Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

[pic], где a и b – неотрицательные числа, а р и q – такие

рациональные числа, что [pic]. Равенство здесь достигается тогда и только

тогда, когда ар = bр. Итак, мы вывели неравенство (2).

Положим

[pic] [pic]

затем

[pic] [pic]

и т. д. (как в доказательстве неравенство Коши) и сложим неравенства,

получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (2). При

этом получим

[pic] (5)

Используя равенство [pic], получаем неравенство, равносильное (1).

Равенство в (5) достигается тогда и только тогда, когда все отношения bi/ai

равны между собой.

Неравенство треугольника.

Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше

длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему

алгебраически.

Рассмотрим треугольник ORP, расположенный так, как показано на рисунке.

Геометрическое неравенство ОР + PR ( OR равносильно алгебраическому

неравенству треугольника

[pic] (1)

Для доказательства возведем обе части неравенства (1) в квадрат, при этом

мы придем к неравенству, равносильному (1):

[pic]

Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно

неравенству:

[pic]

Но это неравенство является простым следствием неравенства Коши

[pic],

что и доказывает неравенство треугольника.

Равенство в неравенстве треугольника, как и в неравенстве Коши достигается

тогда и только тогда, когда х1 = кх2 и у1 = ку2, где к – неотрицательный

коэффициент пропорциональности.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же

пути, что и при выводе неравенства Гёльдера, а именно доказать, что

неравенство

[pic]

имеет место для любых действительных значений xi, yi. Равенство

достигается в том и только том случае, когда числа xi и yi пропорциональны

и коэффициент пропорциональности положителен.

Рассмотрим еще одно доказательство неравенства треугольника, которое

можно использовать также и для получения более общих результатов. Имеет

место тождество

(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2 = х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) + х2(х1 + х2) +

у2(у1 + у2)

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни, применим по

очереди к двум выражениям:

х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) и

х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2).

Мы получим

(х12 + у12)1/2 [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ( х1(х1 + х2) + у1(у1 +

у2) и

(х22 + у22)1/2 [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ( х2(х1 + х2) + у2(у1 +

у2)

Сложим эти два неравенства

[(х12 + у12)1/2 + (х22 + у22)1/2]*[(х1 + х2)2 + (y1 + у2)2]1/2( (х1 + х2)2

+ (у1 + у2)2

разделив обе части на общий множитель

[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ,

будем иметь

(х12 + у12)1/2 + (х22 + у22)1/2 ( [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2

таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника. Равенство

опять будет иметь место тогда и только тогда, когда х1 = кх2 и у1 = ку2,

где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности, другими словами,

тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Q лежат на одной прямой,

причем точки Р и Q расположены по одну сторону от точки О.

Неравенство Минковского.

Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел х1,

у1, х2, у2 при любом р > 1

(х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р ( [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/р

(1)

Неравенство треугольника составляет частный случай неравенства Минковского

для р = 2 и их доказательства подобны.

Запишем тождество

(х1 + х2)р + (у1 + у2)р = [х1(х1 + х2)р-1 + у1(у1 + у2)р-1] (

( [х2(х1 + х2)р-1 + у2(у1 + у2)р-1]

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого

тождества. В результате получим:

(х1р + у1р)1/р= [ (х1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2)(р-1)q]1/q ( х1(х1 + х2)р-1 +

у1(у1 + у2)р-1

и

(х2р + у2р)1/р= [ (х1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2)(р-1)q]1/q ( х2(х1 + х2)р-1 +

у2(у1 + у2)р-1

Так как [pic] , то (p – 1)q = p. Складывая последние два неравенства,

имеем

[(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/q[(х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р] ( (х1 + х2)р

+ (у1 + у2)р

Разделив затем на [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/q

получим

(х2р + у2р)1/р + (х1р + у1р)1/р ( [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1-1/q

Так как [pic], то последнее неравенство полностью совпадает с требуемым

неравенством Минковского (1).

