Рациональные уравнения и неравенства

уравнений:

x + y = 8,

xy = 15,

x + y = ( 9,

xy = 32.

Система x + y = 8, имеет решения: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

xy = 15.

Система x + y = ( 9, действительных решений не имеет.

xy = 32.

Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

Пример 9.41. Решить систему

1 / x + 1 / y = 5,

1 / x2 + 1 / y2 = 13.

Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,

а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.

Получается система:

U = 5,

U2 ( 2V = 13,

из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему

X + Y = 5,

XY = 6,

находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2,

y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x +

y, V = xy, получится система

U = 5V,

U2 ( 2V = 13V2,

Приводящая к тем же решениям исходной системы.

Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.

Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными

числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются

параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые

числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество

уравнений (для всех возможных значений параметров).

Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно

рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ( 0

является x = (c ( b) / a. Если a = 0, то получается «уравнение» b = c, и

если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все

действительные числа. Если же b ( c, при этом a = 0, то данное уравнение

корней не имеет.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых

понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве

примеров следующие объекты:

. функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y — переменные;

k — параметр,k ( 0);

. линейная функция: y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);

. линейное уравнение: ax + b = 0 (x — переменная; a и b —параметры);

. уравнение первой степени: ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры,

a ( 0);

. квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0 (x — переменная; a, b и c —

параметры, a ( 0).

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и

сколько их при разных значениях параметров.

2) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те

значения параметров, при которых это выражение действительно

определяет корень уравнения.

Ответ к задаче «решить уравнение с параметрами» должен выглядеть

следующим образом: уравнение при таких(то значениях параметров имеет корни

…, при таких(то значениях параметров — корни …, при остальных значениях

параметров уравнение корней не имеет.

Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p.

Если p ( 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы

находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не

имеет, потому что 0(x = 0 для любого x.

Ответ: при p ( 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при

p = 0 уравнение корней не имеет.

Пример 10.43. Сравнить: (a и 3a.

Решение. Естественно рассмотреть три случая:

Если a < 0, то (a > 3a;

Если a = 0, то (a = 3a;

Если a > 0, то (a < 3a.

Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и

верный ответ выглядит так:

Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a ( 0, то x = 1 / a.

Пример 10.45. Решить уравнение (a2 ( 1)x = a + 1.

Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно

рассмотреть такие случаи:

1) a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;

2) a = (1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.

3) a ( (1; имеем x = 1 / (a ( 1).

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с

параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам,

где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В

подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных

результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы

решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет

решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести

Ответ: Если a = (1, то x — любое число; a = 1, то нет решений; если a

( (1, то x = 1 / (a ( 1).

Пример 10.46. При каких a уравнение ax2 ( x + 3 = 0 имеет единственное

решение?

Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку:

считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени,

не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение,

рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет

единственное решение. Если же a ( 0, то имеем дело с квадратным уравнением.

Его дискриминант 1 ( 12a принимает значение, равное нулю, при a =

1 / 12.

Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.

Пример 10.47. при каких a уравнение (a ( 2)x2 + (4 ( 2a)x + 3 = 0

имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2

исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a ( 2, то данное уравнение

— квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни

дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5.

Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то

Ответ: a = 5.

Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более,

ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах

проявляет своё «коварство», особенно для начинающих. Поэтому полезно

рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр «расставляет ловушки».

Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0

имеет более одного корня?

Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не

удовлетворяет условию. При a(0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет

два корня, если его дискриминант 16 ( 4a2 ( 12a — положительный. Отсюда

получаем (4 < a < 1. Однако в полученный промежуток ((4; 1)

входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: (4 < a < 0 или 0 < a < 1.

Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x ( 3a ( 9 =

0 имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = (3. При a = 0

уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a = (3 решением

уравнения служит любое действительное число. При a = (3 решением уравнения

служит любое действительное число. При a ( (3 и a ( 0, разделив обе части

данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x ( 3 = 0,

дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > (1 / 3. Опыт предыдущих

примеров подсказывает, что из промежутка ((1 / 3; () надо исключить точку a

= 0, а в ответ не забыть включить a = (3.

