Рациональные уравнения и неравенства

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1

и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на

двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому

по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В

результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов

возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся

решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь

отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то

Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень

исходного уравнения. «Кандидатов» в корни многочлена с целочисленными

коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого

многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы

избрали «не тот» метод решения, и существует иной метод, реализация

которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an

имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет

разложение на множители вида

a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).

Разделим обе части этого равенства на a0 ( 0 и раскроем скобки.

Получим равенство

Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =

= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +

+ … + (-1)nx1x2…xn.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае,

когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что

выполняются равенства

x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,

x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,

x1x2( … (xn = (-1)nan / a0.

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются

квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда

по формулам Виета имеем

(1 = x1 + x2 +x3 = 3,

(2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,

(3 = x1x2x3 = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его

коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По

условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и

поэтому

b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),

b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,

b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .

Но имеем

x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = (12 - 2(2 =

32 – 2(7 = – 5,

x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2

+x3)= (22 – 2(1(3 = = 72 – 2(3((– 5)= 79,

x12x22x32 = (x1x2x3)2 = (32 = 25.

Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет

вид

y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени

удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение

во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также

способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма

(x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя

значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 – 2x,

7x – 2x2 = 6.

Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 /

2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4

= 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

a + 2b = 7,

b + 2a = 8

или

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

Отсюда

a = 3,

b = 2.

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

y2 – xy = 12,

x2 – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ( 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3

/ x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16

м, а площадь равна 15 м2.

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По

условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и

ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения

системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это

значение во второе уравнение, получаем х(8 ( у) = 15, т.е. 8х ( х2 = 15

или

х2 ( 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = ((8)2 ( 4(1(15 = 64 ( 60 = 4,

Х1,2 = (8 ( (4) / 2 = (8 ( 2) / 2.

Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 ( х, то получаем у1 = 3, а у2

= 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон

которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х2 ( 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее,

используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у

равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями

уравнения z2 ( 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными.

Если в одно из них какое(нибудь неизвестное входит лишь в первой степени,

то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и

подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится

уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого

неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2х + у = 11,

х2 + у2 = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 ( 2х. Подставляя это

значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 ( 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 ( 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 ( 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить

уравнение

5х2 ( 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = ((44)2 ( 4(5(68 = 1936 ( 1360 = 576,

Х1,2 = (44 ( 24) / 10.

Итак х1 = 6,8; х2 = 2, ( у1 = 11 ( 2(6,8 = (2,6; у2 = 11 ( 2(2 = 7.

Ответ: х1 = 6,8; у1 = (2,6; х2 = 2; у2 = 7.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем

уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые

неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х

для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при

решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) ( 3 / (х2 + 2х ( 2) =

1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к

одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы

умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби

входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у,

положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у ( 3 / (у ( 2) = 1 или (у2 ( 11у + 24) / (у(у ( 2)) = 0,

откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его

корни х1 = 1, х2 = (3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4

= (4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его

полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной

и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени

неизвестного выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х ( 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система

примет вид

2U + 3V = 8,

5U ( 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U

и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 ( 3V / 2, и подставляя

во второе: 5(4 ( 3V / 2) (2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1

и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)((x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 =

0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому

x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 ( x1,2

( (.

x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.

Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.

Пример 7.31.

2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2

( 0, получим

2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.

2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2

= t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = –

4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ( (3,

x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Ответ: x1,2 = –2 ( (3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t

+ 1)4 = 16, т.е.

t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ( 0,

тогда

z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.

С учётом t2 = z ( 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда

t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = –

3.

Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ( 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.

6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,

t1 = 1; t2 = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 ( x ( (.

2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.

Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.

Пример 7.34.

x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части

уравнения x2:

x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.

(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.

Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 ( x ( (.

x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ( (7) / 2.

Ответ: x1,2 = (1 ( (7) / 2.

Пример 7.35.

x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a ( b)2 =

a2 ( 2ab + b2( ( a2 + b2 = (a ( b)2 + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))2 + 2x(9x / (9 + x) = 40, или

(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.

Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 =

2. Получаем два уравнения:

(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ( (19,

(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, ( x (

(.

Ответ: x1,2 = 1 ( (19.

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8х2 ( 6ху + у2 = 0,

х2 + у2 = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ( 0.

В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а

числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы.

Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение

8х2 / у2 ( 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 ( 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U2 ( 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким

образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x

/ y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба

случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение

5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = ( 1; соответственно у1 = 2, у2 = ( 2. Во

втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = ((5 / 17), x4 =

(((5 / 17); соответственно y3 = 4((5 / 17), y4 = ( 4((5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение

относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих

слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум.

Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его

члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом

степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k

относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k.

Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не

является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно

неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать

многие задачи.

Пример 8.37. Решить систему уравнений

y2 ( xy = (12,

x2 ( xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если

умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе

уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 ( 10xy + 3x2 = 0,

являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2

и решим уравнение 7U2 ( 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x,

причём из второго уравнения системы следует, что x ( 0). Находим, что y = x

или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев

оба случая, найдём решения:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = (7, y2 = (3.

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений

вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях

приводит к появлению «посторонних» корней — значений x и y, не

удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить,

подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы

обращаются в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x ( 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 ( 1)2.

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то

получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые

неизвестные U и V:

U = (x ( 1)2, V = (x + 1)2.

Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится

уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x ( 1)2 / (x + 1)2.

Решим вспомогательное уравнение

W2 ( 10W + 9 = 0.

Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения

(x ( 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x ( 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 1, либо

(x ( 1) / (x + 1) = (1.

Из второго получаем, что либо (x ( 1) / (x + 1) = 3, либо (x ( 1) /

(x + 1) = (3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не

имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Ответ: x1 = 0, x2 = ( 2, x3 = (0,5.

Пример 8.39.

3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay2( + by(z( + cz2( = 0,

где a, b, c, ( — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x)

— некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 (

0:

3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.

Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т.е. t1 =

– 3; t2 = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x2 – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x

– 1 = 0; x1,2 = (3 ( (13) / 2,

(x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4

= 0; D = 4 – 48 < 0, ( x ( (.

Ответ: x1,2 = (3 ( (13) / 2.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x

, y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P1 (x, y) = 0,

P2 (x, y) = 0,

где P1 (x, y) и P2 (x, y) — симметрические многочлены, полезной

оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что

любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от

U и V.

Пример 9.40. Решить систему уравнений

x2 + xy + y2 = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 ( xy = (x + y)2 ( xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V. Система примет вид:

U2 ( V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U ( 72 = 0 с корнями U1

= 8,U2 = (9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5