Знак равенства в неравенстве (1) имеет место тогда и только тогда, когда

точки (х1 у1) и (х2 у2) лежат на одной прямой с точкой (0, 0).

Аналогично обобщением неравенства Гёльдера и неравенства треугольника можно

получить и неравенство Минковского для двух систем их n неотрицательных

чисел х1, х2, … , хn и у1, у2, … , уn. Оно имеет вид:

[х1р + х2р +… хnр ]1/р + [у1р + у2р+… + уnр] 1/р (

( [(х1 + у1)р + (х2 + у2)р + … +(хn + уn)р]1/р , где р ( 1

При p < 1 знак неравенства следует изменить на обратный.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В дипломной работе изучен и дан анализ самостоятельной работе учащихся

наряду с другими формами организации познавательной деятельности. На основе

изученной психолого-педагогической литературы дается характеристика этих

форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными

формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях

в выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в

экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по

включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения.

Разработано и проведено 8 занятий по теме «Иррациональные неравенства».

На основе изученной литературы дается анализ иррациональных неравенств и

способов их решения.

Проведение опытно- экспериментальной работы подтверждает выдвинутую

гипотезу. Применение самостоятельной работы учащихся способствует лучшему

усвоению знаний, о чем свидетельствуют результаты контрольной работы,

способствует повышению активности познавательной деятельности учащихся.

Конечно, если бы эксперимент длился дольше, то результаты были бы более

ощутимы.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Андреева И.Н. Индивидуальные творческие работы учащихся в обучении //

Автореферат, МГПИ- М; 1967

2. Аношнин А.П. Оптимизация форм организации учебной деятельности

школьников на уроке. // Автореферат, ЧГУ- Челябинск: 1986

3. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения // Советская педагогика-

М.: Просвещение

4. Верцинская Н.Н. Индивидуальная работа с учащимися- Минск: 1983

5. Дьяченко В.К. Организационные формы обучения и их развитие.

//Советская педагогика- М: Просвещение, 1985, № 9

6. Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее

развитие- М: Педагогика, 1989

7. Зотов Ю.Б. Организация современного урока.- М: Просвещение, 1984

8. Лийметс Х.И. Групповая работа на уроке. – М: Просвещение, 1975

9. Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. –

Казань: Издательство Казанского университета, 1972

10. Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной

работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности

учебного процесса. //Автореферат, М: 1972

11. Семенов Н.А. О способах организации обучения. //Советская

педагогика, 1966, № 11

12. Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. //М:

Просвещение, 1968

13. Уфимцева М.А. Формы организации обучения в современной

общеобразовательной школе. //М: Просвещение, 1986

14. Хабиб О.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся.

–М: Педагогика, 1979

15. Чередов И.М. Методика планирования школьных форм организации

обучения. –Омск: Педагогика, 1983

16. Чередов И.М. Пути реализации принципа оптимального сочетания форм

организации учебной деятельности в 5-9 классах. //Автореферат, КГУ,

Красноярск, 1970

17. Чередов И.М. Система форм организации в советской

общеобразовательной школе. –М: Педагогика, 1987

18. Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе. – М: Просвещение,

1988

19. Ю.В. Нестеренко и др. Задачи вступительных экзаменов по математике

//М: Наука, 1980

20. Белоносов В.С. Задачи вступительных экзаменов по математике в НГУ

//Новосибирск, НГУ, 1992

21. Литвиненко В.Н., Морднович А.Г. Практикум по элементарной

математике. //М: Просвещение, 1991

22. Литвиненко В.Н. Морднович А.Г. Практикум по решению математических

задач. //М: Просвещение, 1984

23. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. //М:

Просвещение, 1979

24. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства //Минск: Народная Асвета, 1972

25. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа //М:

