Рациональные уравнения и неравенства

Рациональные уравнения и неравенства

Каршиев Егор Аликович стр. 1 20.06.98Ё

Содержание

I. Рациональные уравнения.

1) Линейные уравнения.

2) Системы линейных уравнений.

3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

4) Возвратные уравнения.

5) Формула Виета для многочленов высших степеней.

6) Системы уравнений второй степени.

7) Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем

уравнений.

8) Однородные уравнения.

9) Решение симметрических систем уравнений.

10) Уравнения и системы уравнений с параметрами.

11) Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

12) Уравнения, содержащие знак модуля.

13) Основные методы решения рациональных уравнений

II. Рациональные неравенства.

1) Свойства равносильных неравенств.

2) Алгебраические неравенства.

3) Метод интервалов.

4) Дробно-рациональные неравенства.

5) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

6) Неравенства с параметрами.

7) Системы рациональных неравенств.

8) Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,

где n — натуральное, a0, a1,…, an — некоторые действительные числа,

называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция,

называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,

где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые

рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x)

— многочлены (Q (x) ( 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и

проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) ( 0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные,

называется линейным уравнением.

Если a(0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b

/a.

Если a=0; b(0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b,

легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти

координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены

и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: (.

Пример 1.3. Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

-4x + 4x = 9 – 9,

0x = 0.

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,

где a1, b1, … ,an, b —некоторые постоянные, называется линейным

уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в

систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны

следующие три случая:

1) система не имеет решений;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки,

который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно

неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого

неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это

выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого

уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Решить систему уравнений

x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не

могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из

второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

x + y = 5,

2x + 2y = 10.

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе

уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть

всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

- x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться

методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному

виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный

результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение

можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим,

получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1

и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид

0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Ответ: 3.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа

(a(0); x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого

его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) – (b / 2a)2 +

(c / a) =

= (x + (b / 2a))2 – (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 –

4ac) / (4a2)).

Для краткости обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда полученное

тождество примет вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2)).

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D

квадратный корень и записать D в виде D = ((D)2. Тогда

D / (4a2) = ((D)2 / (2a)2 = ((D / 2a)2, потому тождество принимает

вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((D / 2a)2.

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – ((D / 2a))(x + (b / 2a) +

((D / 2a)) =

= (x – (( -b + (D) / 2a)) (x – (( – b – (D) / 2a)).

Теорема: Если выполняется тождество

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при X1 ( X2 имеет два корня

X1 и X2, а при X1 = X2 — лишь один корень X1.

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что

уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X1=(-b + ( D) / 2a; X2= (-b - ( D) / 2a.

Таким образом x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b2 – 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))

принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет

один корень кратности 2: X1 = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а

другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax2 + bx +

c = 0.

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить

дискриминант

D = b2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X1=(-b + (D) / (2a); X2= (-b - (D) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное

уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ( 0; c / a 0;

X1 = (- 5 + (33) / 4; X2 = (- 5 -(33) / 4.

Ответ: X1 = (- 5 + (33) / 4; X2 = (- 5 -(33) / 4.

Пример 3.10. Решить уравнение x3 – 5x2 + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x2 – 5x +

6) = 0,

отсюда x = 0 или x2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2 , X2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x3 – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x3 – x – 2x

+ 2 = 0, а теперь группируем

x(x2 – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x1 = 1,

x2 + x – 2 = 0, x2 = – 2, x3 = 1.

Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = – 2.

Пример 3.12. Решить уравнение

7(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 ( 0; x – 6 ( 0; 2x – 7 ( 0 или x ( – 2; x ( 6; x ( 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x2 – 4x

– 12), раскрываем скобки.

7x3 – 49x2 + 84x – 14x2 + 98x – 168 + 4x3 – 16x2 – 48x – 14x2 + 56x +

168 = 0,

11x3 – 93x2 + 190x = 0,

x(11x2 – 93x + 190) = 0,

x1 = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

93(((8649 – 8360) 93 ( 17

x2,3 = = ,

22 22

т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x6 – 5x3 + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x3, тогда исходное уравнение принимает вид

y2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 3(4

Ответ: 1; 3(4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x3 – 27) / (x – 3) = 27

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности

кубов):

(x – 3)(x2 + 3x + 9) / (x – 3) = 27 . Отсюда:

x2 + 3 x + 9 = 27,

x – 3 ( 0;

x2 + 3 x – 18 = 0,

x ( 3.