Ответ: a = (3 или (1 / 3 < a < 0, или a > 0.

Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2 ( ax + 1) / (x + 3)

= 0 имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

x2 ( ax + 1 = 0,

x ( (3.

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения,

естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x

( (3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что

квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только

один из них должен равняться (3. Имеем D = a2 ( 4, отсюда D = 0, если a =

(2; x = (3 — корень уравнения x2 ( ax + 1 = 0 при a = (10 / 3, причём при

таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от (3.

Ответ: a = (2 или a = ( 10 / 3.

Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству

(x ( 3( ( a?

Решение. При a ( 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство

— бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и

неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно,

требованию задачи удовлетворяет только a = 0.

Ответ: a = 0.

Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами

(a2 ( 9)x = a2 + 2a ( 3.

Решение. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем

уравнение в виде:

(a ( 3)(a + 3)x = (a + 3)(a ( 1).

Если a = (3, то уравнение принимает вид: 0x = 0. Отсюда следует, что

при x ( R, т.е. решением уравнения является любое действительное

число. Если a ( (3, то уравнение принимает вид: (a (3)x = a (1.При a = 3

имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ( (3 имеем x = (a ( 1) / (a

( 3). Уравнение имеет единственное решение (например, x = 3 при a = 4,

x = 3 / 5 при a= ( 2 и т.д.)

Ответ: a = (3, x ( R; a = 3, x ( (; a ( (3, x = (a ( 1) / (a ( 3).

Пример 10.53.

(x ( 4) / (x + 1) ( 1 / a(x + 1) = (2 / a.

Решение. Очевидно, (x + 1)a ( 0, т.е. x ( (1, a ( 0. Преобразуем

данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ( 0:

(x ( 4)a ( 1 = (2(x + 1), т.е. (a + 2)x = 4a (1.

Если a = (2, то имеем 0х = (9. Следовательно, x( (. Если a ( (2, то

x = (4a +1) / (a + 2). Но, как мы уже отметили, x ( (1.

Поэтому надо проверить, нет ли таких значений a при которых найденное

значение x равно (1.

(4a ( 1) / (a + 2) = (1, т.е. 4a ( 1 = (a ( 2, т.е. 5a = (1, a= (1 /

5.

Значит, при a ( 0, a ( (2, a ( (1 / 5 уравнение имеет единственное

решение (4a ( 1) / (a + 2).

Ответ: x ( ( при a ( {(2, 0, (1 / 5}; x = (4a ( 1) / (a + 2) при a(

{(2, 0, (1 / 5}.

Пример 10.54.

(a ( 5)x2 + 3ax ( (a ( 5) = 0.

Решение. При (a ( 5) = 0, т.е. a = 5 имеем 15x ( 0 = 0, т.е. x = 0.

При a ( 5 ( 0, т.е. a ( 5 уравнение имеет корни

X1,2 = ((3a ( ((9a2 + 4(a ( 5)2)) / (2(a ( 5)).

Ответ: x = 0 при a = 5; x = ((3a ( ((9a2 + 4(a ( 5)2)) / (2(a ( 5))

при a ( 5.

Пример 10.55.

1 / (x ( 1) + 1 / (x ( a) = (a + 1) / a.

Решение. Отмечаем, что a(x ( 1)(x ( a) ( 0, т.е. x ( 1, x ( a, a ( 0.

При этих условиях данное уравнение после упрощений принимает вид

(a + 1)x2 ( (a2 + 4a + 1)x + (2a2 + 2a) = 0.

Если a +1 = 0, т.е. a = (1, имеем, 2x = 0, т.е. x = 0.

