Рациональные уравнения и неравенства

12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ( 5. В первом случае

(x ( 5( = ((х ( 5), и потому получаем уравнение ((x

( 5) = 8x + 12. Его корень равен (7 / 9. Поскольку (2 ( ((7 / 9) ( 5, то

(7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x ( 5, то (x ( 5( = x (

5 и уравнение принимает вид x ( 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения

является число (17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +(), оно не

является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = ( 7 / 9.

Ответ: x = (7 / 9.

Пример 12.62.

(1 – 2x( + (3x + 2( + (x( = 5.

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля,

отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом

из полученных интервалов:

А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение

переписывается так:

1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 ((–(; – 2 / 3).

Б) если – 2 / 3 ( x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ( 0, x < 0 и

поэтому имеем:

1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 ( 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0)

корней нет.

В) если 0 ( x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x =

2; x = 1 ([0; 0,5).

Г) если 0,5 ( x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3

((0,5; ().

Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.

Пример 12.63.

( x ( + ( x – 1 ( = 1.

Решение. (x – 1) = 0, x = 1; ( получаем интервалы:

A) x ((((; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 ((((; 0).

Б) x ([0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 ( x — любое число из [0;

1).

В) x ([1; (), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 ([1; ().

Ответ: x ([0; 1].

Основные методы решения рациональных уравнений.

1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему

знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения

ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле

Также используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.

2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул

сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда

слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем

приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение,

которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В

некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение

(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t, получаем

t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать

подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) -

t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких

преобразований. Например, дано уравнение

(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу

увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7

и x2 + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать «заранее».

Например

1) Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если

сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0 =

0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с

помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то

уравнение имеет корень x = – 1.

3) Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному,

если a + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни

уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде

p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно

просты, p(Z, q(N.

5) «Искусство», т.е. решать пример нестандартно, придумать «свой

метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на

что-то разделить и умножить и т.д.

6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется

определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) ( 0,

( f (x) ( =

– f (x), если f (x) < 0.

Рациональные неравенства.

Пусть ((() ( числовая функция одного или нескольких переменных

(аргументов). Решить неравенство

((() < 0 (((() > 0)

(1)

( это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции (, при

которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента

(аргументов) функции (, при которых неравенство (1) справедливо, называется

множеством решении неравенства или просто решением неравенства.

Множество решении нестрого неравенства

((() ( 0 (((() ( 0) (2)

представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и

множества решении уравнения ((() = 0.

Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении

совпадают.

Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в

неравенство, понимают область определения функции ((().

Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции

(i((), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств (

это значит найти множество всех значении аргументов функции (i((), при

которых справедливы все неравенства системы одновременно.

Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их

решении совпадают.

Свойства равносильных неравенств.

При решении неравенств используют свойства равносильности.

Неравенства с одной переменной называются равносильными, если

множества их решении совпадают.

Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества

решении х([2; +(]. Эти неравенства – равносильные.

Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные, так как решение первого

неравенства есть множество х([0; +(], а решение второго неравенства есть

множество х([-(; 0]([0; +(]. Эти множества не совпадают.

При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при

которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти

преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных

неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же

число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях

переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет

смысл при всех действительных значениях х, х(R.

Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) –

равносильные.

Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное

числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x),

Т(а) – значение Т(х) при х =а.

По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное

числовое неравенство.

Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x)

+ T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это

значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) +

T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По

свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое

неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).

Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) >

> Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех

х(R, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим

неравенство, равносильно данному.

Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое

имеет смысл при всех х(R.

Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) –

равносильные.

Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства

P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет

смысл при всех х(R; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).

Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же

положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех

значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),

T(x) > 0, x(R,

P(x)(T(x) > Q(x)(T(x) – неравенство (2).

Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое

неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) –

значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.

По свойству числовых неравенств P(a)(T(a) > Q(a)(T(a) – тоже верное

числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства.

Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также

решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)(T(b) > Q(b)(T(b) – верное числовое

неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое

неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении

первого неравенства.

Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают,

то они равносильные.

Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же

отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех

значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то

получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ( 0, ax + b ( 0, a ( 0,

решениями которых будут:

при a > 0

x((- ; ( ), x(( -(; - ), x([ - ; ( ), x(( -(; - ],

при а < 0

x(( -(; - ), x(( - ; ( ), x(( -(; - ], x([ - ; ( ).

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c ( 0, ax2 + bx + c ( 0,

где a, b, c ( некоторые действительные числа и а ( 0.

Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значении

своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b2 – 4ac ( 0

x(( -(; ;2a ) )((;2a) ; ();

при а > 0 и D < 0 x ( любое действительное число;

при а < 0 и D ( 0

x(( ;2a) ; ;2a ) );

при а < 0 и D < 0

x = ( (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению

рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).

Метод интервалов.

