Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства

[pic](3)

равносильно системе неравенств:

[pic][pic]

где [pic]и [pic]следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой

первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства

системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их

возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное

преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3)

равносильно системе неравенств:

[pic]

Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).

Теорема 1. Неравенство вида [pic]равносильно системе неравенств:

[pic]

Аналогично для неравенств вида [pic].

Теорема 2. Неравенство вида [pic]равносильно системе неравенств

[pic]

Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

[pic](4)

Оно равносильно системе

[pic](5)

Но в отличие от неравенства (3) [pic]может здесь принимать как

положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему

(5) в каждом из двух случаев [pic]и [pic], получим совокупность систем:

[pic][pic]

[pic][pic]

В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как

следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего

неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).

Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

[pic]

[pic]

Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно

является следствием последнего неравенства системы.

Теорема 3. Неравенство вида [pic]равносильно совокупности двух систем

неравенств

[pic]

[pic]

Аналогично.

Теорема 4. Неравенство вида [pic]равносильно совокупности двух систем

неравенств

[pic]

[pic]

Неравенства вида [pic], [pic], [pic], [pic]являются частными случаями

рассмотренных выше неравенств, когда [pic].

Пример 1. Решим неравенство

[pic]

Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1

оно равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]

Так как квадратный трехчлен [pic]имеет отрицательный дискриминант и

положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях

[pic]. Поэтому решения последней системы таковы: [pic].

Ответ: [pic]

Пример 2. Решить неравенство

[pic]

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем

неравенств

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:

Второй:

Получаем совокупность [pic]

Ответ: [pic]и [pic].

Пример 3. Решить неравенство

[pic]

Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

[pic] [pic] [pic]

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если [pic]и [pic].

Итак, решением неравенства является [pic]исключая [pic].

Ответ: [pic].

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени,

т.е. [pic]. Решение также проводится также путем последовательного

возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и

преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении

неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место

следующие эквивалентные преобразования:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

При [pic]при возведении в степень [pic]знак не изменится, т.к. [pic],

[pic]. Значит [pic]при [pic].

[pic]может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может

стоять как отрицательная, так и положительная функция.

Пример 4. Решить неравенство

[pic]

Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

[pic]

или

[pic]

[pic]

[pic]

Решим полученное неравенство методом интервалов

Ответ: [pic].

5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух

и более радикалов четной степени

Пусть дано иррациональное неравенство

[pic](1)

В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при

возведении в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные

выражения будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные

преобразования:

[pic] [pic] (2)

[pic] [pic](3)

Пример 1. Решить неравенство

[pic]

Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств

[pic]

и далее

[pic]

откуда получаем решение неравенства [pic].

Ответ: [pic].

Пример 2. Решить неравенство

[pic]

Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на

положительное выражение [pic](т.к. мы рассматриваем всегда [pic]).

Проведем затем эквивалентные преобразования:

[pic]

или

[pic]

заменяем неравенство равносильной системой неравенств:

[pic]

откуда получаем

[pic]

решением последнего неравенства системы является объединение [pic]и [pic],

а решением всей системы, а в силу равносильности проведенных преобразований

и исходного неравенства, будет луч [pic].

Ответ: [pic].

Пример 3. Решить неравенство

[pic]

Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая и правая его части были

неотрицательными

[pic] [pic] всегда

[pic]

и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалентные преобразования:

[pic]

откуда получаем

[pic]

последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида

[pic] и решая его возведением в квадрат, получаем [pic].

[pic]

Ответ: [pic].

Пример 4. Решим неравенство

[pic]

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств. где

первые четыре неравенства являются ОДЗ

[pic]

или

[pic][pic]

Так как [pic], то [pic], а потому [pic]. Далее [pic], поэтому [pic].

Значит, [pic], и тем более [pic].

Но [pic], следовательно. второе неравенство нашей системы выполняется при

любых допустимых значения [pic]из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система,

а вместе с ней и исходное неравенство имеют решение [pic].

Ответ: [pic].

Пример 5. Решить неравенство

[pic]

Решение. Правая часть данного неравенства неотрицательная, поэтому левая

его часть должна быть положительной. В противном случае неравенство не

имеет смысла. Учитывая это, проведем следующие эквивалентные

преобразования:

[pic]

второе неравенство имеет смысл при любом [pic]из ОДЗ, т.е. при [pic]. если

упростить третье неравенство системы, то получим

[pic]

или

[pic]

Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при [pic],

значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его,

получаем

[pic]

Ответ: [pic].

6. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух

и более радикалов нечетной степени

Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух

радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем

последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую

степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При

возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается.

Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

[pic] [pic]

Пример 1. Решить неравенство

[pic]

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic].

Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

[pic]

После возведения его в куб получим неравенство

[pic].

Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит

к освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно

использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

Пусть требуется решить неравенство вида:

[pic](1)

или

[pic](2)

Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть

неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение,

которое назовем соответствующим

[pic](3)

Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает

с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни

уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область

определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства

(1) или (2) состоит из двух числовых промежутков [pic]и [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]- корни уравнения (3).

Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на

промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень

нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный.

В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут

промежутки [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].

Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак

функции [pic]. Для определения знака функции достаточно взять любое число

из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной

[pic]и установить знак полученного числового выражения. Те числовые

промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства

(1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков,

обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки

образуют множество решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

[pic]

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

[pic]

возведем уравнение в куб:

[pic]

Так как по условию выражение [pic]должно равняться [pic], то, сделав

соответствующую замену, получим:

[pic]

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: [pic] и

[pic].