Просвещение, 1990

26. Коровкин П.П. Неравенства //М: Наука, 1974

27. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства //М: Наука, 1976

28. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства //М: Мир, 1965

29. Невежский Г.Л. Неравенства //М: Учпедгиз, 1947

30. Алгебра, 8 класс //М: Просвещение, 1980

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Введение

Изучая школьную программу, я выяснила, что иррациональные неравенства

не рассматриваются в курсе средней школы. В 11классе изучаются лишь

иррациональные уравнения. Они входят в раздел «Показательные функции», и

учитель может уделить им внимание в течение 2-3 уроков. Однако для тех

учащихся, которые хотят иметь хорошую подготовку для поступления в ВУЗы

этого явно недостаточно. Просматривая программы, предлагавшиеся на

вступительных экзаменах в НГУ и МГУ находим, что кроме иррациональных

уравнений в них предлагается решить и иррациональные неравенства. Например,

НГУ:

75 год механико-математический факультет

В-I решить неравенство

[pic]

В-II решить неравенство [pic]

81 год геолого – геодезический факультет

В-I решить неравенство [pic]

В-IV решить неравенство [pic]

81 год физический факультет

В – I решить неравенство [pic]

В – II решить неравенство [pic]

МГУ:

78 год механико – математический факультет

В-I решить неравенство [pic]

79 год физический факультет

В-I решить неравенство [pic]

78 год химический факультет

В-I решить неравенство [pic]

Цели проведения и написания этого факультатива: подготовить учащихся к

поступлению в ВУЗы, расширить и систематизировать полученные ранее сведения

и решении иррациональных уравнений, научить учащихся решать иррациональные

неравенства, а также отработать технические навыки тождественных

преобразований иррациональных уравнений. Данный материал требует

достаточной логической грамотности учащихся, так как для того, чтобы найти

множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило,

возводить обе части неравенства в натуральную степень. Необходимо довести

до понимания учащихся, что несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения

иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними

существует большое отличие. При решении неравенства невозможно проверкой

установить «лишние» решения, которые могут появиться при возведении в

четную степень. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа,

заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом

преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное

исходному. Цель дипломной работы – оказать конкретную помощь учителю в

подготовке учеников к поступлению в ВУЗы, в более углубленном изучении

материала. Самым распространенным методом обучения решению иррациональных

неравенств является выявление типичных способов решения иррациональных

неравенств. Наша задача – дать основные рекомендации для поиска решения

неравенств и приобрести некоторый опыт при решении.

Занятие№1

Тема: Понятие иррационального неравенства, его особенности.

Цель: дать понятие об иррациональных неравенствах, научить находить ОДЗ

иррациональных неравенств.

I. Вспомнить (вопросы классу):

1) что называется корнем n – ной степени из числа а?

2) Что называется арифметическим корнем n – ной степени из числа а (а

( 0)?

3) Какие свойства арифметического корня n – ной степени вы знаете?

II. Самостоятельная работа на 2 варианта

В – I В – II

1) Докажите, что истинно равенство

[pic] [pic]

2) Найдите значений корня

[pic] [pic]

3) Найдите значение выражения

[pic] [pic]

4) Решите уравнения

х3 = 4 х4 = 10

х4 = -10 х3 = -4

х6 = 7 х5 = 6

5) Решите уравнение и неравенства

[pic] [pic]

6) Найти значения выражения

[pic] [pic]

III. Учитель объясняет новый материал, опираясь не знания учащихся.

IV. Найти ОДЗ неравенств (учащиеся решают самостоятельно, затем устно

проверяем ответы)

[pic]

V. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает тему «Простейшие иррациональные

неравенства, содержащие радикал четной степени» и пишет доклады по этой

теме по плану:

1) Уединение радикала

2) Решение неравенств вида [pic]

3) Решение неравенств вида [pic]

4) Примеры

2 группа повторяет пройденный материал.

Занятие №2

Тема: Простейшие иррациональные неравенства, содержащие переменную под

знаком радикала четной степени.

Цель: Отработать навыки решения иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком радикала четной степени.

