательно, то [pic]положительно. Запись [pic]употребляется для

обозначения утверждения, что [pic]отрицательное число.

Число нуль обладает тем свойством, что [pic]для любого

действительного числа [pic].

Итак, числа [pic]и [pic]могут относиться друг к другу следующим

образом:

1). [pic]

2). [pic]

3). [pic]

Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.

Теорема 1. Если [pic]и [pic], то [pic].

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

В самом деле,

[pic]

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование

свойства транзитивности: точка [pic]на числовой прямой расположена левее

точки [pic], а точка [pic]левее точки [pic], при этих условиях точка [pic]

расположена левее точки [pic].

Теорема 2. Если [pic], то [pic], т.е. при изменении знака обеих частей

неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

Действительно,

[pic]

Следовательно, по определению [pic].

Геометрическая иллюстрация:

Теорема 3. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. обе части неравенства можно

умножить на положительное число.

Действительно,

[pic]

Но [pic]и [pic]. Следовательно, [pic]. Итак, [pic], т.е. [pic], что и

требовалось доказать.

Теорема 4. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. при умножении на отрицательное

число знак неравенства меняется на противоположный.

Действительно,

[pic].

Но [pic], [pic], следовательно, и [pic], т.е. [pic].

Теорема 5. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. при умножении обеих частей

неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.

Действительно,

[pic]

Теорема 6. Если [pic]и [pic] - произвольное число, то [pic], т.е. к обеим

частям неравенства можно прибавить произвольное число.

Действительно, [pic], где [pic]. Следовательно, [pic], а так как

[pic], имеем: [pic].

Теорема 7. Если [pic], [pic]и [pic], то [pic]. Предварительно напомним,

что [pic]есть обратное число, т.е. такое, что [pic]. Имеем [pic]. Но, с

другой стороны,

[pic][pic]

Следовательно, и [pic], так как, если произведение и один из множителей

положительны, то и другой множитель положителен. Значит [pic]. [pic]

Теорема 8. Если [pic], то [pic], т.е. квадрат любого отличного от нуля

числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и

отрицательных чисел.

Теорема 9. Если [pic]и [pic] , то [pic], т.е. два неравенства одинакового

смысла можно сложить.

Имеем [pic], [pic] ,где [pic]и [pic]. Следовательно,

[pic]

или

[pic]

где [pic], что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если [pic]и [pic], то [pic]. Как легко показать, разность

[pic] положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)

Если [pic][pic], [pic]и [pic] и [pic] положительны, то [pic], т.е. обе

части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство

того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

[pic]

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и

требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)

Если [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] - положительны, то [pic] .

Действительно, здесь [pic], и, на основании теоремы о перемножении

неравенств, имеем [pic] , что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если [pic] - четное число, [pic], а [pic], то [pic], т.е.

четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что [pic] и [pic].

Теорема 14. Если [pic]- нечетное число, [pic] и [pic], то [pic], т.е.

отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: [pic]и [pic].

Теорема 15. Если [pic]- нечетное число, [pic]и [pic]- положительно, а

[pic]- отрицательно, то [pic]. Из предыдущего видно, что [pic], а [pic],

откуда [pic].

Теорема 16. Если числа [pic]и [pic]положительны и [pic], то [pic], где

[pic]- целое положительное число.

Действительно, если предположить, что [pic] , то возведя обе части

неравенства в степень [pic]. получим [pic], т.е. придем к противоречию.

Теорема 17. Если [pic], то [pic], где [pic] - произвольное положительное

рациональное число.

В самом деле, из [pic]имеем [pic] и дальше [pic].

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две

функции [pic] и [pic]. Если поставить между ними один из знаков неравенства

((,(, [pic],[pic]), получим условное неравенство. В дальнейшем такие

условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ)

неравенства [pic] называется множество таких значений [pic], при которых и

функция [pic], и функция [pic]определены. Иными словами, ОДЗ неравенства

[pic]- это пересечение ОДЗ функции [pic]и ОДЗ функции [pic].

Частным решением неравенства [pic]называется всякое удовлетворяющее

ему значение переменной [pic]. Решением неравенства называется множество

всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их

решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Если каждое частное решение неравенства [pic] является в то же время

частным решением неравенства [pic], полученного после преобразований

неравенства [pic], то неравенство [pic]называется следствием неравенства

[pic]. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к

равносильным неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже

функцию [pic], которая определена при всех значениях [pic]из области

определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак

неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким

образом, неравенства

[pic](1)

и

[pic](2)

равносильны.