Пусть Рn(x) ( многочлен n-й степени с действительными коэффициентами,

а c1, c2, ( , ci ( все действительные корни многочлена с кратностями k1,

k2, ( , ki соответственно, причем с1 > c2 > ( > ci. Многочлен Pn(x) можно

представить в виде

Рn(x) = (x - c1) k1(x - c2) k2 ( (x – ci)ki Qm(x),

(3)

где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо

отрицателен при всех х(R. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда

при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если

с1 ( корень нечетной кратности (k1 ( нечетное), то при х((с2; с1) все

сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и

Рn(х) 0 при х((c2; с1). В этом случае

говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно

убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак,

если k2 ( нечетное, и не меняет знака, если k2 ( четное. Рассмотренное

свойство многочленов используется для решения неравенств методом

интервалов. Для того чтобы найти все решения

Рn(х) > 0, (4)

достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и

знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с

корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х4 + 3х3 – 4х > 0.

(*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части

неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4).

Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет

корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.

Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть

записано в виде

х(х –1)(х + 2)2 > 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители,

стоящие в левой части неравенства, положительны.

Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х =

1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х

= 1 ( простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0

многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х =

0 ( также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака

не меняет, так как х = -2 ( корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства

многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот

рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.

Ответ. х ( (-(; -2) ( (-2; 0) ( (1; ().

Пример: Решить неравенство

(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10,

или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства

служит интервал –5 -5, x2 – 3x + 3 > 0,

откуда

(x – 4)(x + 1) < 0,

(x + )2 + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой

системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х4 – 34х2 + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 – 34х2 + 225 < 0. Полагая

х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 – 34z + 225 = 0, из которого

находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4

корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 – 34х2 + 225 = (х +

5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую

знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и

(3; 5).

Ответ: (-5; -3)((3; 5).

Пример: Решить неравенство

х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в

левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное

неравенство

х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.

Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 = 0, находим корни х1 = -1,

х2,3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х – 1) 2(х + 1)(х – 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на

каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного

неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков

(достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя),

получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на

промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение

неравенства.

Ответ: (-1; 1)((1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства

> 0 (5)

где Рn(х) и Qm(х) ( многочлены, сводится к решению эквивалентного

неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на

многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях

неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство

Рn(х) ( Qm(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида

> k

где a, b, c, d, k ( некоторые действительные числа и с ( 0, ( (если с =

0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное, если =

неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам

относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки 1. (*)

Решение: Исходное неравенство при всех х ( -2 эквивалентно

неравенству

(х - 1(> (х + 2(.

(**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения

подобных членов получаем неравенство

6х < -3,

т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства,

определяемого условием х ( -2, окончательно получаем, что неравенство (*)

выполняется при всех х((-(; -2)((-2; -1/2).

Ответ: (-(; -2)((-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

Решение: Так как (х +1( ( 0 и, по условию, (х +1( ( 0, то данное

неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > (х +1(. Последнее в свою

очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, или

,

откуда

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет

неравенств, является 0. Заметим, что х ( -1, иначе выражение в левой части

данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

( (х( - 2 .

Решение: Пусть (х( = y. Заметим далее, что (х( + 1 > 0. Поэтому данное

неравенство эквивалентно следующему: -2 ( (y –2)(y + 1), или y2 – y ( 0,

или 0 (y( 1, или 0 ((х(( 1. Отсюда -1( х ( 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

(х2 – 3х + 2(+ (2х + 1( ( 5.

Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при

остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо

рассмотреть четыре случая.

1. х < -Ѕ. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство

х2 – 3х + 2 – 2х – 1 ( 5, х2 – 5х – 4 ( 0. Его решение ,2) ( х (

,2) . С учетом условия х < -Ѕ находим ;2) ( х ( -Ѕ.

2. – Ѕ ( х ( 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 ( 0. Его решение –1 ( х ( 2.

Следовательно, весь отрезок –Ѕ ( x ( 1удовлетворяет неравенству .

3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ( 0; х ( 2 или х ( 3. Вновь подходит

весь интервал.

4. х ( 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: ;2) ( х ( 2.

Пример: Решить неравенство.

((х3 + х - 3(- 5(( х3 – х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

(х3 + х - 3( - 5 ( х3 – х + 8, (х3 + х - 3( ( х3 – х + 13

(х3 + х - 3( - 5 ( -х3 + х – 8 (х3 + х - 3( ( - х3 + х – 3

х3 + х – 3 ( х3 – х + 13 х ( 8,

х3 + х – 3 ( -х3 + х – 13, х3 ( -5,

х3 + х – 3 ( -х3 + х – 3, х3 ( 0,

х3 + х – 3 ( х3 – х + 3 х ( 3

-( х ( 8, -( х ( 8.

х – любое

Ответ: -( х ( 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса

элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует

получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5