I. Чтение доклада одним из учащихся 1 группы, дополнения остальных учащихся

1 группы, разбор у доски 3 – 4 примеров, которые ребята нашли и решили

дома.

II. Следующие неравенства ребята решают самостоятельно, затем в парах

проверяют решения друг у друга.

1)

[pic]

Ответ: х ( [pic]

2)

[pic]

Ответ: х ( -1 и х ( 1

3)

[pic]

Ответ: х ( [pic]

4)

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

III. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает простейшие иррациональные неравенства,

содержащие переменную под знаком радикала нечетной степени и пишет доклад

по плану:

1) возведение неравенств в нечетную степень;

2) примеры с решениями.

2 группа учит решение иррациональных неравенств, разобранных в классе,

решает неравенства:

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Занятие №3

Тема: Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

радикала нечетной степени.

Цель: Закрепление изученного, научить учащихся решать простейшие

иррациональные неравенства, содержащие переменную под знаком радикала

нечетной степени.

I. Повторение

1) Расскажите правила решения неравенств вида

а)

б)

в)

г)

2) Решить неравенства (кто-то из учащихся 2 группы решает у доски,

остальные – в тетрадях)

а) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

б) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

II. Разбор нового материала (ребята из 1 группы рассказывают, объясняют

свои примеры).

III. Самостоятельно решить неравенства

1)

[pic]

x(x-3)(x+2)>0

-2 0 3

Ответ: [pic]

2)

[pic]

[pic]

[pic] 0 [pic]

Ответ: [pic]

Ответы проверить в парах.

IV. Подведение итогов занятия: видим, что при возведение неравенств в

нечетную степень эквивалентность не нарушается и под знаком радикала

выражение может принимать любые значения. А в четную степень имеем право

возводить только те неравенства, у которых обе части неотрицательны; под

знаком радикала четной степени может стоять только неотрицательная функция.

V. Д/з

1 группа изучает тему «Решение иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком двух и более радикалов четной степени», подбирает и

решает неравенства по теме. Цель этой самостоятельной работы: научиться

самим и научить затем ребят из второй группы решать такие неравенства.

2 группа повторяет изученное.

Занятие №4.

Тема: Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

двух и более радикалов четной степени.

Цель: отработка навыков решения иррациональных неравенств, содержащих

переменную под знаком двух и более радикалов четной степени.

I. Учащиеся из 1 группы у доски рассказывают новый материал, объясняют

неравенства, которые они решили дома, с помощью учителя разбираются

непонятные места.

II. Делаем вывод: при возведении таких неравенств в четную степень

эквивалентность не нарушается только тогда, когда обе части неравенства

неотрицательны. Некоторые неравенства следует сначала привести к такому

виду, когда ясно видно, что обе части его неотрицательны.

Решим пример (кто-то из ребят 2 группы решает у доски).

[pic]

Ответ: [pic]

III. Решить неравенства

1)[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

2)

[pic]

На ОДЗ [pic]

Значит неравенство истинно.

Ответ: [pic]

3)

[pic] Ответ: [pic]

4) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

5)

[pic][pic]

Ответ: [pic]

6)

[pic]

Ответ: [pic]

7) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

IV. Д/з

1 группа пишет доклады по теме: «Решение иррациональных неравенств,

содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной

степени». Особое внимание обратить на решение неравенств вида:

[pic] и неравенств, содержащих радикалы третьей и второй степени.

2 группа: повторение, решить неравенства а)[pic];

б)[pic]

Занятие №5

Тема: решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком

двух и более радикалов нечетной степени.

Цель: познакомить учащихся с неравенствами, содержащими переменную под

знаком двух и более радикалов нечетной степени и показать способы их

решения.

I. Проверка Д/з 2 группы (устно)

II. Учащиеся 1 группы читают доклады, объясняют у доски решенные

неравенства. Все остальные ребята с учителем разбирают решения.