Квадратное уравнение x2 + 3 x – 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6

(X1 не входит в область допустимых значений).

Ответ: -6

Пример 3.15. Решить уравнение

(x2 + x –5) / x + (3x) / (x2 + x – 5) = 4.

Решение. Обозначим y= (x2 + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y +

3 / y = 4.

Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y2 – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y2 – 4y + 3 = 0,

y ( 0

Квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба

корня входят в область допустимых значений).

Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно)

совокупности уравнений

(x2 + x – 5) / x = 1 или (x2 + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x2 + x – 5) / x – 1 = 0 или (x2 + x – 5) / x – 3 = 0;

x2 – 5 = 0,

x ( 0

или

x2 – 2x – 5 = 0,

x ( 0;

X1 = (5; X2 = – (5 или X3 = 1 + (6; X4 = 1 – (6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: (5; – (5; 1 + (6; 1 – (6 .

Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.

Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y2 + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения: Y1 = 6; Y2 = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x2 + 5x = 6 или x2 + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X1 = 1; X2 = – 6. Второе уравнение корней

не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

Пример 3.17. Решить уравнение 4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.

Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) =

47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),

отсюда x2 + 1 / (x2) = y2 – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y2 – 2) + 12y = 47, или 4y2 + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x2 – 5x + 2 = 0,

x ( 0

или

2x2 + 11x + 2 = 0,

x ( 0;

X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = ( - 11 + (105) / 4; X4 = ( -11 -

(105) / 4

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + (105) / 4; (-11 - (105) / 4.

Пример 3.18. Решить уравнение x3 – x2 – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. «Кандидатами»

в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа

(1, (2, (3, (6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является

его корнем.

Разделим многочлен x3 – x2 – 9x – 6 на двучлен x + 2

x3 – x2 – 9x – 6 = (x + 2)(x2 – 3x – 3) = 0.

Решив теперь уравнение x2 – 3x – 3 = 0,

получаем X2 = (3 - (21) / 2, X3 = (3 + (21) / 2.

Ответ: x( {-2; (3 - (21) / 2; (3 + (21) / 2}.

Пример 3.19.

x3 – x2 – 8x + 6 = 0.

Решение. Здесь an = 1, a0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет

рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: (1, (2,

(3, (6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x3 – x2 – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x3 – x2 – 8x + 6 = (x – 3)(x2 + 2x – 2), т.е. данное

уравнение можно представить в виде (x – 3)(x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда

находим, что x1 = 3 — решение, найденное подбором, x2,3 = – 1 ( (3 — из

уравнения x2 + 2x – 2 = 0.

Ответ: x1 = 3; x2,3 = – 1 ( (3.

Пример 3.20.

4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1 = 0.

Решение. Здесь an = 4, a0 = –1. Поэтому рациональные корни уравнения

следует искать среди чисел: ( 1; ( 0,5; ( 0,25 (делители 4 есть (1; (2;

(4, делители (– 1) есть ( 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 (

0; если x = – 0,5, то

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень

уравнения. Делим (4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1) на (x +

0,5):

Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x3 + 6x2 – 2x –

2) = 0.

Отсюда x1 = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x3 + 6x2 – 2x – 2

= 0, т.е. 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0. Аналогично находим

корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда x2 = – 0,5 и x3,4 = (– 1 (

(5) / 2.

Ответ: x1 = x2 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ( (5) / 2.

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а

просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0

следует:

2x3 + 3x2 – x – 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x – 2x – 1 = 2x2(x + 0,5) + 2x(x +

0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x2 + 2x – 2) = 0.

x1 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ( (5) / 2.

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных

позициях, равны, то есть если

an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ( 0. Его удобно решать с

помощью следующего алгоритма:

. разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит

потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при

a ( 0;

. группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;

. ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2

– 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2 + bt + c – 2a = 0;

. решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие

утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое

меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5