Если a + 1 ( 0, т.е. a ( (1, то находим, что

x1,2 = (a2 + 4a + 1 ( ((a4 + 2a2 + 1)) / (2(a +1) = (a2 + 4a + 1 ( (a2

+ 1) ) / (2(a + 1))

т.е. x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1). Найдём значения a, при которых x

= 1 и x = a, чтобы исключить их.

a + 1 = 1 ( a = 0 — недопустимо по условию;

a + 1 = a ( 1 = 0 — невозможно;

2 / (a + 1) = 1 ( 2a = a + 1, т.е. a = 1;

2 / (a + 1) = a ( 2a = a2 + a, a = 1 и a = 0 — недопустимо.

Итак, если a ( (1, a ( 0, a ( 1, то x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1).

Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при a = 1. Найдём корни

уравнения: x1 = 1 и x2 = 2, причём x1 = 1 не подходит по условию.

Теперь выписываем

Ответ: x1 = a + 1 и x2 = 2 при a ( 0, a ( (1; x = 0 при a = (1; x = 2

при a = 1.

Пример 10.56. При каких значениях a система уравнений

axy + x ( y + 1,5 = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0.

Имеет единственное решение?

Решение. Умножим второе уравнение на a и вычтем его из первого

уравнения. Получаем равносильную систему

axy + x ( y + 1,5 ( ax ( 2ay (axy ( a = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0, т.е.

(1 ( a)x ( (2a + 1)y + 1,5 ( a = 0,

x + 2y + xy + 1

a) Если a = 1, то (3y + 0,5 = 0, т.е. y = 1 /6. Подставив это значение во

второе уравнение, находим единственное значение x. Система имеет

единственное решение.

b) Если a = (0,5, то система имеет единственное решение.

c) При остальных значениях a сведём систему к квадратному уравнению; из

первого уравнения системы находим

y = ((1 ( a)x + 1,5 ( a) / (2a + 1),

подставляем во второе уравнение:

x + ((2 ( 2a)x + 3 ( 2a) / (2a + 1) + ((1 ( a)x2 + 1,5x ( ax) / (2a +

1) +1 = 0, т.е.

2ax + 3x (2ax + 3 (2a + x2 ( ax2 +1,5x ( ax + 2a + 1 = 0,

(1 ( a)x2 + (4,5 ( a)x + 4 = 0.

Уравнение имеет единственное решение в том случае, когда дискриминант

равен нулю:

(9 / 2 ( a)2 ( 4( 4(1 ( a) = 0, т.е. a2 + 7a + 17 / 4 = 0, т.е. a =

((7 ( 4(2) / 2.

Ответ: a = 1, a = (1 / 2, a = ((7 ( 4(2) / 2.

Пример 10.57.

x3 – (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x – abc =0.

Решение. x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx +bcx – abc = 0,

группируем: x2(x – a) – bx(x – a) – cx(x – a) – cx(x – a) + bc(x –

a),

(x – a)(x2 – bc – cx + bc).

(x – a) = 0,

x1 = a.

x2 – bc – cx + bc = 0,

x(x – b) – c(x – b) = 0,

(x – b)(x – c) = 0,

x – b = 0, x2 = b

x – c = 0, x3 = c.

Ответ: x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Замечание: корни уравнения можно было легко найти, пользуясь теоремой

Виета для кубического уравнения:

если x3 + px2 + qx + r = 0, то

x1 + x2 + x3 = - p,

x1x2 + x1x3 + x2x3 = q,

x1x2x3 = - r .

В нашем случае:

x1 + x2 + x3 = a + b + c,

x1x2 + x1x3 + x2x3 = ab + bc +cd,

x1x2x3 = abc.

Отсюда следует, что x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать

графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти

координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих

уравнений:

1) ax + by + c = 0 — прямая линия.

2) xy = k — гипербола.

3) (x ( a)2 + (y ( b)2 = R2 — уравнение окружности с центром A(a, b) и

радиусом R.

К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов

уравнения вида:

x2 + y2 ( 2ax ( 2by + c = 0.

4) ax2 + bx + c = 0 — парабола y = ax2 c вершиной в точке A(m, n),

где m = (b / 2a, а n = (4ac ( b2) / 4a.