III. Решить неравенства (решения проверить друг у друга в парах).

1)

[pic]

Ответ: [pic]

2) [pic]

[pic]

-1 3

Ответ: [pic]

3) [pic]

найдем решение соответствующего уравнения:

[pic]

возводим в куб

[pic]

делаем замену

[pic]

[pic]

Проверка:

1. [pic]

-2=1 – ложно, корень х = 0 – посторонний

2.

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

4) [pic]

решим соответствующее уравнение:

[pic]

возводим в куб

[pic]

делаем подстановку

[pic]

Проверка:

1. [pic]

2.

[pic]

1. 3

Ответ: [pic]

5) [pic]

возводим в куб

[pic]

При [pic]

Значит последнее неравенство на ОДЗ всегда истинно.

Ответ: [pic]

6)

[pic]

Ответ: [pic]

IV. Д/з

1 группа на примерах рассматривает решение иррациональных неравенств с

параметрами.

2 группа учит рассмотренный в классе материал, решает неравенства

а)[pic]

б)[pic]

Занятие №6

Тема: Решение иррациональных неравенств с параметрами.

Цель: научить учащихся решать иррациональные неравенства с параметрами.

I. Вопросы классу

1) Что называют параметрами?

2) Когда неравенство, содержащее параметры считается решенным?

II. Учащиеся из 1 группы рассказывают о решении неравенств, которые они

решали дома. Учитель помогает сделать выводы.

III. Решить неравенства

1)

[pic]

[pic]

все значения [pic] принадлежат ОДЗ, так как [pic] значит

[pic]

Ответ: 1)[pic]

2) [pic]

2) [pic]

ОДЗ неравенства [pic]

а) при а < 0

на ОДЗ [pic] всегда и неравенство истинно

б) при [pic]

[pic]

[pic]

последнее неравенство имеет смысл при [pic], значит при [pic] нет решений

при [pic]

возводим в квадрат обе части неравенства

1 – 2а2 + a4 > 4a2(x – 1)

a4 + 2a2 + 1 > 4a2x

(a2 + 1)2 > 4a2x

[pic]

Ответ: 1) при [pic]

2) при [pic] нет решений

3) при [pic]

3)

[pic]

ОДЗ неравенства [pic]

а) при а = 0 нет решения

б) при а > 0 ОДЗ [pic]

[pic]

х = 0 и х = а не удовлетворяют неравенству х(х – а) < 0 на ОДЗ, а

[pic] всегда и неравенство истинно всегда

в) при а < 0 ОДЗ х ( [a;0] неравенство истинно

Ответ: а) если а > 0 0 < x < a

б) если а = 0 нет решения

в) если а < 0 [pic]

4) [pic]

при а ( 0 неравенство не имеет смысла, так как получаем [pic]

при а > 0

[pic]

Сравним а2 и [pic]:

[pic]

[pic]

Ответ: если a > 2, то [pic]

если a ( 2, (

5) [pic]

ОДЗ неравенства:

[pic]

а) при а = 0 ОДЗ х ( 0

при х = 0 решения нет

при х < 0 [pic] - истинно

б) при а < 0

2а [pic] а

ОДЗ х ( 2а

[pic]

последнее неравенство истинно на ОДЗ, кроме х = 2а

в) при а > 0

ОДЗ х ( а

(а – х)(2а – х) > 0

истинно на ОДЗ, кроме х = а

Ответ: а) при а = 0 х < 0

б) при a < 0 x < 2a

в) при а > 0 x < a

IV. Д/з

1 группа подбирает и решает неравенства по теме «Решение иррациональных

неравенств» способом введения новой переменной».

2 группа решает неравенства

а) [pic]

б) [pic]

Занятие №7

Тема: Решение иррациональных неравенств, способом введения новой

переменной.

Цель: познакомить учащихся с методом решения иррациональных неравенств –

введением новой переменной.