Проверка 1.

[pic]

[pic]

[pic]- ложно, корень [pic]- посторонний.

Проверка 2.

[pic]

[pic]

[pic] - истинно, [pic] - корень уравнения.

Областью определения неравенства является множество действительных

чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два

числовых промежутка:

[pic] и [pic].

Взяв любое число (например, [pic]) из первого промежутка и подставив в

неравенство, получим [pic]. Значит, числовой промежуток не входит в

решение неравенства. Значение [pic], взятое из числового промежутка [pic],

обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство [pic]. Значит,

числовой промежуток [pic] является решением неравенства.

Ответ: [pic].

Пример 3. Решить неравенство

[pic]

Решение. Решим соответствующее уравнение

[pic]

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

[pic]

сделаем подстановку [pic] получим уравнение

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]и [pic]

Отмечаем корни на числовой оси

Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому

рассматриваем три числовых промежутка: [pic], [pic], [pic]. Пусть [pic],

тогда [pic]- ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток

[pic]не входит в решение. Пусть [pic], тогда [pic]- истинное числовое

неравенство и числовой промежуток [pic]входит в решение. Аналогично,

числовой промежуток [pic]тоже входит в решение.

Ответ: [pic], [pic].

Пример 4. Решить неравенство

[pic]

Решение. Возведем в куб части неравенства:

[pic]

откуда

[pic]

ОДЗ неравенства [pic]или [pic].

При значения [pic] [pic]всегда, а [pic]. Значит последнее неравенство

истинно при [pic].

Ответ: [pic].

Пример 5. Решить неравенство

[pic]

Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся

[pic]в правую часть:

[pic]

[pic]

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

[pic]

или

[pic]

Решением последней системы является [pic].

Ответ: [pic].

7. Решение иррациональных неравенств с параметрами

Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в

пределах рассматриваемой задачи .

Значения параметров [pic], для которых функции [pic]и

[pic]определены, называются множеством допустимых значений параметров.

Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным,

когда указано множество всех его решений при произвольной допустимой

системе значений параметров. Решение параметрических иррациональных

неравенств рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые

значения параметров и найти соответствующие искомые значения переменной,

целесообразно данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью

неравенств, как это будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

[pic](1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1) [pic]. Неравенство (1) заменим

эквивалентной совокупностью неравенств

[pic]

Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом [pic]из ОДЗ,

т.к. [pic], [pic]. Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую

положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

[pic]

[pic]

Все значения [pic]будут принадлежать ОДЗ, так как [pic], значит [pic].

Ответ: 1. [pic][pic]; 2. [pic][pic].

Пример 2. Решить неравенство

[pic]

Решение. Легко видеть, что при [pic]данное неравенство не имеет решений,

т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не

имеет смысла. Рассмотрим неравенство при [pic]. ОДЗ неравенства

[pic]

Неравенство имеет смысл лишь при [pic]. Получаем систему неравенств,

эквивалентную исходному неравенству:

[pic] [pic]

[pic]

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при

[pic]. Возведем в квадрат обе части неравенства [pic]

[pic]при [pic]

[pic]

Сравним [pic]и [pic], чтобы определить верхнюю границу значений [pic].

[pic]

при [pic]значит [pic]([pic].

[pic]

Ответ: если [pic], то [pic]

если [pic]. то [pic].

Пример 3. Решить неравенство

[pic]

Решение. Данное неравенство перепишем так

[pic](1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим

значение параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства

положительные, поэтому при возведением неравенства в квадрат получим

неравенства, эквивалентное данному в области его определения. При a < 0

данное неравенство тождественно истинное в области его определения (левая

часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно

заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

[pic]

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

[pic]

При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а

при всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное,

поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

[pic]

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a ( x ( 0

Пример 4. Решить неравенство:

[pic]

Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части

неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области

определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x ( а, второй при x

( b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в

правой части неравенства.

Итак,

[pic]

равносильно системе

[pic]

но

[pic],

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

[pic]

или

[pic]

А система равносильна системе

[pic]

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше

нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем:

[pic]

после выполнения преобразований получаем:

[pic]

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1) a ( b,

2) b ( a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a ( b x < b

2) a ( b x < а

8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать

способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода

на примерах.

Пример 1. Решить неравенство:

[pic]

Решение. Положив [pic], находим что х2 + 5х + 4 = у2 – 24, тогда

неравенство (1) преобразуется к виду:

у2 – 5y – 24 < 0

и далее решим уравнение:

у2 – 5y – 24 = 0

D = 25 + 96 = 121

y1 = -3, y2 = 8

получаем (у – 8)(у + 3) < 0.

Решением этого неравенства является промежуток -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:

[pic]

Так как [pic] при всех допустимых значениях х, то тем более [pic]

при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:

[pic]

Это неравенство равносильно системе

[pic]

Так как неравенство х2 + 5х + 38 ( 0 выполняется при любых значениях

х (D = 25 – 4 ( 28 ( 0 и а = 1 ( 0), то последняя система равносильна

неравенству:

х2 + 5х + 38 ( 0

или

(х + 9)(х – 4) ( 0

откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)

Ответ: х ( ]-9; 4[

Неравенство (1) – неравенство вида

[pic] .

Здесь применима подстановка [pic] и неравенство заменяется

равносильным ему неравенством:

у2 – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.

Рассмотрим неравенство вида:

[pic] , где можно применить подстановку [pic].

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6