Доказательство: Пусть [pic]=[pic]- произвольное решение неравенства [pic].

Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям

число [pic] (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2)

имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых

неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic]- истинное.

Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением

неравенства (2).

Обратно, пусть [pic]- произвольное решение неравенства (2), значит

[pic] - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей

этого неравенства числа [pic]по свойству 6 числовых неравенств получим

истинное числовое неравенство [pic]. Итак, произвольное решение неравенства

(1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства

(2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Неравенства

[pic]

и

[pic]

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения

исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом

оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится

неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если [pic], то неравенства

[pic](1)

и

[pic](2)

(или [pic]) равносильны.

Доказательство: пусть [pic] произвольное решение неравенства (1). Тогда

[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет смысл при

всех [pic]из области определения неравенства (1), причем [pic]). Н

основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое

неравенство (2) тоже истинное при [pic].

Обратно, пусть [pic]- произвольное решение неравенства (2), значит

[pic] - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей

неравенства на число [pic](по условию) по свойству 12 числовых неравенств

получим истинное числовое неравенство [pic].

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то

же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится

неравенство, равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и

ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения

исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом

изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство.

равносильное исходному.

Таким образом, если [pic], то неравенства

[pic](1)

и

[pic](2)

(или [pic]) равносильны.

Доказательство: Пусть [pic]произвольное решение неравенства (1). Тогда

[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет решение при

всех [pic]из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4

числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic] тоже

истинное.

Обратно, пусть [pic] - произвольное решение неравенства (2), значит

[pic]-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на

число [pic]по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое

неравенство [pic].

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением

неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением

неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и

тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то

получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство [pic], причем [pic]и [pic]при всех

[pic]из области определения неравенства. Если обе части неравенства

возвести в одну и ту же натуральную степень [pic]и при этом знак

неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

[pic],

равносильное данному.

Доказательство: пусть [pic]- произвольное решение неравенства [pic]. Причем

[pic]и [pic](по условию). Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Но по

свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство

[pic]тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение

области определения выражения. Например, при приведении подобных членов,

при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При

решении неравенства в результате тождественных преобразований может

получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения

тождественных преобразований, которые привели к расширению области

определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые

принадлежат области определения исходного неравенства.

3. Корень [pic]- й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем [pic]- й степени из действительного числа

[pic]называется действительное число [pic]такое, что [pic].

В частности, если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]или

[pic]. Если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]. Заметим, что если

[pic]- четное, а [pic], то по свойствам действительных чисел не существует

действительных [pic]таких, что [pic]. Если [pic]- четное, а [pic], то

существует ровно два действительных различных корня [pic]- й степени из

[pic]. Положительный корень обозначается через [pic]- арифметический корень

[pic]- й степени из [pic], отрицательный [pic]. Если [pic], то при любом

[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]- число [pic].

Если, [pic]- нечетное, то для любого действительного числа

[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]. Этот корень

называется арифметическим корнем [pic]- й степени из числа и обозначается

[pic].

Итак:

1. [pic]- четное, [pic], [pic]- арифметический корень [pic]- й степени из

неотрицательного числа [pic].

2. [pic]- нечетное, [pic]- любое действительное число, [pic]-

арифметический корень [pic]- й степени из действительного числа [pic].

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими

корнями не вызывают затруднений ([pic] имеет тот же знак, что и [pic]),

Основной случай для исследования - когда [pic]- четное.

Пусть функция [pic]- иррациональная, т.е. задается с помощью

иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью

рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством

называется неравенство вида [pic]. Для того, чтобы найти множество решений

иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части

неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры

решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними

существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не

заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение,

эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число

корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного

иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило,

бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений

путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится

принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность

ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом

преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное

исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении

обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство,

эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства

возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное

исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного

неравенства неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда

можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет

находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в

другой его части, то есть неравенству вида [pic] или [pic], где [pic]и

[pic]- рациональные алгебраические выражения относительно переменной [pic].

Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

[pic](1)

или

[pic](2),

называется уединением радикала.

Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. [pic].

II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. [pic].

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого

неравенства является в то же время решением неравенства [pic](при этом

условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства

[pic](поскольку [pic]). Значит, неравенство

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6