I. Разбор неравенств, приготовленных учащимися 1 группы.

II. Решить неравенства

1)

[pic]

тогда х2 + 5х + 4 = у2 – 24

у2 – 5у – 24 < 0

у2 – 5у – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

у1 = -3 у2 = 8

(у – 8)(у + 3) < 0

-3 < y < 8

[pic]

[pic]- истинно для любого х из ОДЗ: х2 + 5х + 28 ( 0 – истинно всегда (D

< 0, a > 0)

[pic]

Ответ: х (]–9; 4[

2)

[pic]

[pic] - истинно для любого х из ОДЗ х2 – 3х + 5 ( 0 – истинно всегда

D 0

[pic]

Ответ: х ( [-1; 4]

3) [pic]

ОДЗ: 5 – х ( 0 или х ( 5

пусть [pic], тогда у > x – 3, у ( 0

выразим х через у: у2 = 5 – х ( х = 5 – у2

получаем систему:

[pic]

Значения х < 4 принадлежат ОДЗ

Ответ: х < 4

4) [pic]

ОДЗ: 2х + 10 ( 0, х ( -5 3x – 5 ( 0, x ( [pic]

пусть [pic], тогда у < 3x – 5, y ( 0

выразим х через у : у2 = 2х + 10 ( х = Ѕу2 – 5

получаем систему:

[pic] x > 3

Значения х > 3 принадлежат ОДЗ

Ответ: х > 3

5)[pic]

Найдем ОДЗ неравенства:

[pic]

х ( 2

при х ( 2 второе и третье неравенства системы истинны

ОДЗ: х ( 2

пусть [pic]

[pic]

|t + 1| - |t – 1| > 1

a) t ( -1

-t – 1 + t – 1 > 1

-2 > 1 – ложно (

б) –1 < t ( 1

t + 1 + t –1 >1 [pic]

учитывая, что –1 < t ( 1, получаем [pic]

в) t > 1

t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно

решением неравенства на всех трех промежутках будет [pic]

[pic]

x > 2,25 – принадлежит ОДЗ

Ответ: x > 2,25

6) [pic]

ОДЗ неравенства:

[pic]

пусть [pic], тогда

[pic]

|t +-3| + |t – 2| > 1

a) t ( 2

- t + 3 – t + 2 > 1 t 1 1 > 1 – ложно (

в) t > 3

t – 3 + t – 2 > 1 t >3

получаем:

[pic]

учитывая ОДЗ получаем: 2 ( x < 6, x > 11

Ответ: 2 ( x < 6, x > 11

III. Д/з

1 группа разбирает способы решения иррациональных неравенств домножением

обеих частей на некоторое число или выражение, разложением подкоренного

выражения на множители, выделением полного квадрата в подкоренных

выражениях.

2 группа решает неравенства:

а) [pic]

б) [pic]

Занятие № 8

Тема: Решение иррациональных неравенств, способами домножения обеих частей

на некоторое число, либо выражение, выделения полного квадрата в

подкоренных выражениях, либо разложения подкоренного выражения на

множители.

Цель: дать учащимся представление о способах решения иррациональных

неравенств.

I. Разбор Д/з 2 группы (устно)

II. Разбор задач, приготовленных 1 группой.

III. решить неравенства

1) [pic]

ОДЗ: х ( 1

домножим на [pic]

[pic]

последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ

Ответ: х ( 1

2) [pic]

ОДЗ: х < 2

домножим на [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

3)

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: х([0;3]

4) [pic]

ОДЗ: х ( 1, х ( 5, х = 2

[pic]

учитывая ОДЗ получаем

Ответ: [pic]

Итоговая контрольная работа

Вариант I.

Решить неравенства

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

4) [pic]

5) [pic]

Вариант II.

Решить неравенства

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

4) [pic]

5) [pic]

Филиппова Ольга Владимировна.

Дипломная работа «Организация познавательной деятельности учащихся на

факультативных занятиях по теме «Иррациональные неравенства»

Руководитель: Кузьмичев Анатолий Иванович.

З А Щ И Т А (устно)

Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка

литературы и приложения с разработкой факультатива по теме.