Пример 11.58. Найдём графически корни системы:

x2 + y2 ( 2x + 4y ( 20 = 0,

2x ( y = (1.

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

x2 + y2 ( 2x + 4y ( 20 = (x2 ( 2x +1) + (y2 + 4y + 4) (1 ( 4 ( 20 = (x

( 1)2 + (y + 2)2 ( 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:

(x ( 1)2 + (y + 2)2 = 25,

2x ( y = (1.

Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; (2) и

радиусом 5. А 2x ( y = ( 1 — уравнение прямой, проходящей через

точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и

проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках

M(1; 3) и N((3; (5). Значит решение системы таково: x1 = 1, y1 = 3; x2 =

(3, y2 = (5.

Уравнения содержащие знак модуля.

Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо

отличаются лишь знаком: если (a( = (b(, то либо a = b, либо a = (b.

Применим это замечание к решению уравнения

(3x ( 1( = (2x + 3(.

В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х ( 1 =

2х + 3, либо 3х ( 1 = ((2х + 3). Корнем первого уравнения

является число 4, а второго — число (2 / 5. Итак, решение уравнения имеет

вид х1 = 4, х2 = (2 / 5.

В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках

обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают

числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный

знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из

таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких

уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и

метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) ( 0,

( f (x) ( =

– f (x), если f (x) < 0.

Пример 12.59. Решим уравнение.

(x( = (3 ( 2x( ( x ( 1.

Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 ( 2x

— при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (((;

0),[0; 3 / 2], (3 / 2; (). При (( < x < 0 имеем x < 0 и 3 ( 2x > 0.

Поэтому на этом промежутке (x( = ( x, (3 ( 2x( = 3 ( 2x и уравнение

принимает вид (x = 3 ( 2x ( x ( 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это

значение x не лежит на (((; 0), и потому на этом промежутке уравнение

корней не имеет. При 0 ( x ( 3/ 2 имеем x ( 0, 3 ( 2x ( 0, поэтому

(x( = x, (3 ( 2x( = 3 ( 2x. И уравнение принимает вид

x = 3 ( 2x ( x ( 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это

значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем

заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +() имеем x > 0, 3 ( 2x

< 0, а потому (x( = x, (3 ( 2x( = ((3 ( 2x) и уравнение принимает вид x =

((3 ( 2x) ( x ( 1, т.е. 0 = ( 4. Значит, на этом промежутке нет корней

заданного уравнения.

Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а

именно x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много

решений.

Пример 12.60. (8 ( 5x( = (3 + x( + (5 (6x(.

Выражения (8 ( 5x), (3 + x) и (5 ( 6x) обращаются в нуль

соответственно в точках 8 /5, (3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось

на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на

промежутках (((; (3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +() уравнение корней не

имеет, а на промежутке [(3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 ( 5x = 3 +

x + 5 ( 6x. Поэтому ответ имеет вид [(3; 5 / 6].

Ответ: [(3; 5/ 6].

Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак

модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на

промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Пример 12.61. Решим уравнение (2x ( 3 ( (x + 2(( = 8x + 12.

Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = (2. Если x < (2,

то (x + 2) < 0 и потому (x + 2( = ((x + 2). Значит, на промежутке (((; ( 2)

заданное уравнение принимает вид (2x ( 3 + (x + 2)( = 8x + 12, т.е.

(3x ( 1( = 8x + 12. Но при x < (2 имеем 3x ( 1 < 0 и потому

(3x ( 1( = ( (3x ( 1). Получаем уравнение ((3x ( 1) = 8x + 12, имеющее

корень x = (1. Так как это число не лежит на промежутке (((; ( 2), то

заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.

Пусть теперь x ( ( 2. Тогда (x + 2( = x + 2, и мы получаем уравнение

(2x ( 3 ( (x + 2)( =8x + 12, т.е. (x ( 5( = 8x +

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5