В дипломной работе мне хотелось собрать и проанализировать знания,

полученные за пять лет обучения, и применить их к конкретной задаче. А

именно, я попыталась на примере изучения очень трудной и, прямо сказать,

непопулярной среди школьников темы «Иррациональные неравенства» подтвердить

положение о том, что интерес, а с ним и знания, умения, навыки приходят

вместе с упорным трудом, причем, этот труд должен носить в большой мере

самостоятельный характер и в части подготовки к занятиям, и даже части

проведения и поиска нужных форм их организации.

Важным подспорьем в развитии познавательного интереса учащихся

являются, как оказалось, исторические сведения по теме. Их поиск

значительно активизировал работу с литературой, в которой помимо всего

учащиеся искали еще и сведения по методике проведения занятий, изучения

темы, задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в различные ВУЗы.

При проведении факультативных занятий ученики были разбиты на 2

группы: экспериментальную и контрольную, примерно равные по силам. У всех

учащихся была одна цель – подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗ.

Это определило их первоначальный интерес. Разбиение на 2 группы проводилось

по желанию самих ребят. Они посещали одни и те же занятия, изучали на

уроках один и тот же материал. Но ребята 1-ой экспериментальной группы

имели гораздо больше возможностей и причин для самостоятельной работы по

теме: они в качестве домашнего задания должны были самостоятельно изучить

новую тему, начиная с поиска материала (под руководством учителя), далее

написать доклады, найти и прорешать задачи, а затем рассказать все это

остальным участникам факультатива.

Учитель предлагал темы, литературу, определял докладчиков,

акцентировал в нужных местах внимание и на уроках давал задачи по теме,

которые, по его мнению, нужно было прорешать, а докладчики таковых не

предложили.

Заключительная работа по теме показала, что учащиеся из 1-ой группы

получили результаты, пусть и ненамного, но лучше учащихся контрольной

группы.

Но, кроме того, они получили бесценный опыт самостоятельной работы,

который, как мне кажется, еще даст свои положительные результаты в будущем.

По материалам проведенного факультатива и был написан диплом.

В первой главе разбираются основные формы организации познавательной

деятельности, проводится их сравнительный анализ и выясняются оптимальные

сочетания и взаимодействия этих форм (в зависимости от специфики материала

и от того, как он усвоен учащимися, выбирались сочетания фронтальной,

групповой и индивидуальной форм).

Во второй главе рассматриваются вопросы методики организации

факультативных занятий, необходимость и обоснованность их проведения. Далее

излагаются результаты опытно-экспериментальной работы.

Глава три – основная часть работы. В ней содержится необходимый

теоретический и практический материал для факультатива. К сожалению, сюда

не вошли все задачи, которые предлагали учащиеся, найденные ими к занятиям,

из-за их однотипности с опубликованными.

Учащимися, с помощью учителя, были выделены 9 частных случаев и

способов решения иррациональных неравенств и к каждому из них учащиеся

придумывали неравенства для последующего решения их всем классом.

Учителем была поставлена задача выяснить, какие трудности характерны

для каждого из способов решения.

Большое внимание уделялось оформлению решения задачи, в частности,

записи ответа, за что в ВУЗах на приемных экзаменах часто снижают бал.

Эта часть диплома может служить основой для проведения

соответствующего факультатива для любого учителя. Данная глава

заканчивается подборкой задач по теме и доказательством классических

неравенств.

В приложении приводится разработка факультатива из 8 занятий по теме

«Иррациональные неравенства» и итоговая контрольная работа.

-----------------------

- 0 + 2а -

- -а + а -

- а + -а -

- 2а + 0 -

+ - +

-9 9

+ - +

0 [pic]

у

R

c

O

T

c

d

Q

S

P

х

P

0

y

Q(c, d)

(

P(a, b)

x

0

Q(x2 , y2)

R(x1 + x2, y1 + y2)

Р (х, у)

у

х

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

+ - + -

- + - +

+ - +

- +

+ - -

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6